17.2.1配方法 教案 共2课时教学设计2025-2026学年 沪科版数学 八年级下册

第十七章 一元二次方程 17.2.1　配方法 第1课时 一、 教学目标 　　1.理解一元二次方程“降次”的转化思想，对形如(x+m)2=p(p≥0)的一元二次方程进行直接开平方法求解； 2.掌握形如ax2+c=0和e(ax+m)2+n=p的一元二次方程的解法； 3.通过探究和学习直接开平方法的过程，使学生体会“换元”与“分类讨论”的数学思想； 4.经历运用直接开平方法解一元二次方程的过程，使学生在学习中体会成功感，感受 数学学习的价值. 二、 教学重难点 重点：用直接开平方法解一元二次方程. 难点：直接开方后得两个一元一次方程（降次思想）. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识. 填空： 1. 16的平方根是______. 2. x2=25，x= ____. 3. 判断：任何数都有平方根. 4. 一个正数有____个平方根. 5. a2+2ab+b2=_____；a2–2ab+b2=____. 预设答案：1. ±4. 2. ±5 3. × 4. 2 5. (a+b) 2， (a–b) 2 设计意图：回顾知识，为本节课的内容打下基础. 环节二：探究新知 探究：解方程:：(1)x2=9，(2)x2=0 ，(3)x2= – 9. 解：(1)根据平方根的意义，， 所以方程的两个根为：x1=3， x2= –3. (2)根据平方根的意义，x=，所以方程x2=0的两个根为：x1= x2= 0. (3)由于没有一个数的平方小于零，故x2=–9无解. 总结：一般的，对于可化为方程 x2 = p， (1)当p>0时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等 的实数根x1=−， x2=； (2)当p=0时，方程x2 = p有两个相等的实数根x1= x2=0； (3)当p<0时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 = p无实数根. 像这样求一元二次方程x2=9和x2=0的根的方法，叫做直接开平方法. 设计意图：通过探究解形如x²=p的几种情形，引出直接开平方法的概念，体会直接开平方法的过程. 练一练：利用直接开平方法解下列方程： (1)x2=6； (2)x2-900=0. 解：(1)直接平方，得：x=±； 所以方程x2=6的两个根为：x1=−，x2=. (2)移项，得x2=900 直接开平方，得x=±30， 所以方程x2-900=0的两个根为：x1=30， x2=-30. 对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=121. 由方程x2=121得x=±11.由此想到： (x+3)2=121 ， 得 x+3=±11 所以x+3=11或x+3=-11 于是，方程(x+3)2=25的两个根为：x1=8， x2=-14. 上面的解法中： 设计意图：理解一元二次方程“降次”的转化思想，对形如(x+m)2=p(p≥0)的一元二次方程进行直接开平方法求解. 环节三：应用新知 教师活动：讲解过程中渗透降次的含义，是一元二次方程，整理成两个一元一次方程. 例：解方程 (1)(x+1)2=2； (2)3(3-2x)2-12= 0. 分析：(1)将(x+1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. (2)将-12移到方程的右边，再两边都除以3，将(3-2x)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 解：(1)直接开平方，得x+1=± 所以方程(x+1)2=2的两个根为：x1=−1，x2=−−1. (2)移项，得3(3-2x)2= 12， 两边都除以3，得 (3-2x)2= 4， 直接开平方，得 3-2x= ±2， 所以方程的两个根为：x1=−，x2=. 归纳： 形如(x+m)2=p，(x+m)2+n=p，e(ax+m)2+n=p的一元二次方程.利用换元思想，整理成形如t2=p的一元二次方程，若p≥0，再降次成两个一元一次方程. 设计意图：巩固利用直接开平方法解一元二次方程，培养学生的应用意识. 环节四 巩固新知 1.一元二次方程x2 – 1=0的根是（ ） A. x=1 B. x= – 1 C. x=0.5 D.±1 2.关于x的方程2x2 – 8=0的根是（ ） A. x1=0，x2= 4 B. x1=，x2= C. x1=2，x2= – 2 D. x1=x2= 2 3.方程(x – 2) 2 +4=0的解是（ ） A. x1=x2=0 B. x1=2，x2= – 2 C. x1=0，x2= 4 D.没有实数根 4.利用直接开平方法解下列方程： (1)x2=25； (2)x2-0.81=0； (3)3(x+1)2=48； (4)2(x-2)2-4=0. 答案： 1.D 2.C 3.D 4.解：(1)直接开平方，得 x=±5 所以方程的两个根为： x1=5，x2=−5. (2)移项，得 x2=0.81 直接开平方，得x=±0.9 所以方程的两个根为：x1=0.9，x2=−0.9. (3)两边同时除以3，得 (x+1)2=16 直接开平方，得 x+1=±4 所以方程的两个根为：x1=3，x2=−5. (4)移项，得 2(x-2)2=4 两边同时除以2，得(x-2)2=2 直接开平方，得 x−2=± 所以方程的两个根为：x1=2+，x2=2−. 设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 环节五：课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 一元二次方程 17.2.1配方法 第2课时 一、 教学目标 1.理解配方法，会利用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程； 2.会利用配方法灵活地解决二次项系数不为1的一元二次方程； 3.通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想； 4.经历由已知知识到新知识的探究过程，培养学生观察能力和运用所学过的知识解决问题的能力，使学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 二、 教学重难点 重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程. 难点：灵活的运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 教师活动：请同学们跟随老师一起练习上节课内容，着重说明第（4）题的配方 互动方式：全班作答 1.解方程： （1）；（2）；（3）；（4） 答：（1）x1=3， x2= – 3；（2）x1=0， x2=4；（3）x1=0， x2= – 6；（4）y1=9， y2= – 3 2. 填空： (1)a2+2ab+b2=_______ (2)a2 – 2ab+b2=________ (3)x2 +mx+9是完全平方式，m=_________ (4)4x2 +12x+a是完全平方式，a=_________ 预设答案：（1）(a+b)2；（2）(a – b)2；（3）±6；（4）9 教师活动：在问题2中讲解（3）（4）时，着重说明常数项是一次项系数一半的平方，注重演示及方法阐述. 设计意图：练习上节课的解方程问题，为后面内容做铺垫，结合前面学习过的完全平方公式来配方，为后面配方法解方程做方法铺垫. 环节二：探究新知 思考：(1)怎样解方程x2+2x–1=0? 预设答案：x2+2x–1=0 移项，得x2+2x=1 左边既不是单独的平方式，也不能直接化成平方式，所以这个方程，显然不能通过直接开平方来解. 思考：(2)能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式? 解：x2+2x–1=0 移项，得x2+2x=1 两边都加1，得 x2 + 2x +1= 1+1 即 (x + 1)2 = 2 直接开平方，得x+1=± 所以原方程的根是x1=−1，x2=−−1 思考：(3)上述求解一元二次方程的思路是怎样的呢？ 预设答案：解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = p(p≥0)的形式. 注意：左边是一个完全平方式，右边是个大于等于0的常数. 思考：(4)上面等式x2 + 2x +1= 1+1的左边常数项和一次项系数有什么关系？ 预设答案：常数项是一次项系数一半的平方. 总结：二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方. 思考：(5)对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？ 预设答案： 练一练：参考上题的解题思路，尝试解方程： x2+6x+4=0. 预设答案： 追问：为什么在方程 x2+6x=-4的两边加上9，而不是别的数呢？ 预设答案：要配成完全平方式，常数项是一次项系数的一半的平方，所以两边只能加上9. 归纳：像上面这样，通过配成完全平方形式，再直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做配方法. 思考：如果一元二次方程的系数不为 1 ，我们应该怎样使用配方法去解方程呢？ 预设答案：方程3x2 + 18x + 24 = 0两边同时除以二次项系数3，得到二次项系数为1的一元二次方程，从而求解. 归纳：在方程的两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再根据二次项系数为1的解法求解. 设计意图：通过经历由已知知识到新知识的探究过程，培养学生观察能力和运用所学过的知识解决问题的能力，使学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 环节三：应用新知 例1：用配方法解下列方程： (1) x2 – 4x–1=0 (2) 2x2 – 3x–1=0 分析：(1)将常数项移到右边，左边配完全平方形式，再利用直接开平方法求解. (2)先把x2的系数化为1，再将常数项移到右边，左边配完全平方形式，再利用直接开平方法求解. 解：(1) 移项，得x2 – 4x = 1 配方，得x2 – 2×2x +22=1+22 (x–2)2=5 开平方，得 所以原方程的根是 (2) 解：先把x2的系数化为1，即把原方程两边同除以2，得 移项，得 配方，得 开平方，得 所以原方程的根是. 讨论：根据上面的例题，请你归纳出用配方法解一元二次方程应有的步骤. ①化—二次项系数化为1，如果二次项系数不为1，将其化为1； ②移—移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程边为(x + m)2 = p (p≥0)的形式； ④开—如果p≥0，就可左右两边开平方得； ⑤解—解两个一元一次方程得. 设计意图：从二次项系数为1到不为1的自然过渡，培养学生用已学的知识解决问题的能力. 环节四：课堂练习 互动方式：学生独自作答，老师展示书写好的过程. 1.填空： (1) x2 –8x+( )2=(x–____)2 (2) y2 +5y+( )2=(y + ___)2 (3) x2 –x +( )2 =(x – ____)2 (4) x2 +px+( )2 =(x + ___)2 2.用配方法解下列方程 (1) x2 +x –1=0 (2) x2 –3x –2=0 (3) 2x2+5x –1=0 (4) 3x2 – 6x +1=0 答案： 1.（1）4，4（2），（3），；（4），. 2.解：(1) 移项，得x2 +x=1 配方，得x2 +x+=1+ 即(x+)2= 开平方，得x += 所以原方程的根是x1=，x2= (2) 移项，得x2 –3x =2 配方，得x 2 –3x+=2+ 即(x –)2= 开平方，得x –= 所以原方程的根是x1=，x2= (3) 两边同时除以2，得 x2+x –=0 移项，得x2+x = 配方，得x2+x+=+ 即(x +)2= 开平方，得x += 所以原方程的根是x1=，x2= (4) 两边同时除以3，得x2 –2x+=0 移项，得x2 –2x = 配方，得x2 –2x+12= 即(x –1)2= 开平方，得x –1= 所以原方程的根是x1= ，x2= 设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 环节五：课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $