专题01 一元二次方程及其解法大全（暑假复习讲义）新九年级数学新教材沪科版

专题01 一元二次方程及其解法大全 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 根据一元二次方程定义求参数 题型5 判别式求参数范围 题型2 由一元二次方程的解求参数 题型6 韦达定理代数式求值 题型3 解一元二次方程 题型7 特殊法解一元二次方程 题型4 配方法变形与求最值 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.一元二次方程定义与一般形式 2.四种常规解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 3.根的判别式的应用 4.韦达定理（根与系数关系）基础运用 5.含参数一元二次方程参数求解 6.一元二次方程实际应用 1.概念辨析：选择题常考一元二次方程判定，二次项系数不为0是核心隐藏条件。 2.方程求解：计算题必考四种解法，侧重根据方程特征择优选用简便解法。 3.判别式：结合根的存在情况求参数范围，期末、中考高频填空考点。 4.韦达定理：依托整体代换思想，不解方程完成代数式求值。 5.实际应用：解答题结合生活情境建立方程模型，求解后检验根的实际意义。 6.综合拓展：配方法求代数式最值、方程与几何结合类小综合。 考情解码：一元二次方程为沪科版八年级下册第17章核心内容，承接整式因式分解、一元一次方程，是后续二次函数、分式方程的学习基础，为初中代数关键枢纽。 考题由单一解方程逐步转向参数探究、实际建模、跨知识综合考查，判别式、韦达定理、实际应用题是三大高频命题模块，高频易错点集中在忽略二次项系数非零、配方运算漏项、使用韦达定理前未验证判别式。 知识点一 一元二次方程定义与一般形式 判定三要素：整式方程；只含一个未知数；化简后未知数最高次数为2，二次项系数。 标准一般式：为常数，为二次项系数，为一次项系数，为常数项；为缺一次项方程，为缺常数项方程。 方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值；特殊规律：则为方程一根，则为方程一根，常数项为0时是方程的根。 【易错提醒】 （1）判断/求参数时，务必保证二次项系数，极易遗漏； （2）含分式、根号内有未知数的式子，不是一元二次方程。 即时即练下列选项中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点二 解一元二次方程 直接开平方法 适用：形如的方程，无实数根，开平方转化两个一次方程求解； 配方法 适用所有一元二次方程，步骤：二次项系数化为1→移常数项至右侧→等式两边同加一次项系数一半的平方→整理成完全平方式再开方； 公式法 万能解法，先整理为一般式，确定，计算判别式，方可代入求根公式，无实数根； 因式分解法 适用整理后右侧为0、左侧可因式分解的方程，分解成两个一次因式乘积为0，分别令因式为0求根； 选用顺序：因式分解法＞直接开平方法＞配方法＞公式法。 【易错提醒】 （1）配方只在等式左侧加常数，右侧不加； （2）不可直接约去含未知数的公因式，容易丢失根。 即时即练解方程： (1)； (2)． 知识点三 根的判别式 ：方程有两个不相等实数根； ：方程有两个相等实数根； ：方程无实数根； 主要用途：判断根的个数、根据根的限定条件求解参数取值。 【易错提醒】 （1）含参数题目，先保证，再计算； （2）代入时不要漏掉负号，负数的平方结果为正。 即时即练已知是关于的一元二次方程，其中为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 知识点四 韦达定理 前提：且，设两根，则， ； 常用变形：，整体代入是主要考查形式。 【易错提醒】 （1）无实数根时不能使用韦达定理计算。 即时即练一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型1 根据一元二次方程定义求参数 例1．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可能是（        ） A．1 B． C．0 D．2 【技巧总结】 （1）同时满足两个条件：未知数最高次数为2、二次项系数不为0； （2）先根据次数求出参数，再舍去使二次项系数为0的参数值； （3）题干只说“方程”，需分类讨论一次方程、二次方程两种情况。 【变式训练1-1】若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【变式训练1-2】若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 题型2 由一元二次方程的解求参数 例3．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 例4．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【技巧总结】 （1）根代回：已知方程的根，直接代入原方程，求解参数； （2）整体代入：利用方程变形降次，替换复杂代数式，简化计算； （3）特殊根速算：根为0则常数项为0；根为1则a+b+c=0；根为-1则a-b+c=0； （4）含二次项的方程，求出参数后必验二次项系数不为0。 【变式训练2-1】若是关于x的一元二次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式训练2-2】若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 题型3 解一元二次方程 例5．解方程： (1)； (2)． 例6．解下列方程： (1)； (2)． 【技巧总结】 （1）观察方程结构，平方结构选开平，易分解选因式分解，其余配方或公式； （2）缺常数项优先因式分解提公因式。 【变式训练3-1】解方程： (1)； (2) 【变式训练3-2】解方程： (1)； (2)． 题型4 配方法变形与求最值 例7．下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 例8．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【技巧总结】 （1）提取二次项系数后配方，化为形式，根据正负判断最值； （2）配方只针对含未知数部分变形。 【变式训练4-1】方程配方后写成的形式，则的值为________． 【变式训练4-2】若定义：，则代数式的最小值为______． 题型5 判别式求参数范围 例9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 例10．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）二次项系数≠0+判别式满足对应不等关系，联立不等式组； （2）一元二次方程前提永远优先保证。 【变式训练5-1】若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（     ） A．1 B．0 C． D． 【变式训练5-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件整数k的值______． 题型6 韦达定理代数式求值 例11．方程的两个根为、，若，则的值为______． 例12．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【技巧总结】 （1）先用韦达算出两根和与积，所求式子恒等变形，整体代入计算； （2）做题第一步先验证。 【变式训练6-1】若，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【变式训练6-2】若一元二次方程的两个根为，，则____________ 【变式训练6-3】设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 题型7 特殊法解一元二次方程 例13．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 例14．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【技巧总结】 （1）整体换元法：重复结构设元降次，简化复杂方程，解后回代求原未知数。 【变式训练7-1】已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【变式训练7-2】已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 1．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根 4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 5．用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 6．解下列一元二次方程： (1) (2) 7．解答下列各题： (1)已知实数是方程 的两根，求 的值； (2)已知实数满足 ，且，求 的值； (3)若两个不相等的实数满足 ，求 的值． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个根，且，求m的值． 9．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“和谐方程”．如的“和谐方程”是． (1)写出一元二次方程的“和谐方程” ． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“和谐方程”的两根， ．根据以上结论，猜想的两根与其“和谐方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于的方程的两根． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程及其解法大全 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 根据一元二次方程定义求参数 题型5 判别式求参数范围 题型2 由一元二次方程的解求参数 题型6 韦达定理代数式求值 题型3 解一元二次方程 题型7 特殊法解一元二次方程 题型4 配方法变形与求最值 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.一元二次方程定义与一般形式 2.四种常规解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 3.根的判别式的应用 4.韦达定理（根与系数关系）基础运用 5.含参数一元二次方程参数求解 6.一元二次方程实际应用 1.概念辨析：选择题常考一元二次方程判定，二次项系数不为0是核心隐藏条件。 2.方程求解：计算题必考四种解法，侧重根据方程特征择优选用简便解法。 3.判别式：结合根的存在情况求参数范围，期末、中考高频填空考点。 4.韦达定理：依托整体代换思想，不解方程完成代数式求值。 5.实际应用：解答题结合生活情境建立方程模型，求解后检验根的实际意义。 6.综合拓展：配方法求代数式最值、方程与几何结合类小综合。 考情解码：一元二次方程为沪科版八年级下册第17章核心内容，承接整式因式分解、一元一次方程，是后续二次函数、分式方程的学习基础，为初中代数关键枢纽。 考题由单一解方程逐步转向参数探究、实际建模、跨知识综合考查，判别式、韦达定理、实际应用题是三大高频命题模块，高频易错点集中在忽略二次项系数非零、配方运算漏项、使用韦达定理前未验证判别式。 知识点一 一元二次方程定义与一般形式 判定三要素：整式方程；只含一个未知数；化简后未知数最高次数为2，二次项系数。 标准一般式：为常数，为二次项系数，为一次项系数，为常数项；为缺一次项方程，为缺常数项方程。 方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值；特殊规律：则为方程一根，则为方程一根，常数项为0时是方程的根。 【易错提醒】 （1）判断/求参数时，务必保证二次项系数，极易遗漏； （2）含分式、根号内有未知数的式子，不是一元二次方程。 即时即练下列选项中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．中含有2个未知数，则不符合题意， B．中未知数的次数是1，则不符合题意， C．中未知数的最高次数是3，则不符合题意， D．是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，则符合题意， 故选：D． 知识点二 解一元二次方程 直接开平方法 适用：形如的方程，无实数根，开平方转化两个一次方程求解； 配方法 适用所有一元二次方程，步骤：二次项系数化为1→移常数项至右侧→等式两边同加一次项系数一半的平方→整理成完全平方式再开方； 公式法 万能解法，先整理为一般式，确定，计算判别式，方可代入求根公式，无实数根； 因式分解法 适用整理后右侧为0、左侧可因式分解的方程，分解成两个一次因式乘积为0，分别令因式为0求根； 选用顺序：因式分解法＞直接开平方法＞配方法＞公式法。 【易错提醒】 （1）配方只在等式左侧加常数，右侧不加； （2）不可直接约去含未知数的公因式，容易丢失根。 即时即练解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或， 解得：，． （2）解： ， ∴或， 解得：， 知识点三 根的判别式 ：方程有两个不相等实数根； ：方程有两个相等实数根； ：方程无实数根； 主要用途：判断根的个数、根据根的限定条件求解参数取值。 【易错提醒】 （1）含参数题目，先保证，再计算； （2）代入时不要漏掉负号，负数的平方结果为正。 即时即练已知是关于的一元二次方程，其中为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 知识点四 韦达定理 前提：且，设两根，则， ； 常用变形：，整体代入是主要考查形式。 【易错提醒】 （1）无实数根时不能使用韦达定理计算。 即时即练一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个实数根时，两根之和，据此求解即可． 【详解】解∶∵方程中，， ∴． 题型1 根据一元二次方程定义求参数 例1．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 例2．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可能是（        ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．一元二次方程要求二次项系数不为零，因此． 【详解】解：方程是一元二次方程， 二次项系数， 的值不可能是． 故选：C． 【技巧总结】 （1）同时满足两个条件：未知数最高次数为2、二次项系数不为0； （2）先根据次数求出参数，再舍去使二次项系数为0的参数值； （3）题干只说“方程”，需分类讨论一次方程、二次方程两种情况。 【变式训练1-1】若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：或，， ． 【变式训练1-2】若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是注意一元二次方程的二次项系数不等于零． 由一元二次方程常数项为0，得，并结合二次项系数不为0，排除，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 由题意，常数项为0， ∴ 解得或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 题型2 由一元二次方程的解求参数 例3．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，将已知的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入原方程，得 ， 整理得， 解得． 例4．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B 【分析】根据题意是一元二次方程的一个实数根，可得，再将转化为，整体代入求值即可． 【详解】解： 是一元二次方程的一个实数根， ， 即原式． 【技巧总结】 （1）根代回：已知方程的根，直接代入原方程，求解参数； （2）整体代入：利用方程变形降次，替换复杂代数式，简化计算； （3）特殊根速算：根为0则常数项为0；根为1则a+b+c=0；根为-1则a-b+c=0； （4）含二次项的方程，求出参数后必验二次项系数不为0。 【变式训练2-1】若是关于x的一元二次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：因为是一元二次方程的解， 将代入原方程得， ， 化简得， 整理得 解得． 【变式训练2-2】若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 题型3 解一元二次方程 例5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法进行求解即可； （2）根据因式分解法进行分解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； 例6．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 【技巧总结】 （1）观察方程结构，平方结构选开平，易分解选因式分解，其余配方或公式； （2）缺常数项优先因式分解提公因式。 【变式训练3-1】解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴或 解得，． 【变式训练3-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再把方程左边分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． 题型4 配方法变形与求最值 例7．下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的配方；根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误；     B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确；     D. ，故该选项错误． 故选C． 例8．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据，可以得到，然后可以得到，进而得到，再设，即可得到，然后即可写出的最大值，从而可以得到的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最大值． 【详解】解：， ， ， ， 设，则， 则， 的最大值为， 即的最大值为， 故选：B． 【技巧总结】 （1）提取二次项系数后配方，化为形式，根据正负判断最值； （2）配方只针对含未知数部分变形。 【变式训练4-1】方程配方后写成的形式，则的值为________． 【答案】0 【分析】利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 则， 故． 【变式训练4-2】若定义：，则代数式的最小值为______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 题型5 判别式求参数范围 例9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此计算即可得到的范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得. 例10．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得． 【技巧总结】 （1）二次项系数≠0+判别式满足对应不等关系，联立不等式组； （2）一元二次方程前提永远优先保证。 【变式训练5-1】若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的公式是解题的关键． 根据方程有实数根推出判别式非负，求出的取值范围，即可判断出符合题意的选项． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 方程中，，，代入得， 整理得， 解得， ∵，，，， ∴的值不能为，故A符合题意． 【变式训练5-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件整数k的值______． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于，解不等式得到的取值范围，即可找出符合条件的整数的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 ， 所以符合条件的整数k可以为0（答案不唯一）． 题型6 韦达定理代数式求值 例11．方程的两个根为、，若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据已知的两根之和求出参数的值，再代入计算两根之积即可． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， 解得：， 又根据根与系数的关系可得， 将代入得． 例12．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 【技巧总结】 （1）先用韦达算出两根和与积，所求式子恒等变形，整体代入计算； （2）做题第一步先验证。 【变式训练6-1】若，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，对代数式进行化简，然后代入求解即可． 【详解】解：由，是一元二次方程的两根可得，， ∴， 将，代入可得 原式． 【变式训练6-2】若一元二次方程的两个根为，，则____________ 【答案】10 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴． 【变式训练6-3】设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 【答案】 【分析】对于给定的一元二次方程，先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入已知等式计算得到的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根 根据根与系数的关系，得， 将，代入得： 解得：． 题型7 特殊法解一元二次方程 例13．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用整体法的思想，找出关于的方程的解为或是解题的关键．由关于的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程的解是，， 关于的方程的解为或， 解得：或， 关于的方程的解为或2． 故选：C． 例14．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）设，则原方程可化为，然后根据因式分解法可求解方程； （2）设，则原方程可化为，然后根据因式分解法可求解方程． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得：， ∴当时，即，解得：； 当时，即，解得：； ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， 解得：， ∴当时，即，解得：， ∴原方程的解为． 【技巧总结】 （1）整体换元法：重复结构设元降次，简化复杂方程，解后回代求原未知数。 【变式训练7-1】已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 【变式训练7-2】已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)这四个连续的正整数为，，，； (2)的值为． 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”． （1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可； （2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数， 根据题意可得， ∴， 设，，则， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴，，， 答：这四个连续的正整数为，，，． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的值为． 1．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 2．已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用完全平方公式，结合已知条件求出两直角边的和与积，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求出和的值． 【详解】解：∵，是直角三角形的直角边， ，． 由，两边平方得：． 将代入上式，得， 解得． ，且， ． ，是一元二次方程的两个根， ∴，． 代入得，， 即，． 3．关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：， 其中，，，， ， ∵对任意实数 ，都有 ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故A正确，B，D错误； 方程两根的乘积为，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故C错误． 故选：A. 4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 5．用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 解得，． 6．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 7．解答下列各题： (1)已知实数是方程 的两根，求 的值； (2)已知实数满足 ，且，求 的值； (3)若两个不相等的实数满足 ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式将转化为，代入计算即可； （2）先将变形，再结合，判断与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出的值； （3）联立方程作差，化简得出的关系，代入方程后利用根与系数的关系求，进而得． 【详解】（1）解：∵是方程 即的两个根， ∴，， ∴； （2）解：两边同时除以9，可得， ∵，，且，即， ∴与是方程，即的两个不相等的实数根， 对于方程， 由（1）得两根之积为，即， ∴； （3）解： ，得 ， ， ∵， ∴方程两边同时除以得，， ∴， ∴③， ④， 将④代入①，得 ， ， 将③代入②，得 ， ， ∴是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，熟练掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知 ， ， ， 即， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，是方程的两个根， ，. ， ，即， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解． 9．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“和谐方程”．如的“和谐方程”是． (1)写出一元二次方程的“和谐方程” ． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“和谐方程”的两根， ．根据以上结论，猜想的两根与其“和谐方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握“和谐方程”的定义是解题的关键． （1）根据给出的定义进行求解即可； （2）根据根与系数的关系求出的解，根据求根公式证明两根的关系即可； （3）对方程式进行整理，根据整体思想和“和谐方程”的两根的数量关系进行求解即可． 【详解】（1）解：的“和谐方程”为， 故答案为：； （2）解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 则， ∴； ∴与，与互为倒数，证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ； ∴原方程的两根与其“和谐方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）解：， ， ， 根据“和谐方程”的两根的数量关系得出的根为， ∴的两个根为， 解得， 故答案为：． / 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