1.3 第4课时 完全平方公式(课件PPT)-【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材七年级下册数学（北师大版）

第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式 第4课时 完全平方公式 学习目标 1、应用完全平方公式进行简便计算，体会公式的运用 2、完全平方公式在整式计算中的应用 导入新课 1.平方差公式的数学表达式： 平方差公式的文字叙述： 两个数和与这两数的积，等于它们的平方差。 (a+b) (a-b) = a2 -b2 a2 -b2= (a+b) (a-b) 2.完全平方公式的数学表达式： 完全平方公式的文字叙述： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 讲授新课 思考：怎样计算1022,1972更简单呢？ (1) 1022； 解：原式= (100+2)2 =10 000+400+4 =10 404。 (2)1972。 解：原式= (200 –3)2 =40 000 -1 200+9 =38 809。 例6 计算：(1) (x+3)2 - x2 方法一： 完全平方公式合并同类项 (x+3)2-x2 = x2＋6x+9-x2 = 6x+9 方法二： 平方差公式单项式乘多项式。 (x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)×3 =6x+9 解: (a+b+3) (a+b−3) = =( )2− 32 a+b =a2 +2ab+b2－9 将(a+b)看作一个整体，解题中渗透了整体的数学思想。 (2)(a+b+3)(a+b-3) [(a+b)+3][(a+b)-3] (3) (x+5)2–(x-2)(x-3) 解: (x+5)2-(x-2)(x-3) =(x2+10x+25)-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19 温馨提示： 1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。 解: [(a+b)(a-b)]2 = =(a2)2−2a2b2+(b2)2 =a4 −2a2b2+b4 （4）[(a+b)(a-b)]2 （a2-b2）2 观察·思考 观察图1-12，你认为(m+n)x(m+n)点阵中的点数与mxm点阵、nxn点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。 当堂检测 1.利用整式乘法公式计算: (1) 962。 （2）(a-b-3)(a-b+3) 原式=(100-4)2 = 1002-800+16 = 9 216 解: (1) 方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照平方差公式进行计算。 解：（2）原式= [(a-b)-3][(a-b)+3] = (a-b)2-9 = a2-2ab+b2-9 （1）(a+b－c)(a-b＋c) 2.对应计算: （2）(a-2b+3)(a－2b-3) = [a+(b-c)][(a- (b-c)] 解：（1）(a+b－c)(a-b＋c) =a2－(b－c)2 =a2－(b2－2ab＋c2) = a2－b2＋2ab－c2 （2）(a－2b＋3)(a－2b-3) = [(a－2b)＋3][(a－2b)-3] = (a－2b)2－9 =(a2－4ab＋b2) －9 =a2－4ab＋b2－9 3.计算： (1) (x-5)2- (x+2) (x-2) (2) (x-3)2- (x+2) 2 解：(x-5)2- (x+2) (x-2) =(x2-2×5x+52)- (x2-22) =(x2-2×5x+52)- (x2-22) =x2-10x+25- x2+4 =-10x+29 解： (x-3)2- (x+2) 2 =(x-3+ x+2) [(x-3 )-(x+2)] =(2x-1) (x-3 –x-2) =(2x-1)×(-5) =-10x+5 4. 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y)。 方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式。 解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2) =(x2－4y2)2 =x4－8x2y2＋16y4。 5.已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值。 解：因为a＋b＝7， 所以(a+b)2＝49。 所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29。 (a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9。 要熟记完全平方公式哦！ 6.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2。 7.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y。 解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37； a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43。 解：因为x+y=4, 所以(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①; 因为x2+y2=8②; 由①－②得2xy=8， ②－得x2+y2－2xy=0。即(x－y)2=0，故x－y=0 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2。 8.有这样一道题，计算：2（x+y）(x－y)+[(x+y)2－xy]+ [(x－y)2 +xy]的值，其中x=2006，y=2007； 某同学把“y=2007”错抄成“y=2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由。 解：原式=2x2－2y2+[x2+y2 +2xy－xy]+[x2+y2 －2xy+xy]=2x2－2y2+x2+y2 +xy+x2+y2 －xy =2x2－2y2+2x2+2y2=4x2。 答案与y无关。 课堂小结 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算 的式子，可能需要先添括号 变形成符合公式的要求才行 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差 公式不同（从公式结构特点 及结果两方面） a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2。 $