精品解析：江苏省南京市玄武区科利华中学2025-2026学年上学期七年级期末数学试卷

江苏省南京市玄武区科利华中学2025-2026学年上学期七年级期末数学试卷 一、选择题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2. 国家统计局10月25日发布的数据显示，截至2023年底，我国境内有效发明专利首次超过400万件，达到401.5万件，比上年增长．将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 半球 D. 圆锥 5. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 的最小值为3，则a的值为（ ） A. B. 2或 C. 3或 D. 2 二、填空题：（本大题共12小题，每空2分，共26分） 7. 比较大小： _____ （用“＞或＝或＜”填空）． 8. 若单项式与是同类项，则______． 9. 已知与互为余角，，则_______ ． 10. _______ ． 11. 如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为_______ ． 12. 已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ． 13. 某商店采购了一批节能灯，每盏灯20元，在运输过程中损坏了2盏，然后以每盏25元售完，共获利150元，问该商店共进了_______盏节能灯． 14. 若多项式与的和的值与所取的值无关，则的值是______． 15. 如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ． 16. 已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 17. 在线段上有一点平分，设，，则三个角的数量关系为______． 18. 一个电子蚂蚁从数轴上的原点出发，按下列规则运动：先沿数轴的正方向前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；已知电子蚂蚁每秒只能前进或后退1个单位．设表示第秒电子蚂蚁在数轴上的位置所对应的数，则为______，所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过______次． 三、解答题（本大题共8小题，共62分.） 19. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值，，其中，． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. （1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 22. 如图，已知，． （1）求证：； （2）连接，恰好满足平分．若，，求的度数． 23. 两支一样高的蜡烛，同时点燃后，第一支蜡烛3小时后燃尽，第二支蜡烛4小时后燃尽，问多少小时后第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的1.5倍？ 24. 如图，直线相交于点，把分成两个角，且． （1）若，则是否为定值？若是，请求出定值；若不是，求说明理由． （2）若平分，平分，求的度数． 25. 小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． （2）小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 26. 已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， （1）若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市玄武区科利华中学2025-2026学年上学期七年级期末数学试卷 一、选择题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，熟悉相关概念是解题的关键． 根据绝对值的性质求出的值，再根据相反数的定义求出其相反数，进而得到答案． 【详解】∵负数的绝对值是它的相反数， ∴， ∵2的相反数是， ∴的相反数是． 故选：D． 2. 国家统计局10月25日发布的数据显示，截至2023年底，我国境内有效发明专利首次超过400万件，达到401.5万件，比上年增长．将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数． 根据科学记数法的表示形式，可得万即可求解． 【详解】万． 故选：C． 3. 有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用数轴、绝对值、有理数的加减、乘方运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先用数轴知识确定出a，b的符号、大小和绝对值的大小，再运用有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∴， ∴选项C符合题意，选项A，B，D不符合题意． 故选：C． 4. 如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 半球 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图．由平面图形的折叠及圆锥的展开图特点作答． 【详解】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个立体图形是圆锥． 故选：D． 5. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 【详解】从正面看可得到一个正方形，正方形里面有一条自左上到右下的实线． 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 6. 的最小值为3，则a的值为（ ） A. B. 2或 C. 3或 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 二、填空题：（本大题共12小题，每空2分，共26分） 7. 比较大小： _____ （用“＞或＝或＜”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比较有理数的大小．两个负数比较大小，绝对值越大其值越小．据此进行解答即可． 【详解】解：，，且 ， ∴ ． 故答案为： 8. 若单项式与是同类项，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义直接得出m、n的值，再求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ∴． 故答案为：3． 9. 已知与互为余角，，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据余角的定义，互为余角的两角和为，通过减去的度数计算． 【详解】与互为余角， ， ． 故答案为：． 10. _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 先算乘方，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11. 如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为_______ ． 【答案】##30度 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，角的计算，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义是解决问题的关键． 由翻折性质得，进而得，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：由翻折性质得：， ∵点在边上，且， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，代入方程可得，再解方程即可． 【详解】已知关于的一元一次方程的解为， ， 则 移项，得， ， 解得， 则关于y的一元一次方程的解为． 故答案为：． 13. 某商店采购了一批节能灯，每盏灯20元，在运输过程中损坏了2盏，然后以每盏25元售完，共获利150元，问该商店共进了_______盏节能灯． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．设购进x盏节能灯，列一元一次方程解答． 【详解】解：设购进x盏节能灯，由题意得 解得， 答：该商店共购进了40盏节能灯． 14. 若多项式与的和的值与所取的值无关，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法在等知识． 先化简代数式，根据题意可知含x项的系数为0，进而求得m，n的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵多项式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 15. 如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减法，熟练掌握整式的加减法运算法则，根据图形求周长是解题的关键． 设长方形的长为a，宽为b，根据图形求阴影部分的周长即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， ∴阴影的周长， 故答案为：． 16. 已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程及整数解的确定，先通过解一元一次方程用含的代数式表示，再根据为整数、为整数且确定的取值． 【详解】解：对原方程进行化简 ， ， ， 方程的解是整数，且为整数， 是2的整数因数， ， 故答案为：． 17. 在线段上有一点平分，设，，则三个角的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查余角及角平分线的定义、角的运算，灵活掌握这些知识是解题关键． 由已知可求出，再根据平角的定义得到三者的关系． 【详解】解：∵，且， 又∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 18. 一个电子蚂蚁从数轴上的原点出发，按下列规则运动：先沿数轴的正方向前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；已知电子蚂蚁每秒只能前进或后退1个单位．设表示第秒电子蚂蚁在数轴上的位置所对应的数，则为______，所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过______次． 【答案】 ①. 506 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律，解题的关键是由特殊规律找到一般性的规律，根据题意可知每8秒完成一个循环，列出每秒对应的数，再根据规律推导出答案即可； 【详解】解：依题意得，点P每8秒完成一个前进和后退，各数据依次为： 1、2、3、4、5、4、3、2； 3、4、5、6、7、6、5、4； 5、6、7、8、9、8、7、6； 7、8、9、10、11、10、9、8； 9、10、11、12、13、12、11、10； 11、12、13、14、15、14、13、12； ……． 因为， 所以第2024秒对应的数位于第253行第8个数． 由数据发现，数据的第8列数的规律为：（n为行数）， 所以． 由数据发现，除1，2，3外，都重复4次， 所以所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过4次． 故答案为：506，4． 三、解答题（本大题共8小题，共62分.） 19. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值，，其中，． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、含乘方的有理数混合运算、整式的化简求值等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）直接利用有理数的加减运算法则和加法运算律计算即可； （2）先算乘方、括号里面的，再算减法即可； （3）先按照整式的加减运算法则化简，然后将、代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 当，时，原式． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【小问1详解】 解： ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 21. （1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据平行线的判定，垂线的定义画出图形即可； （2）利用尺规作直线于点H即可． 【详解】解：（1）如图，直线，直线，直线即为所求，线段的长是点B到直线的距离． 故答案为：； （2）如图，直线即为所求： 22. 如图，已知，． （1）求证：； （2）连接，恰好满足平分．若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判断得出； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直定义得出，根据平行线的性质得出，最后求出即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． 23. 两支一样高的蜡烛，同时点燃后，第一支蜡烛3小时后燃尽，第二支蜡烛4小时后燃尽，问多少小时后第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的1.5倍？ 【答案】2小时后第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的1.5倍 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 先求出两支蜡烛每小时燃烧的比例，设x小时后第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的倍，根据题目所给的高度倍数关系列出方程求解即可． 【详解】解：∵第一支蜡烛3小时燃尽， ∴第一支蜡烛每小时燃烧， ∵第二支蜡烛4小时燃尽， ∴第二支蜡烛每小时燃烧， 设x小时后第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的倍， 此时第一支蜡烛剩余的高度为，第二支蜡烛剩余的高度为． 根据第二支蜡烛剩余高度是第一支蜡烛剩余高度的倍，可列出方程： ，解得：. 答：2小时后第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的倍． 24. 如图，直线相交于点，把分成两个角，且． （1）若，则是否为定值？若是，请求出定值；若不是，求说明理由． （2）若平分，平分，求的度数． 【答案】（1）为定值， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角的有关运算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． （1）根据已知条件设，，再把和用含有的式子表示出来，然后求出答案即可； （2）设，，然后根据已知条件把，，用表示出来，再根据列出关于的方程，解方程求出，从而求出即可． 【小问1详解】 解：（1）为定值， ， 设，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， 设，， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 25. 小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． （2）小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 【答案】（1） （2）①；② （3）三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了多面体的顶点、面、棱之间的关系、一元一次方程的应用等知识点，观察并发现规律是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，又因为正F面体的两个面共用一条边，所以正F面体的棱数为；②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为； （3）运算上述公式列出关于F的方程可得，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：根据观察可得． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为， 又∵正F面体的两个面共用一条边， ∴正F面体的棱数为． 故答案为：． ②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为， 又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：由题意可得：， ∴, ∴， 根据（1）中公式可得，可得，解得：， ∴这个正多面体的面数为20． ∵， ∴. ∴这个正多面体的一个面是三角形． 26. 已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， （1）若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【答案】（1）①7；②或 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论的位置是解题的关键． （1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或，则或，由线段的和差即可得到结论； （2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 ∵， ∴， ①∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点C是线段的三等分点，， ∴或， ∴或， ∴或； 【小问2详解】 当点E在线段之间时，如图， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴x， ∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $