学易金卷：高一数学下学期第一次月考（北师大版，范围：必修第二册三角函数）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．＝（    ） A． B． C． D． 2．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 4．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ） A． B． C．π D． 5．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 8．函数与的图象在上有个不同的交点，则（    ） A．2026 B．4053 C．8104 D．8105 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（   ） A．若是第二象限角，则是钝角 B．若，则为第三象限角或第四象限角 C．角与角的终边相同 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（    ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求函数的定义域为 ． 13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 . 14．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 . (1)化简； (2)若，求的值. 16．（15分） 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 17．（15分） 已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 18．（17分） 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0 (1)求实数的值和函数的解析式； (2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象． （i）求的单调递减区间； （ii）当时，方程有解，求的取值范围． 19．（17分） 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（i）；（ii）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． (1)直接写出集合的上确界． (2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．＝（    ） A． B． C． D． 1.【答案】A 【解析】. 故选：A. 2．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 2.【答案】B 【解析】设扇形的半径为r，由题意圆心角为， 所以弧长，解得， 则该扇形的面积. 故选：B. 3．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 3.【答案】D 【解析】因为是第二象限角，所以，即． 又，解得（舍去）， 所以． 故选：. 4．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ） A． B． C．π D． 4.【答案】D 【解析】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即， 所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即， 因为，所以令，即， 故选：D. 5．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 5.【答案】D 【解析】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6.【答案】C 【解析】的图象向右平移个单位长度，可得， 因为函数的对称中心为，若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 7．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 7.【答案】B 【解析】设函数的最小正周期为，结合图象可知， 则，即，且，则，解得，所以， 令，解得， 可知的一个对称中心为. 对于选项A：令，解得，故A错误； 对于选项B：令，解得，故B正确； 对于选项C：令，解得，故C错误； 对于选项D：令，解得，故D错误； 故选：B. 8．函数与的图象在上有个不同的交点，则（    ） A．2026 B．4053 C．8104 D．8105 8.【答案】D 【解析】易知函数关于点成中心对称， 又函数满足； 因此函数也关于点成中心对称， 易知函数的最小正周期为，其值域为 因为函数在上单调递减，且当时，，当，； 可知的值域为； 画出两函数在同一坐标系下的图象如下图： 根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点， 且这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足， 再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点， 结合对称性可知. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（   ） A．若是第二象限角，则是钝角 B．若，则为第三象限角或第四象限角 C．角与角的终边相同 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 9.【答案】CD 【解析】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，故B错误； 对于C，∵，故C正确； 对于D，若为第二象限角，则，，所以，， 若为偶数时，为第一象限角； 若为奇数时，则，，为第三象限角. 综上，为第一象限或第三象限角，故D正确. 故选：CD. 10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（    ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 10.【答案】BD 【解析】对于A，由点，可知，扇形的面积，故A错误； 对于B，经过1s，点转过了2rad，所以点的坐标为，故B正确； 对于C，经过1s，点在的终边上，点在2rad的终边上， 所以扇形的弧长为，故C错误； 对于D，要使得点第二次重合，则点走过的弧长减去点走过的弧长等于， 设经过了，则，解得，故D正确． 故选：BD． 11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 11.【答案】ABD 【解析】对于A，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，A正确； 对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确； 对于C，，取，函数在上单调递减， 即也满足要求，C错误； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求函数的定义域为 ． 12.【答案】 【解析】函数有意义，则，即， 解，得， 解，得，于是， 所以所求定义域为. 故答案为：. 13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 . 13.【答案】 【解析】 第一次是以B为旋转中心， 以为半径旋转90°, 此次点A走过的路径是第二次是以C为旋转中心， 以为半径旋转90°,此次点A走过的路径是 第三次是以D为旋转中心，以 为半径旋转60°, 此次点A走过的路径是∴点A三次共走过的路径是 故答案为： 14．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 . 14.【答案】 【解析】作出时函数的图象，再根据函数为偶函数得到上的函数图象：    令，方程化为， 由题意得方程有个不相等的实数根，且， 有以下两种情况符合题意： ①当时，，故， ②当时，，故， 综上可知实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 . (1)化简； (2)若，求的值. 15．（13分） 【解析】（1）. （2）因为，所以 , . 因此 . 16．（15分） 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 16．（15分） 【解析】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 17．（15分） 已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 17．（15分） 【解析】（1）因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. （2）因为，所以， 所以，即在上的值域． （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 18．（17分） 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0 (1)求实数的值和函数的解析式； (2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象． （i）求的单调递减区间； （ii）当时，方程有解，求的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）根据表中已知数据可知：过点，且其最大值为2，故可得， 由，解得，故， 所以，解得：， ，解得：， ，解得：． 综上，，，，； （2）（i）， 令，解得：， 即， 所以的单调递减区间为； （ii）当，使得方程有解，即有解， 即， 因为，所以， 所以当，即时，， 当，即时，， 所以，解得：． 故的取值范围为. 19．（17分） 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（i）；（ii）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． (1)直接写出集合的上确界． (2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 19．（17分） 【解析】（1）由于， 进而，故的上确界为3. （2）由可得，故，则, 设距离最短的两个交点为， 则， 因此，即， , 得， 则， 解得， ②由题意可得 ， 由得， 所以故， 接下来证明是的上确界， ， 对任意给定的，若，可取使得， 若,可取，使得， 综上可得的上确界是. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．＝（    ） A． B． C． D． 2．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 4．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ） A． B． C．π D． 5．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 8．函数与的图象在上有个不同的交点，则（    ） A．2026 B．4053 C．8104 D．8105 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（   ） A．若是第二象限角，则是钝角 B．若，则为第三象限角或第四象限角 C．角与角的终边相同 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（    ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求函数的定义域为 ． 13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 . 14．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 . (1)化简； (2)若，求的值. 16．（15分） 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 17．（15分） 已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 18．（17分） 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0 (1)求实数的值和函数的解析式； (2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象． （i）求的单调递减区间； （ii）当时，方程有解，求的取值范围． 19．（17分） 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（i）；（ii）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． (1)直接写出集合的上确界． (2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D D D C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 CD BD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）.（6分） （2）因为，所以 , . 因此 .（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意可知：， 则，即，（5分） 又，所以即， 所以；（7分） （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为最小正周期．所以，解得．（1分） 因为， 所以，则． 解得．（3分） 由，得，从而.（5分） （2）因为，所以， 所以，即在上的值域．（9分） （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）根据表中已知数据可知：过点，且其最大值为2，故可得， 由，解得，故，（3分） 所以，解得：， ，解得：， ，解得：． 综上，，，，；（6分） （2）（i）， 令，解得：， 即， 所以的单调递减区间为；（10分） （ii）当，使得方程有解，即有解， 即， 因为，所以， 所以当，即时，， 当，即时，， 所以，解得：． 故的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由于， 进而，故的上确界为3.（4分） （2）由可得，故，则, 设距离最短的两个交点为， 则， 因此，即，（7分） , 得，（9分） 则， 解得，（10分） ②由题意可得 ， 由得， 所以故，（14分） 接下来证明是的上确界， ， 对任意给定的，若，可取使得， 若,可取，使得， 综上可得的上确界是.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $