1.3 第1课时 平方差公式(课件PPT)-【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材七年级下册数学（北师大版）

第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式 第1课时 平方差公式 学习目标 1、理解平方差公式，并会推导和用自己的语言叙述公式 2、掌握平方差公式的结构特点，会用它进行有关多项式的乘法运算 导入新课 （1）（x ＋ 2)( x－2）；（2）（1 ＋ 3a)( 1－3a）； （3）（x+5y)(x-5y）； （4）（2y ＋ z)(2y－z）。 算一算：看谁算得又快又准。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？你能再举一些类似的例子吗？与同伴进行交流。 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差。 (a+b)(a−b)=a2−b2 讲授新课 (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差。 公式变形: (a–b) (a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a )=a2−b2 平方差公式： (a+b)(a-b) = a2-b2 相同为a 相反为b 适当交换 合理加括号 (a+b)(a−b)=a2−b2 （1）左边:都是两项式，是相同两数的和与差相乘；即一项相同、另一项符号相反（互为相反数或式) （2）右边：是这两个数的平方差；即右边是左边相同项的平方减去互为相反数项的平方。 （3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是代数式，可以是两个单项式，也可以是两个多项式等。 （4）各因式项数相同。符号相同的放在前面平方，符号相反的放在后面平方。 平方差公式的结构特征： 1.判断下列式子能否用平方差公式计算 (1) (a+2b)(−a−2b) ； (2) (a−2b)(-a+2b) ； (3) (-2a+b)(-2a-b)； (4) −(a−3b)(a+3b) ； (5) (2x − 3y)(3y+2x)； (6) (xy+5) (xy-5)。 × × √ √ √ √ 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2； （3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2。 注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是a ?哪个是b? (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 2.填一填： a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 ( 0.3x)2－12 (a+b)(a-b) 例2 利用平方差公式计算： (1) (2) (ab+8)(ab－8)。 解：(1)原式= (2)原式=(ab)2－82 =a2b2－64。 尝试·思考 如何计算 (a-b)(-a-b)？你是怎样做的？ 当堂检测 1.判断下面计算是否正确 （1） （ ） （2）( 3x – y )( -3x + y ) = 9x2 - y2 （ ） （3） ( m + n )(-m – n ) = m2 - n2 （ ) × × × (1) (a-b)(-b+a) (2) (a+b)(a-c) (3) (-2x+3y)(2x-3y) (4) (c ²-d²)(d²+c²) 2.认真观察它们能使用平方差公式运算吗？ 不能 不能 能 不能 3.计算: (1)(b+2)(b−2)； （2）(a +2b)(a−2b) ； （3）(−3x+2)(−3x−2) ； （4）(−4a+3)(−4a−3) ； （5）(−3x+y)(3x+y) ； （6）(y−x)(−x−y) 。 解：（1）(b+2)(b−2) （3）(−3x+2)(−3x−2) （2）(a +2b)(a−2b) =b2－4 =a2－4b2 =9x2－4 （5）(−3x+y)(3x+y) （4）(−4a+3)(−4a−3) （6）(y−x)(−x−y) =16a2－9 =y2－9x2 =x2－y2 法一 利用加法交换律，变成公式标准形式。 (3x5)(3x−5) =(5)2 (3x)2 = 25−9x2。 法二 提取两“”号中的“−”号，变成公式标准形式。 (3x5)(3x−5) =－[(3x)252] =259x2。 =(5－3x ) (－5＋3x) =(3x+5) (3x5) 4.用两种方法计算(3x5)(3x5) (1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)。 解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2； (2)原式=(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16。 5.利用平方差公式计算： 6.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2。 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2。 当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15。 方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算。 课堂小结 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 对于不符合平方差公式标准形式者，或提取两“−”号中的“−”号，要利用加法交换律，变成公式标准形式后，再用公式。 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2。 $