第一章 整式的乘除 回顾与反思(课件PPT)-【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材七年级下册数学（北师大版）

第一章 整式的乘除 回顾与思考 回顾与思考 1.本章先学习幂的运算再学习整式的乘法，对于这样的顺序你是如何理解的? 2.举例说明如何进行幂的相关运算，你是怎样得到这些运算法则的? 3.举例说明如何进行整式的乘法运算。 4.整式乘法公式有哪些?它们的特点是什么? 5.举例说明如何利用几何图形解释整式乘法公式。 6.举例说明如何进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算。 7.用自己的方式梳理本章的知识结构，你是怎样想的?与同伴进交流。 回顾与思考 知 识 专 题 学科网 zxxkw 1、同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 数学符号表示： （其中m、n为正整数） （一）幂的乘法运算法则 2、幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 数学符号表示： （其中m、n为正整数） （其中m、n、P为正整数） 3、积的乘方 法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。） 符号表示： 法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。 数学符号表示： （其中m、n为正整数） （二）同底数幂的除法法则 （三）整式的乘法 （1）单项式乘以单项式： 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数。相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。 （2）单项式乘以多项式： m(a+b+c)=ma+mb+mc。 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）多项式乘以多项式： (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （四）乘法公式 公式名称 平方差公式 完全平方公式 文字表示 两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差 两数和(差)的平方，等于这两数的______加上(减去)________的2倍 式子表示 (a＋b)(a－b)＝ (a±b)2＝　　 平方和 这两数积 a2－b2 a2±2ab＋b2 公式的 常 用变形 a2＝　 　(a－b)＋b2； b2＝　　－(a＋b)(a－b)。 a2＋b2＝(a＋b)2－ ,　　 或(a－b)2＋ 　； (a＋b)2＝(a－b)2＋ 。　 (a＋b) 2ab 2ab 4ab [点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算； (2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式。 a2 （五）整式的除法 （1）单项式除以单项式： 单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 （2）多项式除以单项式： (a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 考点一 幂的乘法运算 1．下列运算正确的是（　　） A．a4+a5=a9 B．a3•a3•a3=3a3 C．2a4×3a5=6a9 D．（﹣a3）4=a7 【解答】解：A、a4+a5=a4+a5，不是同类项不能相加； B、a3•a3•a3=a9，底数不变，指数相加； C、正确； D、（﹣a3）4=a12。底数取正值，指数相乘。 故选C。 2. 计算：0.252017 ×（－4）2017－8100 ×0.5301。 解:原式=[0.25 ×（－4）]2017－（23）100 ×0.5300 ×0.5 =－1－（2 ×0.5）300 ×0.5 =－1－0.5 =－1.5。 解:∵420=（42）10=1610， ∴1610>1510, ∴420>1510。 3. 比较大小：420与1510。 考点二 整式的乘法 1. 一个长方体的长、宽、高分别3a-4，2a，a，它的体积等于（ ） A.3a3-4a2 B.a2 C.6a3-8a2 D.6a3-8a 解析：由题意知，V长方体=（3a-4）·2a·a=6a3-8a2。故选C。 2.已知（x+a）（x+b）=x2-13x+36，则a+b的值是（ ） A.13 B.-13 C.36 D.-36 解析：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab， 又因为（x+a）（x+b）=x2-13x+36， 所以a+b=-13。故选B。 3. 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中 x=1,y=3。 解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2) ×3x2y =(2x3y2－2x2y) ×3x2y = 6x5y3－6x4y2 。 当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108。 考点三 整式的乘法公式的运用 1．已知x+y=﹣5，xy=3，则x2+y2=（　　） A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19 【分析】把x2+y2利用完全平方公式变形后，代入x+y=﹣5，xy=3求值。 【解答】解：∵x+y=﹣5，xy=3， ∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=25﹣6=19。 故选：C。 2．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（　　） A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8 C．a8+b8 D．a8﹣b8 【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）， =（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4）， =（a4﹣b4）2， =a8﹣2a4b4+b8。 故选B。 考点四 整式的除法 1.化简求值：[(x＋1)(x＋2)－2]÷x其中x＝3。 解：原式＝[x2＋3x＋2－2]÷x ＝(x2＋3x)÷x ＝x＋3。 当x＝3时， 原式＝3＋3＝6。 2.计算下列各题： (1) (-4a5b3)2÷(8a2b3) (2) (x+2)2-(x+3)(x-3) (3) [(2x+1)(4x+2)-2]÷(8x) (4) 已知x+y=10, x•y=24, 求x2+y2的值。 解:(1) (-4a5b3)2÷(8a2b3) =16a10b6÷8a2b3 =2a8b3 (2) (x+2)2-(x+3)(x-3) = x2+4x+4-x2+9 =4x+13 (3) [(2x+1)(4x+2)-2]÷(8x) = (8x2+8x+2-2)÷8x = (8x2+8x)÷8x =x+1 (4) 当x+y=10，x•y=24时， x2+y2= (x+y)2-2xy， =102-2×24， =100-48=52。 考点五 科学记数法 PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0 000 025m的颗粒物，将0.0 000 025用科学记数法表示为（　　） A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。 【解答】解：0.0 000 025=2.5×10﹣6； 故选：D。 考点六 本章数学思想和解题方法 转化思想 1.计算：(1)－2a·3a2b3· (2)（－2x+5+x2）·（－6x3）。 解：（1）原式= （2）原式=(－2x)·(－6x3)+5·(－6x3)+x2·(－6x3) =12x4－30x3－6x5。 将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法。如本章中，多项式×多项式 单项式×多项式 单项式×单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘法。 方法总结 2.计算：（4a－b）•（－2b）2。 解：原式=（4a－b）•4b2=16ab2－4b3。 针对训练 整体思想 3. 若2a+5b－3=0，则4a·32b= 。 【解析】已知条件是2a+5b－3=0，无法求出a，b的值因此可以逆用积的乘方先把4a·32b。化简为含有与已知条件相关的部分，即4a·32b=22a·25b=22a+5b。把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b-3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8。 8 在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错。 方法总结 4.若xn=5，则(x3n)2－5(x2)2n= 。 12 500 5.若x+y=2，则 = 。 2 针对训练 6.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 。 b a a a a b b b b b a-b 数形结合思想 a2－b2=(a+b)(a－b) 【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影 部分可知其面积是两个正方形的面积差(a2－b2),又由于图的梯形的上底是2b,下底是2a,高为a－b,所以梯形的面积是(2a+2b)(a－b) ÷2=(a+b)(a－b),根据面积相等，得乘法公式a2－b2=(a+b)(a－b)。 本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形。由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起。 方法总结 7.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图①和图②等图形的面积表示。 a a a b b ab ab ab a2 a2 b2 图① b2 a2 a2 ab ab ab a a a b b 图② 针对训练 （2）请画一个几何图形，使它的面积能表示 （a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2。 （1）请写出图③所表示的代数恒等式； b b a a b a ab ab ab ab ab a2 a2 b2 b2 图③ 图④ a2 b a ab ab ab ab b2 b2 b2 (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2; $