专题12 用公因数和最大公因数解决问题（解决问题专项训练）数学苏教版五年级下册

专题12 用公因数和最大公因数解决问题（解决问题专项） 1．把两根彩带（如下图）剪成同样长的短彩带且没有剩余。每根短彩带最长是多少厘米？可以剪成几段？ 2．端午节的时候，妈妈将64个甜粽子和48个咸粽子搭配成礼盒送给家里的长辈们。如果每个礼盒里面的甜粽子数量相同，每个礼盒里面的咸粽子数量也相同，那么每个礼盒里面最少装多少个粽子？ 3．明明有两根铁丝，一根长36厘米，另一根长24厘米。为了制作手工模型，明明要把它们截成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段铁丝长多少厘米？一共能截成多少段？ 4．公园要种杨树45棵，银杏树54棵，如果要求每行种同一种树，每行种的棵数相同且都种完，每行最多种多少棵树？ 5．公路处要对老街AB、BC进行亮化改造，装上一些路灯。要求每相邻两盏灯之间的距离相等，并且A点、B点、C点以及AB中点、BC中点处各装一盏灯。这两条老街一侧最少要装多少盏路灯？ 6．用48朵玫瑰和36朵铃兰扎成花束，要求每束花里玫瑰的朵数相同，铃兰的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中玫瑰和铃兰各有多少朵？ 7．一张长方形纸，长75厘米，宽60厘米，现在要把它裁成若干边长是整厘米的正方形，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，至少裁成多少块？ 8．五、六年级的同学要去爬山，五年级去了96人，六年级去了64人。要把五、六年级的同学分别分成人数相等的小队，并且每队的人数不能超过20人，每队最多有多少人？共可以分成多少队？ 9．把42块水果糖和36块巧克力分别平均分给一个组的同学，正好都分完，没有剩余。这个组最多有几名同学？ 10．在2023年的庆元旦晚会上，五（1）班同学准备了18个苹果、24根香蕉，现要把它们分别放在盘子里。如果每个盘子只放同一种水果，且每盘水果的个数相同，没有剩余，每盘最多放多少个水果？ 11．五（2）班有男生25人，女生20人。他们要参加体操比赛，如果要求每排男生人数与女生人数相等，每排最多只能站多少个人？ 12．体育老师买来60瓶可乐和72瓶矿泉水，把它们分别平均分给了几个训练小组，正好全部分完。请你算一算最多有几个训练小组？每个小组分得两种饮料各多少瓶？ 13．王老师分别将23块橡皮和42支铅笔平均分给打扫教室卫生的同学，结果橡皮少一块，铅笔多两支。参加打扫卫生的同学最多有几名？ 14．一个三角形花坛的三条边的长度分别是15米、18米、27米。要在它的三条边上摆若干盆花（三个顶点都要摆），且每相邻两盆花之间的距离相等，这个花坛至少可以摆多少盆花？ 15．大赛组委会把46本编程图书和37个益智玩具分别平均分给一等奖获得者，结果编程图书少2本，益智玩具剩1个，那么最多有多少位同学获得一等奖？ 16．在某次活动中，灯光师准备在舞台四周等距离地安装一些彩灯。如果舞台长12米，宽8米，那么至少要装几盏彩灯？ 17．班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 18．某小学组织五年级学生去春游。五（1）班有36人，五（2）班有42人，为了方便清点人数，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍。每队最多有多少人？每班各可以分成多少队？ 19．五（1）班有男生27人、女生18人，如果男、女生分别排队，要使每排人数都相等，每排最多排几人？男、女生各要排成几排？ 20．妈妈买了28个橘子和42个苹果，让小云把这些水果装入塑料袋，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同一种水果个数相同。小云最多需要多少个塑料袋？每个塑料袋中两种水果各放多少个？ 21．王阿姨把50块巧克力和35块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分完发现巧克力多了2块，奶糖少了5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 22．五（2）班有30名男生和24名女生，若要将男女生分别分成人数相等的小组，每组最多有多少人？五（2）班共分成了多少组？ 23．母亲节，花店购进一批鲜花，其中康乃馨90朵，百合花54朵。扎成花束时要使每束花中的康乃馨都一样多，每束花中的百合花也一样多。 （1）将这些花最多扎成多少束可以将这些花正好用完？ （2）这样每束花中有几枝康乃馨？有几枝百合花？ 24．有三根木条，分别长18分米、24分米和30分米。要把这三根木条截成同样长的苦干小段，三根木条都无剩余。 (1)每小段最长是多少分米？ (2)一共可以截成多少段？ 25．小明家卫生间的地面是一个长300厘米，宽240厘米的长方形，如果给卫生间的地面铺上地砖。 （1）选择下面哪种规格的地砖，不要切割，正好铺满？请简要说明理由。 （2）按照你所选规格的地砖，算一算铺满需要多少块？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 用公因数和最大公因数解决问题（解决问题专项） 1．把两根彩带（如下图）剪成同样长的短彩带且没有剩余。每根短彩带最长是多少厘米？可以剪成几段？ 【答案】5厘米；14段 【分析】根据题意可知，每根短彩带最长的长度是45厘米和25厘米的最大公因数，就是每根短彩带的最长厘米数；用总长厘米数除以每根短彩带的厘米数就是段数，再把两条彩带所剪的段数相加即可得解。 【解答】45＝5×3×3 25＝5×5 45和25的最大公因数是5，每根短彩带最长是5厘米。 45÷5＝9（段） 25÷5＝5（段） 9＋5＝14（段） 可以剪14段。 2．端午节的时候，妈妈将64个甜粽子和48个咸粽子搭配成礼盒送给家里的长辈们。如果每个礼盒里面的甜粽子数量相同，每个礼盒里面的咸粽子数量也相同，那么每个礼盒里面最少装多少个粽子？ 【答案】7个 【分析】要使每个礼盒装的粽子最少，那么礼盒数就要最多，也就是求64和48的最大公因数，这个最大公因数就是礼盒的数量，再分别算出每个礼盒中甜粽子和咸粽子的数量，最后相加就是每个礼盒最少装的粽子数。 【解答】64的因数有：1，2，4，8，16，32，64。 48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 （64，48）＝16 64÷16＝4（个） 48÷16＝3（个） 4＋3＝7（个） 答：每个礼盒里面最少装7个粽子。 3．明明有两根铁丝，一根长36厘米，另一根长24厘米。为了制作手工模型，明明要把它们截成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段铁丝长多少厘米？一共能截成多少段？ 【答案】12厘米；5段 【分析】要把两根分别长36厘米和24厘米的铁丝截成长度相等的小段且没有剩余，每段的长度就应该是24和36的公因数，而要求每段最长是多少厘米，就是求36和24的最大公因数。分解质因数：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3；24和36的最大公因数是2×2×3＝12，即每段最长是12厘米。 对于长36厘米铁丝，能截成的段数为36÷12＝3段，对于长24厘米铁丝，能截成的段数为24÷12＝2段，最后将两根铁丝截得的段数相加即可计算出总共截成的段数。 【解答】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是2×2×3＝12 24÷12＝2（段） 36÷12＝3（段） 2＋3＝5（段） 答：每段铁丝长12厘米；一共能截成5段。 4．公园要种杨树45棵，银杏树54棵，如果要求每行种同一种树，每行种的棵数相同且都种完，每行最多种多少棵树？ 【答案】9棵 【分析】每行种同一种树，且每行棵数相同，同时要将杨树和银杏树都种完，所以每行的棵数必须是杨树总棵数（45棵）和银杏树总棵数（54棵）的公因数。而“每行最多种多少棵树”，即求这两个数的最大公因数。可以用分解质因数法求出45和54的最大公因数。 【解答】45＝3×3×5 54＝2×3×3×3 3×3＝9（棵） 答：每行最多种9棵树。 5．公路处要对老街AB、BC进行亮化改造，装上一些路灯。要求每相邻两盏灯之间的距离相等，并且A点、B点、C点以及AB中点、BC中点处各装一盏灯。这两条老街一侧最少要装多少盏路灯？ 【答案】23盏 【分析】先求出AB、BC长度的一半，即490÷2＝245米，280÷2＝140米。要使相邻两盏灯距离相等且灯最少，这个距离就是245和140的最大公因数。求出最大公因数后，分别计算AB、BC段的灯数，再加上B点的灯（避免重复计算）。 【解答】求245和140的最大公因数，245＝5×49＝5×7×7，140＝5×28＝5×4×7， 最大公因数是35。 AB段灯数：490÷35＋1＝14＋1＝15（盏）； BC段灯数：280÷35＋1＝8＋1＝9（盏）； 总共灯数：15＋9－1＝23（盏）（B点重复计算，需减1 ）。 答：这两条老街一侧最少要装23盏路灯。 6．用48朵玫瑰和36朵铃兰扎成花束，要求每束花里玫瑰的朵数相同，铃兰的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中玫瑰和铃兰各有多少朵？ 【答案】12束；玫瑰4朵；铃兰3朵 【分析】有48朵玫瑰和36朵铃兰，要扎成花束，每束花中玫瑰和铃兰的朵数分别相同，且花无剩余。“最多可以扎多少束花”实际是求48和36的最大公因数（因为每束花中两种花的朵数固定，束数越多，每束的朵数越少，最大束数即两数的最大公因数）。先利用分解质因数法求出48和36的最大公因数，即最多可扎的花束数；再用玫瑰和铃兰的总朵数分别除以花束数，得到每束中两种花的朵数。 【解答】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（束） 每束玫瑰的朵数：48÷12＝4（朵） 每束铃兰的朵数：36÷12＝3（朵） 答：最多可以扎12束花，每束花中玫瑰有4朵，铃兰有3朵。 7．一张长方形纸，长75厘米，宽60厘米，现在要把它裁成若干边长是整厘米的正方形，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，至少裁成多少块？ 【答案】4种；20块 【分析】根据题意，要把这张纸裁成若干边长是整厘米的正方形，正方形的边长应是75和60的公因数，据此先分别写出75和60各自的因数，再找出它们的公因数，即是正方形的边长，从而得出不同的裁法。 要使正方形的面积最大，正方形的边长应是75和60的最大公因数。用75和60分别除以正方形的边长，求出每行的正方形块数和裁成的行数，再把它们相乘即可求出正方形的块数。 【解答】75的因数有：1、3、5、15、25、75； 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 75和60的公因数有：1、3、5、15，共4个，则一共有4种裁法。 （75÷15）×（60÷15） ＝5×4 ＝20（块） 答：有4种裁法；如果要使裁得的正方形面积最大，至少裁成20块。 8．五、六年级的同学要去爬山，五年级去了96人，六年级去了64人。要把五、六年级的同学分别分成人数相等的小队，并且每队的人数不能超过20人，每队最多有多少人？共可以分成多少队？ 【答案】16人；10队 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数；分别求出96和64的因数，再求出96和64的公因数，找出小于20的最大公因数，即就是每队的人数，再用五年级和六年级人数和除以每队人数，即可解答。 【解答】96＝1×96＝2×48＝3×32＝4×24＝6×16＝8×12 96的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，32，48，96。 64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8 64的因数有：1，2，4，8，16，32，64。 96和64的公因数有：1，2，4，8，16，32。 小于20的最大公因数是16；每队最多16人。 （96＋64）÷16 ＝160÷16 ＝10（队） 答：每队最多16人，共可以分10队。 9．把42块水果糖和36块巧克力分别平均分给一个组的同学，正好都分完，没有剩余。这个组最多有几名同学？ 【答案】6名 【分析】根据题意，也就是求42与36的最大公因数，即是这个组的最多人数；先把42与36分别分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可，据此解答。 【解答】因为， ，所以42与36的最大公因数是：。 答：这个组最多有6名同学。 10．在2023年的庆元旦晚会上，五（1）班同学准备了18个苹果、24根香蕉，现要把它们分别放在盘子里。如果每个盘子只放同一种水果，且每盘水果的个数相同，没有剩余，每盘最多放多少个水果？ 【答案】6个 【分析】每个盘子只放同一种水果，且每个盘子水果的个数相同；要将18个苹果和24根香蕉全部放在盘子里，没有剩余，则每个盘子里放的水果个数应该是18和24的最大公因数；求出18和24的最大公因数即为每盘最多可以放的水果个数。 【解答】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6，18和24的最大公因数是6。 答：每盘最多放6个水果。 11．五（2）班有男生25人，女生20人。他们要参加体操比赛，如果要求每排男生人数与女生人数相等，每排最多只能站多少个人？ 【答案】5人 【分析】已知要将男女生分别排队，每排的人数相同，要求每排最多可以排多少人，就是求20和25的最大公因数，据此解答。 【解答】20＝2×2×5 25＝5×5 20和25的最大公因数是5。 答：每排最多只能站5人。 12．体育老师买来60瓶可乐和72瓶矿泉水，把它们分别平均分给了几个训练小组，正好全部分完。请你算一算最多有几个训练小组？每个小组分得两种饮料各多少瓶？ 【答案】训练小组：12个；可乐：5瓶；矿泉水：6瓶 【分析】求出60和72的最大公因数，即为有几个训练小组；分别用可乐和矿泉水的瓶数除以最大公因数，即可求出两种饮料各多少瓶。 【解答】60＝2×2×3×5 72＝2×2×2×3×3 60和72的最大公因数是2×2×3＝12。 60÷12＝5（瓶） 72÷12＝6（瓶） 答：最多有12个训练小组；每个小组分得可乐5瓶；矿泉水6瓶。 【点评】两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。 13．王老师分别将23块橡皮和42支铅笔平均分给打扫教室卫生的同学，结果橡皮少一块，铅笔多两支。参加打扫卫生的同学最多有几名？ 【答案】8名 【分析】23块橡皮和42支铅笔平均分给同学，橡皮少1块，铅笔多2支。要求参加打扫卫生的同学最多有多少名，就是求和的最大公因数即可。 【解答】 所以24和40的最大公因数是 ＝4 ＝8 即参加打扫卫生的同学最多有8名。 答：参加打扫卫生的同学最多有8名。 【点评】明确求两个数最大公因数的方法，是解答此题的关键。 14．一个三角形花坛的三条边的长度分别是15米、18米、27米。要在它的三条边上摆若干盆花（三个顶点都要摆），且每相邻两盆花之间的距离相等，这个花坛至少可以摆多少盆花？ 【答案】17盆 【分析】根据题意，要求这个花坛至少可以摆多少盆花，就需要先求出相邻两盆花之间的最大距离，也就是求15、18和27的最大公因数。因为三角形花坛属于封闭区间植树，段数等于植树的棵树。 【解答】15＝3×5 18＝2×3×3 27＝3×3×3 则15、18、27的最大公因数是3。 （15＋18＋27）÷3 ＝60÷3 ＝20（盆） 答：这个花坛至少可以摆20盆花。 【点评】本题考查最大公因数的应用。明确“相邻两盆花之间的最大距离，就是15、18和27的最大公因数”是解题的关键。 15．大赛组委会把46本编程图书和37个益智玩具分别平均分给一等奖获得者，结果编程图书少2本，益智玩具剩1个，那么最多有多少位同学获得一等奖？ 【答案】12位 【分析】由题意可知，图书和益智玩具如果分的没有剩余，则图书有46＋2＝48（套），益智玩具有37－1＝36（个），要想每人分得的数量相等，最多有多少位同学获得一等奖，就是求48和36的最大公因数。据此解答。 【解答】46＋2＝48（套） 37－1＝36（个） 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 答：最多有12位同学获得一等奖。 【点评】此题考查的是最大公因数的应用，求两个数的最大公因数的方法是把两个数共有的因数相乘。 16．在某次活动中，灯光师准备在舞台四周等距离地安装一些彩灯。如果舞台长12米，宽8米，那么至少要装几盏彩灯？ 【答案】 10盏 【分析】要在舞台四周等距离装彩灯且数量最少，需先确定最大的等距间隔，即长和宽的最大公因数，再计算长方形舞台周长＝（长＋宽）×2，最后用周长除以间隔得到彩灯数。 【解答】求长和宽的最大公因数：12和8的最大公因数是4，即最大等距间隔为4米。 计算舞台周长：舞台是长方形，周长为 （米） 计算彩灯数量：用周长除以间隔：（盏）。 答：至少要装10​盏彩灯。 17．班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【答案】7人 【分析】根据题意可知，问在书法比赛中获奖的学生有多少人，先算出钢笔和练习本各需要多少，再求出它们的最大公因数，就是在书法比赛中获奖的学生的人数，据此解答即可。 【解答】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是：7 答：在书法比赛中获奖的学生有7人。 18．某小学组织五年级学生去春游。五（1）班有36人，五（2）班有42人，为了方便清点人数，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍。每队最多有多少人？每班各可以分成多少队？ 【答案】6人；五（1）班可6队；五（2）班7队 【分析】根据题意，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍，那么每队的人数是两个班人数的公因数；求每队最多的人数就是求两个班人数的最大公因数； 然后看每班人数里各有几个最大公因数，用除法计算，就是每班各可以分成的队数。 【解答】36＝2×2×3×3 42＝2×3×7 36和42的最大公因数是：2×3＝6 即每队最多有6人。 36÷6＝6（队） 42÷6＝7（队） 答：每队最多有6人，五（1）班可以分成6队，五（2）班可以分成7队。 19．五（1）班有男生27人、女生18人，如果男、女生分别排队，要使每排人数都相等，每排最多排几人？男、女生各要排成几排？ 【答案】9人；男生：3排，女生：2排 【分析】（1）要求每排最多排多少人，就是求27和18的最大公因数，根据分解质因数的方法，先把27和18分解质因数，再找出它们的最大公因数就是每排最多排的人数； （2）分别用男生、女生人数除以每排最多排的人数就是对应的排数。 【解答】27＝3×3×3 18＝2×3×3 27和18的最大公因数是：3×3＝9 27÷9＝3（排） 18÷9＝2（排） 答：要使每排人数都相等，每排最多排9人，男生要排成3排，女生要排成2排。 20．妈妈买了28个橘子和42个苹果，让小云把这些水果装入塑料袋，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同一种水果个数相同。小云最多需要多少个塑料袋？每个塑料袋中两种水果各放多少个？ 【答案】14个；橘子2个，苹果3个 【分析】求最多需要多少个塑料袋，就是求28和42的最大公因数，先将28和42分解质因数，这两个数公有质因数的乘积就是它们的最大公因数。最后用这两个数分别除以最大公因数即可求出每个塑料袋中两种水果各有的个数。 【解答】28＝2×2×7 42＝2×3×7 28和42的最大公因数是：2×7＝14 28÷14＝2（个） 42÷14＝3（个） 答：小云最多需要14个塑料袋，每个塑料袋中橘子有2个，苹果3个。 21．王阿姨把50块巧克力和35块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分完发现巧克力多了2块，奶糖少了5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 【答案】8个 【分析】根据题意，分别求出分给小朋友的巧克力糖和奶糖的块数，然后再求出分得块数的最大公因数，然后再进一步解答即可。 【解答】50－2＝48（块） 35＋5＝40（块） 48＝2×2×2×2×3 40＝2×2×2×5 48和40的最大公因数是：2×2×2＝8 答：舞蹈队有8个小朋友。 22．五（2）班有30名男生和24名女生，若要将男女生分别分成人数相等的小组，每组最多有多少人？五（2）班共分成了多少组？ 【答案】6人；9组 【分析】确定每组最多人数：要使男女生分别分组且每组人数相等，每组最多人数就是30和24的最大公因数，可通过分解质因数法，找出30和24公有的质因数并相乘，得到最大公因数； 计算班级总组数：用男生人数除以每组最多人数得男生组数，用女生人数除以每组最多人数得女生组数，两者相加就是班级一共分成的组数。 【解答】30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 所以30和24的最大公因数是2×3＝6 30÷6＝5（组） 24÷6＝4（组） 5＋4＝9（组） 答：每组最多有6人，五（2）班共分成了9组。 23．母亲节，花店购进一批鲜花，其中康乃馨90朵，百合花54朵。扎成花束时要使每束花中的康乃馨都一样多，每束花中的百合花也一样多。 （1）将这些花最多扎成多少束可以将这些花正好用完？ （2）这样每束花中有几枝康乃馨？有几枝百合花？ 【答案】 （1）18束；（2）康乃馨5枝；百合花3枝 【分析】（1）由题意可知，就是要求90和54的最大公因数，可用短除法计算。 （2）分别用90和54除以90和54的最大公因数，即可得解。 【解答】（1） 90和54的最大公因数是：（束） 答：将这些花最多扎成18束可以将这些花正好用完。 （2）（枝） （枝） 答：这样每束花中有5枝康乃馨，有3枝百合花。 24．有三根木条，分别长18分米、24分米和30分米。要把这三根木条截成同样长的苦干小段，三根木条都无剩余。 (1)每小段最长是多少分米？ (2)一共可以截成多少段？ 【答案】(1)6分米 (2)12段 【分析】根据题意，可计算出18、24、30的最大公因数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公因数加上24除以最大公因数加上30除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。 【解答】（1）18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 30＝2×3×5 所以18、24与36最大公因数是：2×3＝6。 答：每小段最长是6分米。 （2）一共可以截成：18÷6＋24÷6＋30÷6 ＝3＋4＋5 ＝12（段） 答：一共截成12段。 25．小明家卫生间的地面是一个长300厘米，宽240厘米的长方形，如果给卫生间的地面铺上地砖。 （1）选择下面哪种规格的地砖，不要切割，正好铺满？请简要说明理由。 （2）按照你所选规格的地砖，算一算铺满需要多少块？ 【答案】（1）选择边长60厘米的地砖。理由：60厘米是地面长度300厘米和宽度240厘米的公因数。 （2）20块 【分析】（1）不要切割，正好铺满，说明地砖的边长是300厘米和240厘米的公因数，据此推断地砖的两个边长50厘米和60厘米，哪个长度符合要求； （2）用地面的长度和宽度分别除以所选地砖的边长，得到地面长度和宽度两个方向各需要铺几块，再把长度和宽度两个方向铺砖的块数相乘即可解答。 【解答】（1）300＝5×60，240＝4×60，所以60是300和240的公因数。 300＝6×50，240＝4.8×50，所以50不是300和240的公因数。 答：选择边长60厘米规格的地砖，不要切割，正好铺满。理由：60厘米是地面长度300厘米和宽度240厘米的公因数。 （2）（300÷60）×（240÷60） ＝5×4 ＝20（块） 答：铺满需要20块。 学科网（北京）股份有限公司 $