重难点03 方程应用题（配套、方案、利润等18类问题）（复习讲义，4大重点18种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程与不等式 重难点03 方程应用题（配套、方案、利润等18类问题） 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 96 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 一元一次方程的应用 1.一元一次方程的定义：只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式的方程。 2. 等量关系：列方程的关键，从题目中找相等的数量关系。 3. 常见题型：和差倍分、行程、工程、利润、配套、数字、分段计费等。 4.常见题型等量关系 1）和差倍分 总量 = 各部分量之和 2）行程问题 路程 = 速度 × 时间 相遇：路程和 = 总路程 追及：路程差 = 相距路程 3）工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 一般设总量为1 4）利润问题 利润 = 售价 − 进价 售价 = 标价 × 折扣 5） 配套问题 两种物品数量成比例（如1:2、2:3） 一元一次方程的应用解题步骤 审：读懂题意，找出已知量和未知量。 设：设未知数（直接设/间接设）。 找：找等量关系。 列：根据等量关系列一元一次方程。 解：解方程，求出未知数。 验：检验解是否符合题意。 答：写出完整答案。 题型01 行程问题 【典例1】（2025·山东烟台·模拟预测）明代万历数学家程大位所著《算法统宗》一书列举各种应用题及解法，其中记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思为，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为（   ） A．3里 B．4里 C．6里 D．8里 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用. 设第六天走了x里，则第五天走了里，第四天走了里，……，列方程计算即可. 【详解】解：设第六天走了x里， 依题意得：， 解得. 故选：C. 【变式1】（2025·山东潍坊·一模）某地举行龙舟比赛，赛程为900米．甲、乙两队比赛时，路程（米）与时间（分钟）的函数关系如图所示． (1)最先到达终点的是 队，比另一队领先 分钟到达； (2)求出图中点的坐标，并解释它的实际意义； (3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁早到达终点？早几分钟？ 【答案】(1)乙，1 (2)，点的实际意义是4.4分钟时甲乙两队同时到达660米处 (3)甲先到，早到分钟 【分析】本题考查了一次函数的运用，行程问题的数量关系速度路程时间的运用，解答时阅读理解函数图象是关键． （1）由函数图象时间与路程的关系就可以得出结论； （2）求出交点坐标即可解答； （3）先求出乙第一次加速后的速度就可以求出乙行驶完全程的时间，与甲的时间比较就可以得出结论． 【详解】（1）解：由函数图象得：最先到达终点的是乙队，比另一队领先分钟到达． 故答案为：乙，1； （2）解：由函数图象得：甲的速度为：（米分）， 乙队在第2分钟后第一次加速，其速度为（米分）， 乙队在第4分钟后第一次加速，其速度为（米分）， 设在分钟乙追上甲， 根据题意得：， 解得， ， 即点的坐标为，它的实际意义为当时间为4.4分钟时乙追上甲，此时路程为660米； （3）解：乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进走完余下路程需要的时间为：（分钟）， 乙队走完全程的时间为：（分钟）， 甲队行驶完全程需要的时间是6分钟，且， 甲早分钟达终点． 【变式2】（2025·山东济南·二模）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车行驶时间为，货车、轿车与甲地的距离为，，图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．两车出发后第二次相距时，货车的行驶时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了，从函数图象获取信息，一次函数的应用，根据题意先分别求出解析式，解析式，再利用相距作减法列出一元一次方程，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键， 【详解】解：设解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴， ∵轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶， ∴轿车行驶需要， ∴， 设解析式为， 将，代入得， ，解得：， ∴解析式为， ∵两车出发后第二次相距， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型02 销售问题 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）某产品成本元/千克，据市场调查，若按元/千克销售时，每天可销售千克，且销售单价每降低元，每天就可多销售千克；由于不耐磕碰，所以运输过程中会折损总重量的． (1)当售价为元/千克时，需要拉多少千克该产品才能刚好够卖？ (2)写出销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式 (3)当销售单价（元/千克）定为多少时，每天的利润（元）最大？最大利润多少元？ 【答案】(1)千克 (2) (3)当销售单价为元/千克时，每天的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设需要拉千克该产品才能刚好够卖，则折损后的重量为，根据“售价为元/千克时，每天可销售千克”列出一元一次方程，求解即可； （2）设销售单价为元/千克，则降低了，根据“销售单价每降低元，每天就可多销售千克”可得出与的函数关系式； （3）根据“利润为收入减去成本”，收入为元，成本为运输量的成本（运输量为千克，成本价为元/千克，据此得，然后利用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：设需要拉千克该产品才能刚好够卖，则折损后的重量为， 依题意，得：， 解得：， 答：当售价为元/千克时，需要拉千克该产品才能刚好够卖 （2）设销售单价为元/千克），则降低了元， 依题意，得：， ∴销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为； （3）依题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：（元）， ∴当销售单价为元/千克时，每天的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列函数关系式，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【典例3】（2025·山东临沂·一模）“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋． (1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？ (2)“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ (3)当销售售价为多少元时，每分钟的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟销量为150袋； (2)此时鳕鱼的销售单价为70元 (3)当销售单价为75元时，能获得最大利润，最大利润为6250元 【分析】本题考查一元一次方程、一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，列函数式，进行解答． （1）设每袋鳕鱼的售价为x元，根据题意，则，解出x，即可； （2）设此时鳕鱼的销售单价为y元，根据题意，则方程为，解出方程，根据最大限度让利消费者，取值即可． （3）设鳕鱼的销售单价为a元，每分钟的利润为w，根据题意得， 根据，得当时，w取得最大值，最大值为6250． 【详解】（1）解：设每袋鳕鱼的售价为x元时，每分钟的销量为150袋， ， ∴， 答：每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟销量为150袋； （2）解：设鳕鱼的销售单价为y元，根据题意得： ， 解得 ∵让消费者获得最大的利益， ∴， 答：此时鳕鱼的销售单价为70元． （3）解：设鳕鱼的销售单价为a元，每分钟的利润为w，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值， 最大值为6250． 故当销售单价为75元时，能获得最大利润，最大利润为6250元． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 【答案】D 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意． 设定价高的为x元，定价低的为y元，然后列代数比较大小，并根据差额为50元求出解答即可． 【详解】解：设定价高的为x元，定价低的为y元， 则， ∴， ∴， ∴使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元， 故选：D． 【变式2】（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 【答案】(1)50件 (2)当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元 (3)或 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次不等式的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键． （1）设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，据此列出方程即可求解； （2）根据：利润等于售价减成本，分，，三种情况考虑，列出y关于x的函数式，求出最大值即可； （3）分，两种情况考虑，解不等式、函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元， 由题意得：， 解得：； 答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； （2）解：当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 当时，， 即； 由于，当时，y有最大值12250； 当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 综上，当时，y有最大值12250； 答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元； （3）解：当时，最大值为6000，不符合题意； 当时，由题意知； 考虑二次函数，当时，解得， 由二次函数的图象与性质，当时，； 当时，， 解得：， 由于x为正整数，且不超过60件，则； 综上，或． 【变式3】（2025·山东德州·一模）某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为元，店主第一批购买甲种足球个、乙种足球个一共花费元． (1)问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？ (2)若甲种足球每个获利元，乙种足球每个获利元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共个，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元 (2)当购进甲种足球个，购进乙种足球个时，获利最大，最大利润为元 【分析】（）设甲种足球的进货单价为元，则乙种足球的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进甲种足球的数量为个，则购进乙种足球的数量为个，由题意列出不等式求出的取值范围，再根据题意求出与之间的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意求出甲、乙两种足球的进货单价是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种足球的进货单价为元，则乙种足球的进货单价为元， 由题意得，， 解得， ， 答：甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元； （2）解：设购进甲种足球的数量为个，则购进乙种足球的数量为个， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ， 随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为元， 此时购进乙种足球个， ∴当购进甲种足球个，购进乙种足球个时，获利最大，最大利润为元． 题型03几何问题 【典例1】（2025·山东菏泽·三模）如图，在数轴上点在点的右侧，已知点对应的数为，点对应的数为，在之间有一点，点到原点的距离为2，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3或1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据两点间的距离公式结合列出关于的一元一次方程． 设点C表示的数为c，则，即，根据条件判断得出点C表示的数为2，再根据列方程即可得到结论． 【详解】解：∵点C到原点的距离为2， ∴设点C表示的数为c，则，即， ∵点B在点A的右侧，点C在点A的右侧，且点A表示的数为， ∴点C表示的数为2， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式1】（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（    ） A．669 B．670 C．671 D．675 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，解题的关键是先根据题意找出题中的规律，再根据规律用正整数n表示第n次操作后所得正方形的个数． 第一次可得到4个正方形；第二次可得到个正方形；第三次可得到个正方形；则第n次可得个正方形，然后列出方程求解即可． 【详解】解：第一次可得到4个正方形； 第二次可得到个正方形； 第三次可得到个正方形； 则第n次可得个正方形， ∵若要得到2026个小正方形， ∴ 解得． 故选：D． 【变式2】（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角求解； 根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论求解； （2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合，则；点在直线和之间，，综合即可解答． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴点A与点E重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在直线上时，点，，重合，； 当点在直线上时，点，，重合则； ∵点在直线和之间（不含，上），即， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 题型04古代问题 【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 【变式1】（2025·山东聊城·二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少尺？设绳长x尺，长木长y尺，依题意得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 【变式2】（2025·山东淄博·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人公车，九人步．问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？设共有x人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据车的辆数不变，即可列出方程求解． 【详解】解： 由“每3人共乘一车，最终剩余2辆车”可知车辆有辆，由“每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”可知车辆有辆， 所以可列方程． 故选：B． 题型05动点问题 【典例1】（2025·山东滨州·模拟预测）在数轴上，点表示的数是3的相反数，从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A．7 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、相反数、有理数的减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据相反数的定义可得点表示的数是，再根据数轴的性质列出式子，计算有理数的减法即可得． 【详解】解：∵在数轴上，点表示的数是3的相反数， ∴点表示的数是， ∵从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点， ∴点表示的数是， 故选：D． 【典例2】（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，中点定义，一元一次方程的应用，是解题的关键． （1）A、B两点表示的数相加即得； （2）根据，写出．根据P是的中点，得，解方程即得． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 当点P是的中点时，， ∴， 解得． 【变式1】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式2】（2025·河北唐山·一模）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数是1，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是数轴和有理数的加减，掌握数轴上点的移动和数的大小变化规律是解题的关键． 根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 点向左移动5个单位长度到达点，则点表示的数为， 点向右移动2个单位长度到达点，则点表示的数为， 故选：C． 【变式3】（2025·黑龙江佳木斯·二模）几何综合题 如图，在四边形中，，，cm，cm，cm，点Q从点A出发以2cm/s的速度沿向点D运动，点P从点B同时出发以1cm/s的速度沿向点C运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．    (1)当t为何值时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形？ (2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于原四边形面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答本题的关键． （1）当时，由，得四边形是平行四边形，列出关于t一元一次方程即可求解． （2）由四边形的面积等于原四边形面积的一半，可得，列出关于t一元一次方程，即可解答． 【详解】（1）解：由题意及图，可得 ，， 当时，由，得四边形是平行四边形． ∴，解得． ∴当t为时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形． （2）由题意及图，可得 ，， ∵四边形的面积等于原四边形面积的一半， ∴， 即， ， 解得． 重难点二 二元一次方程组的应用 1. 二元一次方程 含两个未知数，未知数次数都是 1，整式方程。 2. 二元一次方程组 把两个二元一次方程合在一起。 3. 方程组的解 两个方程的公共解，同时满足两个方程。 4.解方程组的两种核心方法 1）代入消元法 2）加减消元法 5.常考题型等量关系 • 和差倍分 两个量的和、差、倍数关系 • 行程问题 路程 = 速度×时间 相遇：路程和 = 总路程 追及：路程差 = 原距离 • 工程问题 工作总量 = 效率×时间 • 销售利润 总价 = 单价×数量 利润 = 售价−进价 二元一次方程组的应用解题步骤 审：找两个未知量、两个等量关系 设：设两个未知数，一般设为 x、y 找：找出两组相等关系 列：列出二元一次方程组 解：用代入或加减法解方程组 验：检验是否符合题意 答：写完整答案 题型01行程问题 【典例1】（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 【典例2】（2025·湖北武汉·三模）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程是（    ） A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2500米 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、二元一次方程组的应用，根据函数图象可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用数形结合的思想解答问题． 【详解】解：设小明从1600米处到终点的速度为a米/秒，小刚从1400米处到终点的速度为b米/秒， 可得， 解得， 故这次越野跑的全程为：（米）， 答：这次越野跑的全程为2200米， 故选：C． 【典例3】（2025·陕西·模拟预测）一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 【答案】1568千米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设两城之间的距离为x千米，飞机的飞行速度为y千米/小时，根据路程、时间、飞行速度、风速的关系列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：2小时40分钟小时，2小时20分钟小时， 设两城之间的距离为x千米，无风时飞机的飞行速度为y千米/小时， 由题意得， 解得． 故A，B两城之间的距离为1568千米． 【变式1】（2025·湖北·模拟预测）一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，读懂函数图象并获取准确的等量关系，列出方程组是解题的关键．由图和题意可知：不妨设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，又过秒时，小刚追上小明，秒时小刚到达终点，秒时小明到达终点，由此列出方程组求得、，进一步求得答案即可． 【详解】解：设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，由题意得 ， 解方程组得． 所以全程米． 故答案为： 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)请根据题意，直接写出，，的值． (2)求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设两车出发后小时相遇，根据题意和函数图象列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值，再分别根据时间路程速度求出和的值即可； （）按照的取值范围分别写出对应的函数关系式即可； 本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：设两车出发后小时相遇， 由题意得，， 解得， ∴乙车的速度为千米小时，两车出发后小时相遇， 甲车到达目的地用时小时， 乙车到达目的地用时小时， ； （2）解：当时，； 当时，； ∴甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式为． 【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲走向B地，途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速前进．乙因故比甲晚出发，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系． (1)乙与甲的速度差为________；甲与乙的速度比为________． (2)求甲、乙两人从第一次相遇至第二次相遇期间y与x之间的函数表达式． (3)当甲的行进路程比乙的行进路程多时，甲正在驻足与朋友交流，直接写出甲开始驻足与朋友交流时x的取值范围． 【答案】(1)100； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意和读懂函数图象是解题的关键． （1）设甲的速度为，乙的速度为，根据第50分钟时二人相遇，第86分钟时二人的距离为3600米建立方程组求解即可； （2）分和两种情况，利用待定系数法求解即可； （3）先求出当甲正好交流结束，且甲的行进路程比乙的行进路程多时，x的值，再结合x的值要不大于40即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∴乙与甲的速度差为；甲与乙的速度比为 （2）解；当时，设， 把代入中得：， ∴， ∴； 当时， 当时，； 综上所述， （3）解；当甲正好交流结束，且甲的行进路程比乙的行进路程多时， 则，解得， ∵第50分钟时，二者相遇， ∴当时，当甲的行进路程比乙的行进路程多时，甲正在驻足与朋友交流． 题型02方案问题 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元 (2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出方程组、不等式是解题的关键． （1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型放大镜a个，再根据题意列出不等式求得a的最小值，然后再根据题意列出购买费用w与a的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元， 可得，解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元． （2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个， 根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为， 所以购买费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，最少费用2712元． ∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【答案】(1)甲辆，乙辆 (2)当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可； （2）根据题意求出m的取值范围为，设总油耗升，然后写出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆， 根据题意， ， 解得， 则甲种车辆辆，乙种车辆辆； （2）设总油耗升， 已知派往A地的甲车m辆，则派往A地的乙车辆， 根据题意需满足∶ 解得 又∵乙车总数辆，而需辆车派往A地， ， ∴m的取值范围为， 油耗计算∶ A地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， B地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， ∴， ， 随增大而减小， ∴当最大为5时，最小， 升， ∴当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． 李老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯、温度为的水（不计热损失）．下列三个结论： ①李老师的水杯容量为； ②李老师接满水后，水杯中水温为（不计热损失）； ③小明同学的接水时间为． 其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用．①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答．②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答．③设小明接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：①依题意： ， ∴李老师的水杯容量为． ②接入水杯的温水吸收的热量为：； 由题意：， 解得，即水温约； ③设小明接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴小明同学的接水时间为． 综上，①③正确， 故选：B． 【变式2】（2025·山东济南·二模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)根据学校图书馆的采购计划，拟用1500元预算购买文学名著和人物传记各40本，请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？ (3)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著25元，每本人物传记20元 (2)不足，还需追加资金300元 (3)人物传记至多买33本 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1）设每本文学名著元，每本人物传记元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求出文学名著和人物传记各40本费用，再比较即可； （3）设人物传记买本，则文学名著买本，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，根据题意得： ， 解得：． 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）解：文学名著和人物传记各40本费用：元， ， 总费用不在预算内， 元， 即还需追加资金300元； （3）解：设人物传记买本，则文学名著买本，根据题意得： ， 解得：， 又为正整数， 的最大值为33． 答：人物传记至多买33本 题型03销售、利润问题 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 【典例2】（2025·山东临沂·二模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价高元，且购进甲水果千克，乙水果千克共需元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少元千克？ (2)若水果店购进两种水果共千克，其中甲种水果的重量不高于乙种水果重量的倍，已知甲、乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．请你设计一种利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种水果的进价为元千克，乙种水果的进价为元千克 (2)购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设甲种水果的进价为元千克，乙种水果的进价为元千克，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克，利润为元，再列出函数关系式，甲种水果的重量不高于乙种水果重量的倍，确定的范围，利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设甲种水果的进价为元千克，乙种水果的进价为元千克， ∵， ∴， 答：甲种水果的进价为元千克，乙种水果的进价为元千克； （2）设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克，利润为元， 根据题意，得 ， ∵甲种水果的重量不高于乙种水果重量的倍， ∴， 解得， ∵， ∴当时，最大，最大值为， 则， 答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元. 【典例3】（2025·山东青岛·二模）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； (2)安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． 设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，根据购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元，可列二元一次方程组，解方程组可得两种机器人的单价； 的售价为：万元，的售价为：万元，设购买的数量为个，则的数量为个，根据总费用不超过万元，共购买个机器人，可列不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， 由题意可得：， 解得： ， 利润， 利润随着m的增大而减小， 把代入可得， 最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 【变式1】（2025·山东德州·模拟预测）兴旺超市经营甲、乙两种商品的进价和售价如表： 商品种类 成本价（元个） 售价（元个） 甲种商品 m 乙种商品 n 在超市购买2000个甲种商品和1000个乙种商品共需5600元；购买1500个甲种商品和1500个乙种商品共需6000元． (1)求m，n的值； (2)五一期间，超市购进甲、乙两种商品共65万个，其中，甲种商品数量不低于乙种商品数量，且不超过55万个．实际销售时，由于市场因素影响，甲种商品量超过45万个的部分每个需要打八五折才能全部售完，乙种商品能按售价卖完设当天售完这两种商品获得的总利润为y万元，甲种商品量为x万个（x为整数）． ①求y（万元）关于x（万个）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②求当天售完这两种商品获得的最大总利润； (3)为支持农村教育事业，在（2）的条件下，获得最大利润时，超市对本地100所乡镇中学进行物资捐赠：向每所中学捐出甲种商品a个，乙种商品个，若要保证捐赠后盈利率不低于，求a的最大值． 【答案】(1)m的值为，n的值为 (2)①；②万元 (3)4860 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据题意，列关于m和n的二元一次方程组并求解即可； （2）①根据题意，列关于x的一元一次不等式组并求其解集，再按照x的取值范围，分别写出对应的y与x的函数关系式即可； ②根据一次函数的增减性求出y的最大值即可； （3）根据盈利率列关于a的一元一次不等式并求其解集，从而求得的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：m的值为，n的值为． （2）解：①根据题意，得， 解得， 为整数， 且x为整数， 当时， ， 当时， ， y（万元）关于x（万个）的函数关系式及x的取值范围为； 当时， ， 随的增大而减小， 当时，y的值最大，最大值为； 当时， ， 随的增大而减小， 当时，y值最大，最大值为， ， 当天售完这两种商品获得的最大总利润是万元． （3）解：在（2）的条件下，获得最大利润时，销售甲商品33万个、乙商品32万个， 根据题意，得， 解得， 的最大值是4860． 【变式2】（2025·山东德州·二模）德州扒鸡闻名全国，远销海外，被誉为“天下第一鸡”，是享誉全国的特色产品．某超市计划采购A、B两种品牌扒鸡，已知购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元． (1)求A、B两种品牌扒鸡的单价各是多少元？ (2)该超市预算不超过11300元采购A、B两种扒鸡共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种扒鸡的售价均为185元/盒，如何安排采购量才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)购买A品牌扒鸡的单价是115元，购买B品牌扒鸡的单价是95元 (2)该超市购买A品牌扒鸡60盒，B品牌扒鸡40盒时，销售完两种品牌扒鸡获得的利润最大，最大利润为7800元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的实际应用： （1）设购买A品牌扒鸡的单价为x元，购买B品牌扒鸡的单价为y元，根据购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买A品牌扒鸡a盒，则购买B品牌扒鸡盒，根据题意，列出不等式组，求出的范围，设销售完两种品牌扒鸡获得的利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设购买A品牌扒鸡的单价为x元，购买B品牌扒鸡的单价为y元，则根据题意， 得， 解得； 答：购买A品牌扒鸡的单价是115元，购买B品牌扒鸡的单价是95元； （2）设购买A品牌扒鸡a盒，则购买B品牌扒鸡盒，根据题意，得 ，解得， 设销售完两种品牌扒鸡获得的利润为w元，则 ， ，则w随a的增大而减小， 当时，w的值最大，最大值为， 此时； 答：该超市购买A品牌扒鸡60盒，B品牌扒鸡40盒时，销售完两种品牌扒鸡获得的利润最大，最大利润为7800元． 【变式3】（2025·山东济南·二模）学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． (1)求A，B两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 【答案】(1)A的单价50元，B的单价35元 (2)购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键． （1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据“购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元”列二元一次方程求解即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买总费用w元，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设A的单价为x元，B的单价为y元． 根据题意得：， 解得， 答：A的单价50元，B的单价35元； （2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，购买总费用w元． 根据题意得： 解得 ∴ ∵， ∴w随m的增大而增大 当时，w取最小值，最小值为2005元． 答：购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元． 【变式4】（2025·山东青岛·一模）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元，乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，请你求出购进乒乓球拍数量的范围，以及如何进货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 【答案】(1)每套乒乓球拍的进价是 30 元，羽毛球拍的进价是 45 元 (2)购进乒乓球拍数量范围是 67 套到 120 套；当购进 67 套乒乓球拍和 133 套羽毛球拍时，获利最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）设每套乒乓球拍的进价为元，羽毛球拍的进价为元，根据“购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元”列出方程组求解即可． （2）设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套，设总利润为w，根据“购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，购进乒乓球拍的套数不超过120套”列出不等式组求出，再表示出w，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每套乒乓球拍的进价为元，羽毛球拍的进价为元． 根据题意列方程组：， 解得：． 答：每套乒乓球拍的进价是 30 元，羽毛球拍的进价是 45 元． （2）解：设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套，设总利润为w， ∴， 解得：， 总利润， ∵， ∴当时，利润最大． 答：购进乒乓球拍数量范围是 67 套到 120 套；当购进 67 套乒乓球拍和 133 套羽毛球拍时，获利最大． 【变式5】（2025·山东淄博·一模）某水果店销售苹果和梨，已知购买3千克苹果和1千克梨共需30元；购买1千克苹果和4千克梨共需32元． (1)求每千克苹果和每千克梨的售价； (2)若购买苹果和梨共12千克，且总价不超过80元，问最多购买多少千克苹果？ 【答案】(1)每千克苹果8元，每千克梨6元 (2)最多购买苹果4千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，根据不等关系，列出不等式． （1）设每千克苹果x元，每千克梨y元，根据购买3千克苹果和1千克梨共需30元；购买1千克苹果和4千克梨共需32元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买苹果m千克，则购买梨千克，根据总价不超过80元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每千克苹果x元，每千克梨y元，根据题意，可得： ， 解得， 所以每千克苹果8元，每千克梨6元． （2）解：设购买苹果m千克，则购买梨千克，根据题意，可得： ， 解得：， 答：最多购买苹果4千克． 【变式6】（2025·山东青岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．某经销商发现，与吉祥物“滨滨”和“妮妮”相关的甲、乙两款纪念品深受大家喜爱．已知购买3个甲款纪念品和2个乙款纪念品共需180元；购买5个甲款纪念品比购买3个乙款纪念品多15元． (1)甲、乙两款纪念品的售价各是多少？ (2)甲款纪念品的进价为20元，乙款纪念品的进价为38元．若该经销商计划购进甲、乙两款纪念品共60个，且乙款纪念品的购买数量不低于甲款纪念品购买数量的2倍，则应如何进货能使得这批纪念品全部售出后所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元； (2)购进甲款个，乙款个时，最大利润为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设购进甲款个，则乙款为个，利润为元，依题意得，再求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：设甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲款纪念品的售价为元，乙款纪念品的售价为元； （2）解：设购进甲款个，则乙款为个，利润为元，依题意得： ， ∵， ∴， 当时，利润最大：元， 答：购进甲款个，乙款个时，最大利润为元． 【变式7】（2025·河南南阳·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (1)求老张批发的车厘子和芒果的箱数； (2)老张分配给A，B两个水果超市各50箱，如表为两超市的水果销售价格．设分配给A水果超市车厘子m箱． 车厘子销售价（元/箱） 芒果销售价（元/箱） A水果超市 160 100 B水果超市 150 120 若确保销售完这批水果后，B水果超市的利润不低于2400元，如何分配能使两超市获得最大利润，并求出这个最大利润； (3)老张仍然分配给A，B两个水果超市各50箱，若仅考虑获得最大利润，如何分配能使两超市获得最大利润，请直接写出分配方案及最大利润． 【答案】(1)老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为60箱和40箱 (2)A超市车厘子20箱，芒果30箱，B超市车厘子40箱，芒果10箱，最大的总利润是4200元 (3)A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，最大的总利润是5100元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为箱和箱，根据他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，列出方程组进行求解即可； （2）由题意，得，分配给A水果超市车厘子m箱，则分配给A水果超市芒果箱，分配给水果超市车厘子箱，分配给水果超市芒果箱，设总利润为，根据B水果超市的利润不低于2400元，列出不等式，求出的范围，根据总利润等于两个超市的利润之和，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可； （3）根据利润最大化，以及总利润等于车厘子的总利润加上芒果的总利润，只要两种水果都实现利润最大化即可，比较两个超市每种水果的单价，进行判断即可． 【详解】（1）解：设老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为箱和箱，由题意，得： ，解得：； 答：老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为60箱和40箱； （2）由题意，得，分配给A水果超市车厘子m箱，则分配给A水果超市芒果箱，分配给水果超市车厘子箱，分配给水果超市芒果箱，设总利润为，则： ， 解得：； ， 整理，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大为； ∴， 故分配给A超市车厘子20箱，芒果30箱，B超市车厘子40箱，芒果10箱时，利润最大，最大的总利润是4200元； （3）由题意，可知，超市的车厘子的售价高于超市，超市芒果的售价高于超市，要实现总利润最大，则超市的车厘子数量越多，超市芒果的数量越多，总利润越大，故分配给A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，时，利润最大为：（元）； 答：A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，时，利润最大为元． 题型04几何问题 【典例1】（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的边长为，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由图形可得，， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 【典例2】（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 【典例3】（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵矩形的周长已知，设为， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选A. 【变式1】（2025·湖北武汉·三模）在一个大长方形内，互不重叠地放入四个如图②的小长方形后得图①，已知大长方形的长、宽分别为8，6，则图①中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键在于根据图形找出等量关系建立二元一次方程组． 设小长方形的宽为，阴影部分宽为，根据题意建立元一次方程组求解，即可解题． 【详解】解：设小长方形的宽为，阴影部分宽为， 根据题意可得：， 解得， 图①中阴影部分的面积， 故答案为：． 【变式2】（2025·吉林长春·模拟预测）列方程或方程组解应用题． 如图①，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图②所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），分别求一块八边形地砖和一块黑色正方形地砖的面积． 【答案】一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键． 设一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖面积为，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖面积为， 根据题意得，， 解得：． 答：一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为． 【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 【答案】每本书籍厚度为，桌子的高度为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为，根据3本A书籍与桌子的高度和为，5本B书籍与桌子的高度和为建立方程组求解即可． 【详解】解：设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为， 由题意，得， 解得：， 答：每本书籍厚度为，桌子的高度为． 题型05古代问题 【典例1】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 【典例2】（2025·山东淄博·二模）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图2所表示的方程组为_____． (2)任务二：请解你所列的方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图1规律，列出图2关于x，y的二元一次方程组，即可得出结论． （2）利用加减消元法，即消去x，再求出y即可求解． 【详解】（1）解：依题意得； 故答案为. （2）， 得：； 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为：． 【典例3】（2025·山东济宁·二模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于分钱的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有x钱，乙原有y钱，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，列出相应的方程组是关键．由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：根据题意可得， 故选：A． 【变式1】（2025·山东青岛·二模）《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识．根据石头的总重及体积，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵石头总重11斤， ∴，即； ∵石头的体积为27立方寸， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 【变式2】（2025·山东滨州·二模）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有 间客房，来了 房客． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列方程是解题关键． 设有间客房，位房客，根据等量关系建立二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设李三公家的店有间客房，来了位房客， 根据题意，得，解得：， 李三公家有间客房，来了位房客． 故答案为：，． 重难点三 一元二次方程的应用 1.一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数是 2 的整式方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 2. 根的判别式 △= b2-4ac • △>0：两个不相等实数根 • △=0：两个相等实数根 • △<0：无实数根 3. 根与系数关系（韦达定理） x1+x2 = - , x1x2 = 4.常考应用题类型（必考） 1. 增长率/下降率问题 现量=原量×(1±增长率)n 2. 面积问题 矩形、道路、边框面积，用“大面积−小面积” 3. 利润问题 总利润=单件利润×销量 4. 握手/互送礼物问题 • 握手： • 互送礼物：x(x-1) 5. 数字问题 两位数：10×十位+个位 一元二次方程的应用解题步骤 审：读懂题意，找两个相等关系 设：设未知数 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程 验：◦ 检验是否是方程的解 ◦ 检验是否符合实际意义（长度、时间、人数不能为负） 答：规范作答 题型01工程问题 【典例1】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 题型02营销问题 【典例1】（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 【典例2】（2025·山东潍坊·二模）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元 (3)当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，理解题意、根据等量关系列出相应方程是解题关键． （1）设，利用待定系数法即可求解； （2）设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润，可得，解方程即可； （3）设利润为元，则，根据二次函数的图象和性质，求得当时的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 将和代入， 得：，解得：， 与的函数表达式为． （2）解：设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元， 由（1）得：每天销售量， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元． （3）解：设利润为元， 根据题意，得：， ，对称轴， 超出售价范围，且在这个范围内，随的增大而增大， 时，取最大值， 最大值为元， 答：当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【典例3】（2025·山东青岛·模拟预测）某科技公司在国家专项资金的支持下，成功研发出一种电子产品．该产品第1年正式投产后，生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润．据统计，此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系式． (1)该产品第1年的售价是多少？ (2)第2年该公司投入20万元（20万元计入第2年的成本）对该产品进行升级研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保持市场占有率，公司规定第2年的产品售价不低于第1年的售价，另外公司规定，该产品的年产量不能低于8万件．求该公司第2年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数表达式，并求利润至少为多少万元． 【答案】(1)16元/件 (2)，万元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式以及不等式是解题的关键． （1）根据利润等于单件利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）根据该产品的年产量不能低于8万件列出不等式求出x的取值范围，根据利润等于单件利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；由题意得， 整理得： 解得． 答：该产品第1年的售价是16元/件． （2）解：由题意得，且， ． ． ，抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取得最小值，． 答：该公司第年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数关系式为，利润至少为万元． 【变式1】（2025·山东淄博·二模）潭溪山风景区特色旅游项目是水上漂流，该项目每天可接待游客400人，每位体验的游客为景区带来10元的利润．为增加盈利，景区准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，参与体验的游客就减少10人． (1)现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠，那么每张门票应涨价多少元？ (2)若单纯从经济角度看，每张门票涨价多少元，才能使该项目获利最多？ 【答案】(1)10元 (2)15元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设每张门票应涨价元，则每名游客带来的利润为元，游客数为名，据此建立方程求解即可； （2）设每张门票涨价元，能获利元，用游客数乘以每名游客带来的利润列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每张门票应涨价元， 根据题意，得：， 解得，． ∵该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠， ∴， 答：每张门票应涨价10元； （2）解：设每张门票涨价元，能获利元， 根据题意，得， ∵， 时，获利最多． 答：纯从经济角度看，每张门票涨价15元，才能使该项目获利最多． 【变式2】（2025·山东威海·一模）“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？ 【答案】元或元 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际经济问题中的应用，涉及到根据价格和销量的变化关系建立数学模型．解题的关键在于正确设出变量，准确表示出变化后的门票价格和游客人数，从而建立起正确的方程，再通过求解方程并结合实际意义得到门票价格．本题可通过设门票价格的变化量，根据门票价格变化与游客人数变化的关系，建立门票总收入的方程，进而求解出使门票总收入为万元的门票价格． 【详解】解：设门票价格提高了个元．原来门票价格为元，当为正数时表示价格提高，为负数时表示价格降低，那么现在的门票价格为元．由题意可得， ． ． 所以或， 解得，． 当时，门票价格为（元）； 当时，门票价格为（元）； 答：票价定为元或元（以元为调整单位）时，能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元 【变式3】（2025·山东东营·一模）我市商场投产一种新型产品，每件制造成本为18元，在试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．（利润=售价-制造成本） (1)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ (2)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 【答案】(1)售单价定为25元或43元，厂商每月能获得350万元的利润；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是万元； (2)648万元 【分析】（1）设每月的利润为z，根据每月的利润，再把代入即可求出z与x之间的函数解析式，把代入，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值； （2）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题． 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值，第（3）小题关键是确定x的取值范围． 【详解】（1）解：设每月的利润为z， 依题意， ∴z与x之间的函数解析式为； 把代入得， 解这个方程得，， ∴销售单价定为25元或43元，厂商每月能获得350万元的利润； 则， ∵ ∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是万元； （2）解：结合（1）及函数的图象（如图所示）可知， 当时， ∵这种电子产品的销售单价不能高于32元， 得， ∵中的， ∴得中y随x的增大而减小， ∴当时，每月制造成本最低．最低成本是（万元）， ∴制造出这种产品每月的最低制造成本需要648万元． 【变式4】（2025·山东淄博·一模）某企业安排70名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利140元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排人生产乙产品． (1)根据信息填表（要求写出化简后的结果） 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多500元，求每天安排多少人生产甲产品； (3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值． 【答案】(1)，； (2)每天安排60人生产甲产品； (3)安排31人生产乙产品时，可获得的最大利润为3898元． 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可； （3）先确定安排生产丙产品人数是生产甲产品人数的2倍，再根据每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品件，生产丙产品的有人，共生产丙产品件，用表示总利润利用二次函数性质讨论最值． 【详解】（1）解：由已知，每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品件．在乙每件140元获利的基础上，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，则乙产品的每件利润为元． 产品种类 每天（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 故答案为：，； （2）（2）解：由题意， ∴ 解得，，（不合题意，舍去）， ∴， 答：每天安排60人生产甲产品． （3）解：由题意得，安排生产丙产品人数是生产甲产品人数的2倍，每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，生产丙产品的有人， ∴当时，最大，但此时生产甲产品人数为：，不符合题意， 当时，此时生产甲产品人数为； 当时，，不符合题意； ∴当时，最大，此时生产甲产品的有13人． 答：安排31人生产乙产品时，可获得的最大利润为3898元． 【变式5】（2025·山东临沂·模拟预测）郯城有一片银杏种植基地，为了提高银杏产量，基地负责人进行了实验．发现当每平方米种植4棵银杏树苗时，平均每棵树苗的产量为100千克．在一定范围内，每多种植1棵树苗，平均每棵树苗的产量就会减少5千克．现在要使这片种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克，那么每平方米应该种植多少棵银杏树苗？ 【答案】当每平方米应该种植6棵或18棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程成为解题的关键． 设每平方米应该种植x棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克，然后根据题意列一元二次方程求解，再根据实际意义解答即可． 【详解】解：设每平方米应该种植x棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或6， 经验证：或6，均使每棵产量为正且符合实际意义． 所以当每平方米应该种植6棵或18棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克． 题型03几何问题 【典例1】（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 【典例2】（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【典例3】（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为的道路．已知铺防污地毯的面积为，则道路的宽度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可 【详解】解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 则道路的宽为米， 故答案为：4． 【变式2】（2025·山东菏泽·三模）如图，将正方形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算与图形面积，一元二次方程的根的计算，理解图示，掌握整式的运算，求根式公式的计算是关键． 根据图示，把正方形面积，拼接矩形的面积运用整式的混合运算表示出来，再根据一元二次方程方程的求根公式的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为， 拼成一个矩形（非正方形）如下图， ∴矩形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴等式两边同时除以，整理得，， 令，则， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）如图，在中，，正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 如图所示，过点作于点，可证，得，设，则，在中由勾股定理得，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴等腰直角三角形，， ∴，且， ∴， ∴， 设， ∴，则， 在中，，即， ∴，整理得，， 解得，， ∴ 故答案为： ． 【变式4】（2025·山东德州·二模）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为 m． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意可得：， 解得， 解得（舍去）， 故答案为：． 【变式5】（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 题型04动点问题 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据菱形的性质，勾股定理求得的长，根据题意得出，根据，可得，当时，四边形是平行四边形，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点作于点，根据题意可得四边形是梯形，，进而表示出，根据四边形的面积是菱形面积的建立方程，解方程，得出的值，结合题目条件，即可求解； （3）当时得出，根据得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 【变式1】（2025·山东青岛·二模）如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？ 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）列出、、关于t的代数式，通过，得到，即可求解， （2）由，得到，求出，关于t的代数式，代入，即可求解， （3）根据，代入，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点M，如图， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ，动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动，动时间为t（s）， ， ， 动点Q从点B出发以的速度沿线段BC向终点C匀速运动， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即，解得， 故当，四边形是平行四边形． （2）解：过点P作，交的延长线于点K，延长交于点N，如图， ， ， ∴四边形为矩形， ． ， ， ，即：， ， ， ， ， 故， （3）解：存在某一时刻时，平分四边形的面积，理由： 平分四边形的面积， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 故存在时，平分四边形的面积． 【点睛】本题考查了梯形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：用含t的代数式，表示出线段的长度． 【变式2】（2025·山东青岛·二模）已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： (1)连接，当时，求的值； (2)如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)如图3，连接与交于点，当时，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，建立方程进行解方程，即可作答． （2）过点D作于H，，则，，故，则，分别把数值代入，，得，所以，得，整理得，即可作答． （3）过点作于，整理得，则运用即，，建立方程，进行解方程，即可作答． 本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形的相关运算，方程与动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ，， ，， ， ∴， 解得， （2）解：过点D作于H， 在中，， ， ． 在中，， ，， ， 则， ， ， ， 则， ∴ 则， ， （3）解：过点作于， 在中，， ， ． ， ， ， ， 又， ， 即，， ∴． 解得， ， ∴ 重难点四 分式方程的应用 1. 分式方程：分母中含有未知数的方程。 2. 增根：使分母为0的根，不是原方程的解。 3. 关键：解分式方程必须检验。 4.常考应用题等量关系 行程问题:时间 = 路程 ÷ 速度 工程问题:时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 销售/购物问题:数量 = 总价 ÷ 单价 水流问题: 顺流速度 = 船速 + 水速 逆流速度 = 船速 − 水速 分式方程的应用题解题步骤 审：找等量关系（工程、行程、单价等） 设：设未知数 列：列分式方程 解：解方程 验：既要检验增根，又要检验是否符合题意 答：规范作答 题型01行程问题 【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 【典例2】（2025·山东德州·模拟预测）为响应政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点千米，他骑自行车比自驾车平均每小时少行驶千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间比自驾车所用的时间多小时．设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】首先设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，根据题意可得等量关系：骑自行车所用的时间自驾车所用的时间，根据等量关系，列出方程． 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 【详解】解：根据题意列方程得： ， 故答案为：． 【典例3】（2025·山东·模拟预测）2024年12月20日济广高速全线通车，小明的爸爸开车从泰安到东平，若走原来的泰东路，行程80千米，而走新扩建成的济广高速，路程不但缩短了20千米，驾车时间也省了40分钟．若小明的爸爸在高速上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（   ） A．50千米/时 B．60千米/时 C．65千米/时 D．70千米/时 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设小明的爸爸在普通道路上的速度是，则，40分钟，根据驾车时间也省了40分钟建立方程求解． 【详解】解：设小明的爸爸在普通道路上的速度是，则，40分钟 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴小明的爸爸在普通道路上的速度是60千米/时， 故选：B． 【变式1】（2025·山东滨州·二模）为迎接全国第39届科技创新大赛，学校创客社团积极备战，一节社团课上，小明用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知，“畅想号”的平均速度为． (1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决．（不添加条件，题目中的数据全部用上） (2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时达到终点？若能，求出两车到达终点时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)见解析 (2)不能，将“畅想号”的平均速度降低两车能同时到达终点 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意是解本题的关键． （1）先提出问题：求“和谐号”的平均速度？设“和谐号”的平均速度，再利用时间关系建立分式方程求解即可； （2）方便计算两车到达的时间即可判断是否同时到达，设“畅想号”的平均速度降低时能使两车同时到达终点，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：提出问题：求“和谐号”的平均速度？ 设“和谐号”的平均速度，则 解得． 经检验是分式方程的解． 故“和谐号”的平均速度． （2）解：“畅想号”到达终点的时间是，“和谐号”到达终点的时间是， 故两车不能同时到达终点，“畅想号”先到． 设“畅想号”的平均速度降低时能使两车同时到达终点， 则， 解得 经检验是分式方程的解． 故将“畅想号”的平均速度降低两车能同时到达终点． 【变式2】（2025·山东威海·一模）甲、乙两地相距，新修建的公路开通后，在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了，从而使甲地到乙地的时间缩短了2h，求客车现在的平均车速． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，注意解分式方程最后要写检验． 设客车原来的平均车速为，根据“在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了，从而使甲地到乙地的时间缩短了2h”即可列方程求解． 【详解】解：设客车原来的平均车速为，由题意得： ． 解得． 经检验，是分式方程的解． 所以． 答：客车现在的平均车速为． 【变式3】（2025·山东东营·一模）东营是一个富饶美丽的地方，是黄河入海之地．它有中国暖温带保存最完整、最广阔、最年轻的湿地生态系统，著名的黄河三角洲国家级自然保护区被人们誉为“鸟类的国际机场”．九年级（1）班学生周末从学校出发至黄河入海口研学旅行，两地相距180千米．一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，若设慢车的速度为千米／时，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为千米/小时，根据题意可得走过180千米，快车比慢车少用小时，列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为， 根据题意得：． 故答案为：． 【变式4】（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到70千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 【变式5】（2025·山东济宁·一模）一首轮船在静水中的最大速度为，它以最大航速沿江顺流航行，所用时间与以最大航速逆流航行所用时间相等，若设江水流速为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程解应用题，表示出船顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程是解题的关键．在水中，根据题意，准确表示出船顺水速度、逆水速度，结合时间相等建立等量关系列方程式解决问题的关键． 【详解】解：设江水流速为， 则所列方程正确的是， 故选：A． 【变式6】（2025·山东临沂·一模）随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．李老师购置了电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据电动汽车与公交车平均速度间的关系，可得出电动汽车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合张老师驾车上班比乘公交车所需的时间少用了 12 分钟，即可列出关于的分式方程． 【详解】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2倍，且乘公交车平均每小时走千米， ∴电动汽车的平均速度是千米／小时． 根据题意得：， 即． 故选：D． 题型02工程问题 【典例1】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 【典例2】（2025·山东聊城·三模）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造，在改造一段长4800米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．实际施工时每天改造管网长度为（   ） A．60米 B．72米 C．80米 D．96米 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天改造管网米，则实际每天改造管网米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可求出原计划每天改造管网的长度，再将其代入中，即可求出实际每天改造管网的长度． 【详解】解：设原计划每天改造管网米，则实际每天改造管网米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴实际每天改造管网（米）． 故选：D． 【典例3】（2025·山东青岛·模拟预测）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．原来计划每天施工米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划少用3天，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：实际每天施工米，原来计划每天施工米， 依题意得：． 故答案为：． 【变式1】（2025·山东聊城·二模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 万元． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元）； 答：实际每间教室的建设费用是万元； 故答案为：． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（    ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和，根据甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成建立方程可求出完成这项工程的天数，再分别计算出方案①和方案③的费用即可得到答案． 【详解】解：设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴完成这项工程的规定日期是天； ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是方案③． 故选：C． 【变式3】（2025·山东淄博·二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件（   ） A．200件 B．210件 C．250件 D．260件 【答案】A 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原来平均每人每周投递快件200件． 故选：A 【变式4】（2025·山东威海·一模）甲、乙两个施工队合作修建一条长为2000m的公路，甲施工队每天修建100m，乙施工队修建400m后，通过技术更新，效率提高了50%．公路修建完成时，两施工队修建的长度恰好相同，求乙施工队原来每天修建公路多少m． 【答案】80m 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据等量关系列出分式方程是解题的关键；设乙施工队原来每天修建公路，则乙施工队现在每天修建公路，根据“乙原来施工的时间加上技术更新后施工的时间等于甲修1000m的时间”，列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设乙施工队原来每天修建公路， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：乙施工队原来每天修建公路80米． 【变式5】（2025·山东菏泽·二模）某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人，甲组每天加工农产品3000件，乙组每天加工农产品2700件，已知乙组每人每天平均加工农产品的数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求乙组每人每天平均加工农产品多少件？ 【答案】乙组每人每天平均加工农产品180件 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲组每人每天平均加工农产品件，则乙组每人每天平均加工件，根据甲、乙两个组共35名工人，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即可解答问题． 【详解】解：设甲组每人每天平均加工农产品件，则乙组每人每天平均加工件， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验是原方程的根，且符合题意， （件）； 答：乙组每人每天平均加工农产品180件． 【变式6】（2025·山东济南·二模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？ 【答案】(1)A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递 (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用． （1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，利用工作时间工作总量工作效率，结合A，B型数控机器人接力9小时完成分拣任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型数控机器人每小时分拣快递的数量），再将其代入中，即可求出A型数控机器人每小时分拣快递的数量； （2）设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，根据刚好分拣完成5760件快递，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各安排方案． 【详解】（1）解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递； （2）解：设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种安排方案， 方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人； 方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人； 方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人． 题型03经济问题 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 【典例2】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 【变式2】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 【变式3】（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 【答案】(1)种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； (2)购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据用14400元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进个种书架，则购进个种书架，根据购进种书架数量不少于种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； （2）设购进个种书架，则购进个种书架， 由题意得：， 解得：， 设购买总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，， 答：购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 (1)请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． (2)若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ (3)利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 【答案】(1)每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元 (2)张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润 (3)第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程、函数解析式以及不等式是解题的关键。 （1）设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃，先根据题意列不等式求得a的取值范围，设总利润为元，根据题意，得．然后根据一次函数的性质求解即可； （3）直接根据题意列不等式求解即可。 【详解】（1）解：设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义，． 答：每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元． （2）解：设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃． 根据题意，得，解得:． 每千克大樱桃的利润为（元），每千克小樱桃的利润为（元）． 设总利润为元，根据题意，得． , 随的增大而增大， 当时，有最大值，此时． 答：张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润． （3）解：根据题意，得，解得． 答：第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元． 题型04和差倍分问题 【典例1】（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． 【典例2】（2025·山东聊城·二模）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． (1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； (2)某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 【答案】(1)熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤 (2)茶厂一天应安排17名熟练采茶工人采摘鲜叶，16名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少 【分析】本题主要考查了分式方程的应用及利用一次函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． （1）设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，根据每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天可得等量关系列出分式方程解出． （2）设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元，根据题意构造出y与x的一次函数关系，根据一次函数的性质确定x的取值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶2x斤． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤． （2）解：设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元， 则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶． 根据题意，得． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∵是整数，，且m为整数， ∴当时，y有最小值， 此时． 答：茶厂一天应安排17名熟练采茶工人采摘鲜叶，16名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少． 【变式1】（2025·山东济宁·模拟预测）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想象力．小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干种贝壳粘贴画．已知种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅． (1)求两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (2)某艺术品收藏协会计划团购两种贝壳粘贴画共20幅，且种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，和供应商商定后达成一致，种贝壳粘贴画每幅降价10元，种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠，那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元． 【答案】(1)种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元 (2)购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数是解题的关键： （1）设种贝壳粘贴画的单价为元，根据种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，购买费用为元，根据种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，列出不等式求出的范围，根据总费用为两种粘贴画的费用之和，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设种贝壳粘贴画的单价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，并符合题意； ∴； 答：种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，则购买幅种贝壳粘贴画，由题意，得：，解得：， 设购买费用为元，由题意，得： ， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最小为， 答：购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． (1)求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元 (2)该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元； （2）解：设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据题意得： ， 解得：， 设总利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w最a的增大而增大， ∴当时，w有最大值， 此时，， 答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 【变式3】（2025·山东济南·三模）生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 【答案】任务1：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元；任务2：购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，设A种型号自行车的进货单价是x元，则B种型号自行车的进货单价是元，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，设购进A种型号自行车m辆，则设购进B种型号自行车辆，则，可得，又设该商店利润为w元，则，结合，从而根据一次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）设种型号自行车的进货单价是元，则种型号自行车的进货单价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 答：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元； （2）设购进种型号自行车辆，则设购进种型号自行车辆， 根据题意得：， 解得， 设该商店利润为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 且为正整数 当时，有最大值， ， 此时（辆）， 答：该商店购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元． 1．（2025·山东临沂·一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程组得出甲车载客量为人，乙车载客量为人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人，根据题意得， 解得： ∴甲车载客量为人，乙车载客量为人， ∴每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意得， 解得：， ∴ ∴方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆， 方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为元/辆，乙车的费用为元/辆 方案一费用：元，方案二费用：元 ③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确 故选：B． 2．（2025·山东济南·二模）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， ∴设， 又∵时，， ∴，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）每年4月23日是世界读书日．为培养学生阅读习惯，烟台某中学准备采购甲、乙两种书籍送给当天参加“我爱读书”主题社团活动的学生．_____，并且花费300元购买甲种图书和花费100元购买乙种图书的数量相等．请先在横线上补充条件： ①购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元 ②甲、乙两种图书各购买1本共需20元 这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题． （1）甲、乙图书的单价是多少？ （2）若学校准备购买甲、乙两种图书共80本，若甲种图书的数量不少于乙种图书数量的4倍，并且购买甲、乙两种图书的总费用不高于1050元，则该学校有哪几种购买方案？ 【答案】购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元（答案不唯一） （1）甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； （2）该学校有2种购买方案，①购买甲种图书64本，乙种图书16本；②购买甲种图书65本，乙种图书15本． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元，根据花费300元购买甲种图书和花费100元购买乙种图书的数量相等，列出分式方程，解方程即可；选②同理； （2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本，根据甲种图书的数量不少于乙种图书数量的4倍，并且购买甲、乙两种图书的总费用不高于1050元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：①补充条件：购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元， 故答案为：购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元； 设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； ②补充条件：甲、乙两种图书各购买1本共需20元， 故答案为：甲、乙两种图书各购买1本共需20元； 设甲种图书的单价为x元，则乙种图书的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种图书的单价为15元，乙种图书的单价为5元； （即选条件①、②不影响答案） （2）解：设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本， 依题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴，， ∴该学校有2种购买方案： ①购买甲种图书64本，乙种图书16本； ②购买甲种图书65本，乙种图书15本； 答：该学校有2种购买方案，①购买甲种图书64本，乙种图书16本；②购买甲种图书65本，乙种图书15本． 4．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 【答案】(1)裁掉的正方形的边长为； (2)裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键． （1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为，则题意可列出方程，可求得答案； （2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示： 设裁掉的正方形的边长为，由题意可得： ， 解得：或（舍去）． 答：裁掉的正方形的边长为； （2）解：设总费用为y元， 则 ． 又∵， ∴． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，最小值为． 答：裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 5．（2025·山东·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，燃油车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，纯电动汽车的行驶费用更低． 1．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【答案】(1)间的距离为 (2)原计划单向开挖每天挖 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，根据，求解作答即可； （2）设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴， ∴， ∴间的距离为； （2）解：设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划单向开挖每天挖． 2．（2025·山东淄博·一模）2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1)燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元 (2)行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．列出分式方程，求出，即可解决问题； （2）设每年行驶的里程为x千米，根据新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 当时，， ， 答：燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元； （2）解：设每年行驶里程为，依题意得： ， 解得， 答：行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低． 3．（2025·山东日照·一模）每年的4月24日是中国航天日，某市计划在今年4月份开展中学生航模比赛，比赛组织方需要购买一批A，B两种型号的动力部件，购买记录如下表： A型号（件） B型号（件） 合计金额（元） 第一次 30 20 720 第二次 20 15 510 (1)分别求A，B两种型号动力部件的单价； (2)若组织方计划再次购买A，B两种型号的动力部件共30件，恰逢A型号动力部件7.5折促销，B型号动力部件单价不变，若计划购买金额不超过400元，则最多可购买B型号动力部件多少件？ 【答案】(1)A，B两种型号动力部件的单价分别为12元、18元． (2)最多可购买B型号动力部件件． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用； （1）设A，B两种型号动力部件的单价分别为x元、y元．根据表格信息建立方程组即可； （2）设购买B型号动力部件m件，则购买A型号动力部件件，由计划购买金额不超过400元，列出一元一次不等式求解，结合为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种型号动力部件的单价分别为x元、y元． 则 解得 答：A，B两种型号动力部件的单价分别为12元、18元． （2）解：设购买B型号动力部件m件，则购买A型号动力部件件， 根据题意：， 解得：， ∵为正整数， ∴最多可购买B型号动力部件件． 4．（2025·山东德州·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下： A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买A车还是B车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 元 元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车 B车 保险 6500元/年 保险 2900元/年 车机服务 1230元/年 保养 元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设A车的行驶费用为元，B车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，B车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，A车的行驶费用更低． 5．（2025·山东潍坊·一模）在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）正方形的边长为6；（3），见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得，由折叠的性质可得，，再由计算即可得解； （2）由折叠可知，，，设正方形边长为，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由正方形的性质可得，由折叠的性质可知，，，，证明，得出，从而得出，再求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴； （2）由折叠可知，， 所以， 设正方形边长为，则，， 因为在中，， 所以， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以正方形的边长为6； （3）， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵点，，共线， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 重难点03 方程应用题（配套、方案、利润等18类问题） 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 31 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 一元一次方程的应用 1.一元一次方程的定义：只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式的方程。 2. 等量关系：列方程的关键，从题目中找相等的数量关系。 3. 常见题型：和差倍分、行程、工程、利润、配套、数字、分段计费等。 4.常见题型等量关系 1）和差倍分 总量 = 各部分量之和 2）行程问题 路程 = 速度 × 时间 相遇：路程和 = 总路程 追及：路程差 = 相距路程 3）工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 一般设总量为1 4）利润问题 利润 = 售价 − 进价 售价 = 标价 × 折扣 5） 配套问题 两种物品数量成比例（如1:2、2:3） 一元一次方程的应用解题步骤 审：读懂题意，找出已知量和未知量。 设：设未知数（直接设/间接设）。 找：找等量关系。 列：根据等量关系列一元一次方程。 解：解方程，求出未知数。 验：检验解是否符合题意。 答：写出完整答案。 题型01 行程问题 【典例1】（2025·山东烟台·模拟预测）明代万历数学家程大位所著《算法统宗》一书列举各种应用题及解法，其中记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思为，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为（   ） A．3里 B．4里 C．6里 D．8里 【变式1】（2025·山东潍坊·一模）某地举行龙舟比赛，赛程为900米．甲、乙两队比赛时，路程（米）与时间（分钟）的函数关系如图所示． (1)最先到达终点的是 队，比另一队领先 分钟到达； (2)求出图中点的坐标，并解释它的实际意义； (3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁早到达终点？早几分钟？ 【变式2】（2025·山东济南·二模）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车行驶时间为，货车、轿车与甲地的距离为，，图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．两车出发后第二次相距时，货车的行驶时间为______． 题型02 销售问题 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）某产品成本元/千克，据市场调查，若按元/千克销售时，每天可销售千克，且销售单价每降低元，每天就可多销售千克；由于不耐磕碰，所以运输过程中会折损总重量的． (1)当售价为元/千克时，需要拉多少千克该产品才能刚好够卖？ (2)写出销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式 (3)当销售单价（元/千克）定为多少时，每天的利润（元）最大？最大利润多少元？ 【典例3】（2025·山东临沂·一模）“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋． (1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？ (2)“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ (3)当销售售价为多少元时，每分钟的利润最大，最大利润是多少？ 【变式1】（2025·山东临沂·二模）为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 【变式2】（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 【变式3】（2025·山东德州·一模）某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为元，店主第一批购买甲种足球个、乙种足球个一共花费元． (1)问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？ (2)若甲种足球每个获利元，乙种足球每个获利元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共个，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大，最大利润是多少？ 题型03几何问题 【典例1】（2025·山东菏泽·三模）如图，在数轴上点在点的右侧，已知点对应的数为，点对应的数为，在之间有一点，点到原点的距离为2，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3或1 【变式1】（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（    ） A．669 B．670 C．671 D．675 【变式2】（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 题型04古代问题 【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【变式1】（2025·山东聊城·二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少尺？设绳长x尺，长木长y尺，依题意得方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东淄博·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人公车，九人步．问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？设共有x人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型05动点问题 【典例1】（2025·山东滨州·模拟预测）在数轴上，点表示的数是3的相反数，从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A．7 B．1 C． D． 【典例2】（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 【变式1】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【变式2】（2025·河北唐山·一模）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数是1，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·黑龙江佳木斯·二模）几何综合题 如图，在四边形中，，，cm，cm，cm，点Q从点A出发以2cm/s的速度沿向点D运动，点P从点B同时出发以1cm/s的速度沿向点C运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．    (1)当t为何值时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形？ (2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于原四边形面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 重难点二 二元一次方程组的应用 1. 二元一次方程 含两个未知数，未知数次数都是 1，整式方程。 2. 二元一次方程组 把两个二元一次方程合在一起。 3. 方程组的解 两个方程的公共解，同时满足两个方程。 4.解方程组的两种核心方法 1）代入消元法 2）加减消元法 5.常考题型等量关系 • 和差倍分 两个量的和、差、倍数关系 • 行程问题 路程 = 速度×时间 相遇：路程和 = 总路程 追及：路程差 = 原距离 • 工程问题 工作总量 = 效率×时间 • 销售利润 总价 = 单价×数量 利润 = 售价−进价 二元一次方程组的应用解题步骤 审：找两个未知量、两个等量关系 设：设两个未知数，一般设为 x、y 找：找出两组相等关系 列：列出二元一次方程组 解：用代入或加减法解方程组 验：检验是否符合题意 答：写完整答案 题型01行程问题 【典例1】（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【典例2】（2025·湖北武汉·三模）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程是（    ） A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2500米 【典例3】（2025·陕西·模拟预测）一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 【变式1】（2025·湖北·模拟预测）一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米． 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)请根据题意，直接写出，，的值． (2)求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式． 【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲走向B地，途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速前进．乙因故比甲晚出发，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系． (1)乙与甲的速度差为________；甲与乙的速度比为________． (2)求甲、乙两人从第一次相遇至第二次相遇期间y与x之间的函数表达式． (3)当甲的行进路程比乙的行进路程多时，甲正在驻足与朋友交流，直接写出甲开始驻足与朋友交流时x的取值范围． 题型02方案问题 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【典例2】（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【变式1】（2025·山东聊城·三模）某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． 李老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯、温度为的水（不计热损失）．下列三个结论： ①李老师的水杯容量为； ②李老师接满水后，水杯中水温为（不计热损失）； ③小明同学的接水时间为． 其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】（2025·山东济南·二模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)根据学校图书馆的采购计划，拟用1500元预算购买文学名著和人物传记各40本，请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？ (3)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 题型03销售、利润问题 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【典例2】（2025·山东临沂·二模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价高元，且购进甲水果千克，乙水果千克共需元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少元千克？ (2)若水果店购进两种水果共千克，其中甲种水果的重量不高于乙种水果重量的倍，已知甲、乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．请你设计一种利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少元？ 【典例3】（2025·山东青岛·二模）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【变式1】（2025·山东德州·模拟预测）兴旺超市经营甲、乙两种商品的进价和售价如表： 商品种类 成本价（元个） 售价（元个） 甲种商品 m 乙种商品 n 在超市购买2000个甲种商品和1000个乙种商品共需5600元；购买1500个甲种商品和1500个乙种商品共需6000元． (1)求m，n的值； (2)五一期间，超市购进甲、乙两种商品共65万个，其中，甲种商品数量不低于乙种商品数量，且不超过55万个．实际销售时，由于市场因素影响，甲种商品量超过45万个的部分每个需要打八五折才能全部售完，乙种商品能按售价卖完设当天售完这两种商品获得的总利润为y万元，甲种商品量为x万个（x为整数）． ①求y（万元）关于x（万个）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②求当天售完这两种商品获得的最大总利润； (3)为支持农村教育事业，在（2）的条件下，获得最大利润时，超市对本地100所乡镇中学进行物资捐赠：向每所中学捐出甲种商品a个，乙种商品个，若要保证捐赠后盈利率不低于，求a的最大值． 【变式2】（2025·山东德州·二模）德州扒鸡闻名全国，远销海外，被誉为“天下第一鸡”，是享誉全国的特色产品．某超市计划采购A、B两种品牌扒鸡，已知购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元． (1)求A、B两种品牌扒鸡的单价各是多少元？ (2)该超市预算不超过11300元采购A、B两种扒鸡共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种扒鸡的售价均为185元/盒，如何安排采购量才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式3】（2025·山东济南·二模）学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． (1)求A，B两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 【变式4】（2025·山东青岛·一模）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元，乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，请你求出购进乒乓球拍数量的范围，以及如何进货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 【变式5】（2025·山东淄博·一模）某水果店销售苹果和梨，已知购买3千克苹果和1千克梨共需30元；购买1千克苹果和4千克梨共需32元． (1)求每千克苹果和每千克梨的售价； (2)若购买苹果和梨共12千克，且总价不超过80元，问最多购买多少千克苹果？ 【变式6】（2025·山东青岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．某经销商发现，与吉祥物“滨滨”和“妮妮”相关的甲、乙两款纪念品深受大家喜爱．已知购买3个甲款纪念品和2个乙款纪念品共需180元；购买5个甲款纪念品比购买3个乙款纪念品多15元． (1)甲、乙两款纪念品的售价各是多少？ (2)甲款纪念品的进价为20元，乙款纪念品的进价为38元．若该经销商计划购进甲、乙两款纪念品共60个，且乙款纪念品的购买数量不低于甲款纪念品购买数量的2倍，则应如何进货能使得这批纪念品全部售出后所获利润最大，最大利润是多少？ 【变式7】（2025·河南南阳·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (1)求老张批发的车厘子和芒果的箱数； (2)老张分配给A，B两个水果超市各50箱，如表为两超市的水果销售价格．设分配给A水果超市车厘子m箱． 车厘子销售价（元/箱） 芒果销售价（元/箱） A水果超市 160 100 B水果超市 150 120 若确保销售完这批水果后，B水果超市的利润不低于2400元，如何分配能使两超市获得最大利润，并求出这个最大利润； (3)老张仍然分配给A，B两个水果超市各50箱，若仅考虑获得最大利润，如何分配能使两超市获得最大利润，请直接写出分配方案及最大利润． 题型04几何问题 【典例1】（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 【典例2】（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【典例3】（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖北武汉·三模）在一个大长方形内，互不重叠地放入四个如图②的小长方形后得图①，已知大长方形的长、宽分别为8，6，则图①中阴影部分的面积是 ． 【变式2】（2025·吉林长春·模拟预测）列方程或方程组解应用题． 如图①，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图②所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），分别求一块八边形地砖和一块黑色正方形地砖的面积． 【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 题型05古代问题 【典例1】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【典例2】（2025·山东淄博·二模）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图2所表示的方程组为_____． (2)任务二：请解你所列的方程组． 【典例3】（2025·山东济宁·二模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于分钱的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有x钱，乙原有y钱，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东青岛·二模）《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东滨州·二模）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有 间客房，来了 房客． 重难点三 一元二次方程的应用 1.一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数是 2 的整式方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 2. 根的判别式 △= b2-4ac • △>0：两个不相等实数根 • △=0：两个相等实数根 • △<0：无实数根 3. 根与系数关系（韦达定理） x1+x2 = - , x1x2 = 4.常考应用题类型（必考） 1. 增长率/下降率问题 现量=原量×(1±增长率)n 2. 面积问题 矩形、道路、边框面积，用“大面积−小面积” 3. 利润问题 总利润=单件利润×销量 4. 握手/互送礼物问题 • 握手： • 互送礼物：x(x-1) 5. 数字问题 两位数：10×十位+个位 一元二次方程的应用解题步骤 审：读懂题意，找两个相等关系 设：设未知数 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程 验：◦ 检验是否是方程的解 ◦ 检验是否符合实际意义（长度、时间、人数不能为负） 答：规范作答 题型01工程问题 【典例1】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 题型02营销问题 【典例1】（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【典例2】（2025·山东潍坊·二模）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【典例3】（2025·山东青岛·模拟预测）某科技公司在国家专项资金的支持下，成功研发出一种电子产品．该产品第1年正式投产后，生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润．据统计，此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系式． (1)该产品第1年的售价是多少？ (2)第2年该公司投入20万元（20万元计入第2年的成本）对该产品进行升级研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保持市场占有率，公司规定第2年的产品售价不低于第1年的售价，另外公司规定，该产品的年产量不能低于8万件．求该公司第2年的利润（万元）与售价（元/件）之间满足的函数表达式，并求利润至少为多少万元． 【变式1】（2025·山东淄博·二模）潭溪山风景区特色旅游项目是水上漂流，该项目每天可接待游客400人，每位体验的游客为景区带来10元的利润．为增加盈利，景区准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，参与体验的游客就减少10人． (1)现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠，那么每张门票应涨价多少元？ (2)若单纯从经济角度看，每张门票涨价多少元，才能使该项目获利最多？ 【变式2】（2025·山东威海·一模）“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？ 【变式3】（2025·山东东营·一模）我市商场投产一种新型产品，每件制造成本为18元，在试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．（利润=售价-制造成本） (1)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ (2)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 【变式4】（2025·山东淄博·一模）某企业安排70名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利140元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排人生产乙产品． (1)根据信息填表（要求写出化简后的结果） 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多500元，求每天安排多少人生产甲产品； (3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值． 产品种类 每天（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 【变式5】（2025·山东临沂·模拟预测）郯城有一片银杏种植基地，为了提高银杏产量，基地负责人进行了实验．发现当每平方米种植4棵银杏树苗时，平均每棵树苗的产量为100千克．在一定范围内，每多种植1棵树苗，平均每棵树苗的产量就会减少5千克．现在要使这片种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克，那么每平方米应该种植多少棵银杏树苗？ 题型03几何问题 【典例1】（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【典例2】（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【典例3】（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为的道路．已知铺防污地毯的面积为，则道路的宽度为__________ ． 【变式2】（2025·山东菏泽·三模）如图，将正方形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），则的值为 ． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）如图，在中，，正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为 ． 【变式4】（2025·山东德州·二模）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为 m． 【变式5】（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 题型04动点问题 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·山东青岛·二模）如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？ 【变式2】（2025·山东青岛·二模）已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： (1)连接，当时，求的值； (2)如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)如图3，连接与交于点，当时，求的值． 重难点四 分式方程的应用 1. 分式方程：分母中含有未知数的方程。 2. 增根：使分母为0的根，不是原方程的解。 3. 关键：解分式方程必须检验。 4.常考应用题等量关系 行程问题:时间 = 路程 ÷ 速度 工程问题:时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 销售/购物问题:数量 = 总价 ÷ 单价 水流问题: 顺流速度 = 船速 + 水速 逆流速度 = 船速 − 水速 分式方程的应用题解题步骤 审：找等量关系（工程、行程、单价等） 设：设未知数 列：列分式方程 解：解方程 验：既要检验增根，又要检验是否符合题意 答：规范作答 题型01行程问题 【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【典例2】（2025·山东德州·模拟预测）为响应政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点千米，他骑自行车比自驾车平均每小时少行驶千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间比自驾车所用的时间多小时．设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，那么可列方程为 ． 【典例3】（2025·山东·模拟预测）2024年12月20日济广高速全线通车，小明的爸爸开车从泰安到东平，若走原来的泰东路，行程80千米，而走新扩建成的济广高速，路程不但缩短了20千米，驾车时间也省了40分钟．若小明的爸爸在高速上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（   ） A．50千米/时 B．60千米/时 C．65千米/时 D．70千米/时 【变式1】（2025·山东滨州·二模）为迎接全国第39届科技创新大赛，学校创客社团积极备战，一节社团课上，小明用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知，“畅想号”的平均速度为． (1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决．（不添加条件，题目中的数据全部用上） (2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时达到终点？若能，求出两车到达终点时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 【变式2】（2025·山东威海·一模）甲、乙两地相距，新修建的公路开通后，在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了，从而使甲地到乙地的时间缩短了2h，求客车现在的平均车速． 【变式3】（2025·山东东营·一模）东营是一个富饶美丽的地方，是黄河入海之地．它有中国暖温带保存最完整、最广阔、最年轻的湿地生态系统，著名的黄河三角洲国家级自然保护区被人们誉为“鸟类的国际机场”．九年级（1）班学生周末从学校出发至黄河入海口研学旅行，两地相距180千米．一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，若设慢车的速度为千米／时，则所列方程为 ． 【变式4】（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【变式5】（2025·山东济宁·一模）一首轮船在静水中的最大速度为，它以最大航速沿江顺流航行，所用时间与以最大航速逆流航行所用时间相等，若设江水流速为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·山东临沂·一模）随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．李老师购置了电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 题型02工程问题 【典例1】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【典例2】（2025·山东聊城·三模）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造，在改造一段长4800米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．实际施工时每天改造管网长度为（   ） A．60米 B．72米 C．80米 D．96米 【典例3】（2025·山东青岛·模拟预测）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为 ． 【变式1】（2025·山东聊城·二模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 万元． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（    ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 【变式3】（2025·山东淄博·二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件（   ） A．200件 B．210件 C．250件 D．260件 【变式4】（2025·山东威海·一模）甲、乙两个施工队合作修建一条长为2000m的公路，甲施工队每天修建100m，乙施工队修建400m后，通过技术更新，效率提高了50%．公路修建完成时，两施工队修建的长度恰好相同，求乙施工队原来每天修建公路多少m． 【变式5】（2025·山东菏泽·二模）某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人，甲组每天加工农产品3000件，乙组每天加工农产品2700件，已知乙组每人每天平均加工农产品的数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求乙组每人每天平均加工农产品多少件？ 【变式6】（2025·山东济南·二模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？ 题型03经济问题 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【典例2】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【变式2】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【变式3】（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 (1)请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． (2)若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ (3)利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 题型04和差倍分问题 【典例1】（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【典例2】（2025·山东聊城·二模）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． (1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； (2)某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 【变式1】（2025·山东济宁·模拟预测）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想象力．小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干种贝壳粘贴画．已知种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅． (1)求两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (2)某艺术品收藏协会计划团购两种贝壳粘贴画共20幅，且种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，和供应商商定后达成一致，种贝壳粘贴画每幅降价10元，种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠，那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． (1)求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式3】（2025·山东济南·三模）生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 1．（2025·山东临沂·一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 2．（2025·山东济南·二模）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）每年4月23日是世界读书日．为培养学生阅读习惯，烟台某中学准备采购甲、乙两种书籍送给当天参加“我爱读书”主题社团活动的学生．_____，并且花费300元购买甲种图书和花费100元购买乙种图书的数量相等．请先在横线上补充条件： ①购买1本甲种图书比购买1本乙种图书多花10元 ②甲、乙两种图书各购买1本共需20元 这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题． （1）甲、乙图书的单价是多少？ （2）若学校准备购买甲、乙两种图书共80本，若甲种图书的数量不少于乙种图书数量的4倍，并且购买甲、乙两种图书的总费用不高于1050元，则该学校有哪几种购买方案？ 4．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 5．（2025·山东·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 1．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 2．（2025·山东淄博·一模）2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 3．（2025·山东日照·一模）每年的4月24日是中国航天日，某市计划在今年4月份开展中学生航模比赛，比赛组织方需要购买一批A，B两种型号的动力部件，购买记录如下表： A型号（件） B型号（件） 合计金额（元） 第一次 30 20 720 第二次 20 15 510 (1)分别求A，B两种型号动力部件的单价； (2)若组织方计划再次购买A，B两种型号的动力部件共30件，恰逢A型号动力部件7.5折促销，B型号动力部件单价不变，若计划购买金额不超过400元，则最多可购买B型号动力部件多少件？ 4．（2025·山东德州·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下： A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买A车还是B车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 元 元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车 B车 保险 6500元/年 保险 2900元/年 车机服务 1230元/年 保养 元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案． 5．（2025·山东潍坊·一模）在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $