精品解析：北京市第十三中学2025-2026学年第二学期高三数学开学测试试题

北京市第十三中学2025~2026学年第二学期 高三数学开学测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第3页至第6页，答题纸第1页至第4页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1页上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回. 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 5. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 6. 过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 1 7. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下： 常见场景 声压级／dB 极安静环境 安静环境 日常轻声环境 已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（ ） A. 当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 B. 在极安静环境里，声压不超过 C. 在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过 D. 若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境 9. 若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（ ） A. 可能为等差数列 B. 中最大的项为 C. 存在最大值 D. 的最小值为36 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 设函数，则______． 12. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_______． 13. 命题p：在中，若，则是直角三角形．能说明命题p为假命题的一组角为______，______． 14. 2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功通过联合国教科文组织评审，成为全球共享的非物质文化遗产．春节灯笼象征着喜庆与团圆，图①为明代风格的八角灯笼，由18个正方形和8个正三角形构成，如图②，若正方形的边长为1，则该灯笼的体积为______． 15. 定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，2，…给出下列四个结论： ①若为递增数列，则存在最大值； ②若为递增数列，则存在最小值； ③若，且存在最小值，则不一定存在最小值； ④若，且存在最大值，则一定存在最大值． 其中所有正确结论的序号有_______． 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 如图，四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，分别为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，（为的面积）. （1）求； （2）从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 为方便A，B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从A，B两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：，整理得到如下频率分布直方图： 根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级： 满意程度评分 满意程度等级 不满意 满意 非常满意 （1）从A地区随机抽取一名乘客，以频率估计概率，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率； （2）从A地区与B地区各随机抽取一名乘客，记事件C为“抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为非常满意且另一名乘客的满意程度等级为不满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件C的概率； （3）设为从A地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从B地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从A，B两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较与的大小，并说明理由． 19. 已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 20. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）若，且，证明：. 21. 项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列； ①（其中）； ②. （1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由； （2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为； （3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十三中学2025~2026学年第二学期 高三数学开学测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第3页至第6页，答题纸第1页至第4页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1页上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回. 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】由题可得：或，所以， 故选：B 2. 若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用复数乘法求解. 【详解】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得， 所以. 故选：B 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 4. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则，， 而，则，所以与的夹角为. 故选：B 5. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理可判定选项A、C，其它易证. 【详解】若，因为平面，， 所以，同理，过m上一点做直线n的平行线，则， 设由m和确定的平面为，则， 而，，同上可知，故，选项C正确； 有可能，所以选项A错误； 由上可知，且，所以，或，选项B错误； 如上图，不一定成立，选项D错误. 故选：C 6. 过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的准线，过点作出准线的垂线段，利用抛物线定义，结合几何图形求解. 【详解】抛物线C：的焦点，准线方程为， 过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，， 由，得，即， 所以与的面积之比为. 故选：B 7. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数的周期，根据最小正周期的计算公式，求得参数，根据复合函数以及三角函数的单调性和对称性，可得答案. 【详解】由函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期， 所以，化简可得，其中，由，则， 可得，令，解得，其中， 所以函数的对称中心为，其中， 令，化简可得，则 故函数在上的对称中心为， 由，则，则函数在上单调递减， 由，且，则，即， 所以. 故选：D. 8. 在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下： 常见场景 声压级／dB 极安静环境 安静环境 日常轻声环境 已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（ ） A. 当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 B. 在极安静环境里，声压不超过 C. 在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过 D. 若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题中条件求出听觉下限阈值，再逐一分析选项即可. 【详解】由题中条件可得，解得， 对于选项，设原声压为，声压级； 声压变为，声压级， 此时，故错误； 对于选项，在极安静环境中，声压级，当取最大值计算最大声压， 此时可得，解得， 因为，故错误； 对于选项，在日常轻声环境里，声压级， 当最小声压级时，，得； 当最大声压级时，，得， 所以，故错误； 对于选项，已知，代入得， 即在安静环境范围内，故正确. 故选：. 9. 若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围. 【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离， 将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小． 而，令，则，可得， 此时，Q到直线的距离，故， 所以． 故选：B 【点睛】关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围. 10. 已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（ ） A. 可能为等差数列 B. 中最大的项为 C. 存在最大值 D. 的最小值为36 【答案】D 【解析】 【分析】对 A，找出其与题目条件的矛盾；对BC，举反例数列可得；对D，分别列举与（即）成立时的数列，求出最小值即可. 【详解】对A，若为等差数列，设公差为， 当时，对任意的，与均成立； 当时，对任意的，与均不成立， 两种情况都不满足和中有且仅有一个成立，故A错； 对B，给定数列， 可知对任意的，满足和中有且仅有一个成立， 中最大的项为，不为，故B错； 对C，给定数列， 假设，则， 与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故； 假设，则， 也与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故； 当且时，数列各项满足题意， 因此，在给定数列中，可取任意大的正整数， 故无最大值，故C错； 对D，由题意与中有且仅有一个成立， ①若，则，设， 则 ，则，设，则， 则，设，则， 则，故. 即数列. 故，由题意均为正整数， 因此，若，则当且仅当时， 即数列，取最小值； ②若，则，设，则， 则，设，则，则， 设，则，则，， 由，故，即， 即数列. 故，由题意均为正整数， 因此，若，则当且仅当时， 即数列，取最小值； 综合①②比较可知，的最小值为, D正确. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 设函数，则______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式计算即可. 【详解】显然即为的系数，的二项展开式通式为， 令得. 故答案为：. 12. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用双曲线的方程得到渐近线方程，再利用配方法求得圆的圆心与半径，从而利用直线与圆相切得到关于的方程，由此得解. 【详解】因为双曲线的渐近线为，即，不妨取， 圆，即，所以圆心为，半径， 因为双曲线的渐近线与圆相切， 所以圆心到渐近线的距离，解得或． 故答案为：或. 13. 命题p：在中，若，则是直角三角形．能说明命题p为假命题的一组角为______，______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】首先假设，得出的可能值，只需满足不是直角三角形即可. 【详解】设，因为，所以，或， 若，，显然， 所以能说明命题p为假命题的一组角为，； 若，则，故也满足题意； 故答案为：，（答案不唯一）. 14. 2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功通过联合国教科文组织评审，成为全球共享的非物质文化遗产．春节灯笼象征着喜庆与团圆，图①为明代风格的八角灯笼，由18个正方形和8个正三角形构成，如图②，若正方形的边长为1，则该灯笼的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由几何体的特征可分为八棱柱，三棱锥，三棱柱和长方体，八棱柱的底面面积为一个正方形的面积减去4个以为直角边的等腰直角三角形的面积，结合相关体积公式求体积. 【详解】将多面体分割为1个八棱柱，8个三棱锥，8个三棱柱和2个长方体， 根据几何体特征，八棱柱的底面可补形为一个边长为的正方形， 故底面积为正方形的面积减去4个以为直角边的等腰直角三角形的面积， 则八棱柱体积，三棱锥体积， 三棱柱体积，长方体体积， 故该灯笼的体积为. 故答案为： 15. 定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，2，…给出下列四个结论： ①若为递增数列，则存在最大值； ②若为递增数列，则存在最小值； ③若，且存在最小值，则不一定存在最小值； ④若，且存在最大值，则一定存在最大值． 其中所有正确结论的序号有_______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据函数的单调性，判断A，B；取特例，可判断C，D. 【详解】①由已知可得，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在上的最大值为. 若为递增数列，则不存在最大值；故①错误； ②在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在上的最小值在和中取得. 若为递增数列，由在上的最小值为.所以在区间上存在最小值； 故②正确； ③若，取，则存在最小值， 但此时的最小值是的最小值，而随的增大而减小，所以无最小值，所以不一定存在最小值； 故③正确； ④若，取，则，所以的最大值为. 此时，的最大值为的最大值， 因为函数单调递增，无最大值，所以不一定存在最大值． 故④错误. 故答案为：②③. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 如图，四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，分别为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取、的中点、,连接、、,如图所示 因为，,分别为，的中点， 所以,且. 因为，,分别为，的中点， 所以,且. 所以,且, 所以四边形为平行四边形 所以, 又平面，平面， 所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，利用平行四边形的性质及判定，结合线面平行的判定定理即可求解； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式及线面角与向量夹角的关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DS为y轴，直线DC为z轴建立的空间直角坐标系如图所示: 则, 所以，，． 设平面法向量为， 则,即，取，得， 所以平面法向量为． 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 在中，（为的面积）. （1）求； （2）从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和三角形面积公式即可求得角的值. （2）选条件①②：先求出，然后求出，然后利用正弦定理求出，即可求出三角形的周长；选条件①③：先求出，然后利用正弦定理和余弦定理求出，即可求出三角形的周长. 选条件②③：不存在. 【小问1详解】 由余弦定理，，又， 所以，得 【小问2详解】 选条件①②： ， ，则. 由正弦定理，代入解得：， 所以的周长为. 选条件①③： ， ， 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理， 由得，解得，所以的周长为. （注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.） 18. 为方便A，B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从A，B两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：，整理得到如下频率分布直方图： 根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级： 满意程度评分 满意程度等级 不满意 满意 非常满意 （1）从A地区随机抽取一名乘客，以频率估计概率，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率； （2）从A地区与B地区各随机抽取一名乘客，记事件C为“抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为非常满意且另一名乘客的满意程度等级为不满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件C的概率； （3）设为从A地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从B地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从A，B两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）0.2； （2）0.1； （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先由频率和为1解出，再求是非常满意的概率即可； （2）分别求出A、B地区非常满意和不满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可； （3）由频率分布直方图求得，进而求出，计算求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，，解得， 则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为； 【小问2详解】 从A地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为，是不满意的概率为； 从B地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为，是不满意的概率为； 则； 【小问3详解】 ，理由如下：， ， 因为A，B两地区人数比为，则， 则，，则. 19. 已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，再根据求出、，即可得到椭圆方程及离心率； （2）根据三点共线可得、关于点对称，设点，表示出直线、的方程，从而得到、的坐标，由可得，设可得，即可求出参数的值，从而得解. 【小问1详解】 依题意可得，，又，解得， 所以椭圆方程为，则离心率 【小问2详解】 因为、、三点共线，根据椭圆的对称性可知、关于点对称， 设点，则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 所以点，． 假设存在M使，， 所以，又，所以， 即，所以， 设，则，， 所以，即， 又，所以，所以，解得， 所以. 20. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）若，且，证明：. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为， （3） 因为， 又，， 所以是方程的两个根. 依题意，有， 所以，即， 所以 ， 令，则， 令，则 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，列表即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【小问1详解】 由，所以 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即 【小问2详解】 由，定义域为， 令得或 因为，所以. 所以， 列表： 0 0 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据题意计算出是解题的第一个关键，再由二次求导判断出函数单调性，利用单调性求最值是解决问题的第二个关键所在. 21. 项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列； ①（其中）； ②. （1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由； （2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为； （3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值. 【答案】（1）不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列 ，是一个满足“绝对值关联”的5阶数列， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值关联”的阶数列的定义判断即可； （2）根据“绝对值关联”的阶数列得到，再利用，则有，解出即可； （3）根据数列新定义得，且，再分离参数得，最后分类讨论即可. 【小问1详解】 不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列， 因为． 是一个满足“绝对值关联”的5阶数列， 因为,且，满足两个性质. 【小问2详解】 因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列， 所以，即． 又，所以，同时， 所以解得. 又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列， 所以的最小值为. 【小问3详解】 数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列, 所以，且， 不妨设，，其中， 记，不妨设（否则用代替即可）， ，所以． 因为， ， 所以且，即不小于和中的最大者， 当或时，和中的最大者均为，所以， 当或时，或者，所以． 综上，当数列前项为正，后项为负时取等号， 此时数列可为：符合题意． 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是理解数列新定义得，再代入计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $