第一章 三角形的证明及其应用章节复习（6大考点+16大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用章节复习 教学目标 1. 系统梳理三角形内角和定理、四边形内角和与外角和公式，构建多边形角度计算的知识网络。 2. 整合等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定，掌握线段垂直平分线与角平分线的定理应用。 3. 能综合运用本章知识解决几何证明与实际问题，提升逻辑推理能力与几何模型意识。 教学重难点 重点： 1. 特殊三角形（等腰、等边、直角）的性质与判定，以及垂直平分线、角平分线定理的灵活应用。 2. 多边形内角和与外角和公式在角度计算与几何证明中的综合运用。 难点： 1. 在复杂图形中识别并构造基本几何模型，综合运用多个定理进行多步推理证明。 2. 灵活选择定理建立等量关系，解决涉及角度、线段相等或垂直的综合问题。 【知识点01】三角形的内角和定理与外角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°. 2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质，将三个内角转化成一个平角（180°）. 3.三角形外角定义： 三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称为该顶点的一个外角.每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各取一个外角（共三个）. 4.三角形外角和内定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于 360°. 【知识点02】多边形的概念及内外角 1．多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【知识点03】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【知识点04】等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点05】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点06】角的平分线的性质 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 题型01 利用三角形的内角和求角度 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形三个内角的和恒为． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图，在中，已知．以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连接并延长交于点D，则 ． 【答案】/123度 【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理； 先利用三角形内角和定理求出，再根据作图知平分，求出，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，平分，平分，，则 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 由角平分线的定义可得，即；再运用三角形内角和定义以及可知，即，最后再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 【变式3】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、平角与周角的定义、折叠的性质，熟练掌握分类讨论的思想和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．本题需分两种情况讨论求解，当时，利用平行线的性质和折叠的性质，求出的度数．当时，利用平行线的性质、平角的定义及折叠的性质，求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ， 情况1：当时， ， ， 由折叠性质可知，， ， 在中， ， ， 情况2：当时， ， ， ， 由折叠性质可知， ， 故答案为：或． 题型02 三角形的外角的性质求角 【典例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的外角，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，将边AC延长至点，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得出，结合已知条件即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：是△的外角， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和这一性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立与已知角的关系，从而求出的度数． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，然后分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ①如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴； ②如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴； ③如图所示，过点作，交直线于点， ∴， ∴， ， ∴； 综上，的度数为或或． 题型03 三角形内角和与外角和综合问题 【典例3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是利用角平分线定义和三角形内角与外角的关系，建立与、的联系． （1）先根据三角形内角和求出，再由角平分线得到，结合，利用直角三角形两锐角互余及三角形外角性质求出； （2）设，用表示，结合三角形内角和表示出，再通过直角三角形性质和外角关系推导出与、的等量关系． 【详解】（1）解： ∵平分 答：的度数为． （2）证明：设，则． 即． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情景】如图①，将一块直角三角尺放置在上（点在内），使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，． 【特殊探究】（1）若，则__________，__________，__________． 【类比探究】（2）请探究与之间存在的数量关系，并证明你的结论． 【类比延伸】（3）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）     （2）    见解析 （3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理与角度的整体转化，掌握通过角度的加减与整体代换，将所求角转化为已知角的和差关系是解题的关键． （1）先在中用内角和求，再在中求，最后通过角的加减得到； （2）从特殊情况推广到一般，利用三角形内角和定理，将整体转化为，从而推导出与的数量关系； （3）改变三角尺位置后，重新分析角的组成，将和分别表示为与的组合，再通过内角和代换得到新的数量关系． 【详解】解：（1）在中，， 根据三角形内角和： 在中，，同理： （2）．证明如下： ， ， ． （3）． ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 题型04 多边形内角和与外角和问题 【典例4】（25-26九年级上·广东梅州·期末）已知一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形的边数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键，根据内角和是外角和的倍列出方程，进而求出多边形的边数． 【详解】解：多边形的外角和为，内角和为， 由题意，内角和是外角和的倍，得， 化简得， 两边除以，得， 解得． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将正五边形和正八边形按如图所示的方式摆放，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是正多边形的内角，掌握正多边形的内角的计算公式是解题的关键．分别求出正五边形和正八边形的每个内角的度数，求差即可． 【详解】解：正五边形的一个内角的度数为， 正八边形的一个内角的度数为， 则的度数为， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意可知，，结合，求得． 【详解】解：如图所示，延长交于点． 根据题意可知，， 所以． 因为， 所以． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 题型05 多边形截角后的边数问题 【典例5】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 【变式1】（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】15，16或17 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 题型06 利用等腰（等边）三角形的性质求解 【典例6】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知为等腰三角形，它的一个外角为，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握是解题的关键． 由于外角可能对应顶角或底角，且等腰三角形的顶角不确定，需分类讨论 【详解】解：∵等腰，一个外角为， 情况一：当，外角是顶角的外角时， 根据三角形外角性质，顶角的外角等于两个底角之和， 故底角； 情况二：当，外角是一底角的外角时，取的外角， ； 情况三：当，顶角为，且外角为一底角的外角时，取的外角， ， 顶角． 综上，的度数可能为或或． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质． 先通过等腰三角形三线合一求出相关线段的长度，再根据折叠的性质得到，，．由于当为直角三角形，且，因此只能，分点在上方或者下方来讨论即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． ，， ， ， 由折叠可得，，． 当为直角三角形时，只能， ∴， 当点在上方时： ，， ， ， ， ； 当点在下方时： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或7， 故答案为：1或7．　 【变式2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为 秒时，与的一边垂直． 【答案】或4或 【分析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程，解题的关键是分类讨论． 设点的运动时间为秒，则，过点作，根据在中，，得出，根据勾股定理得出，分三种情况：当时；当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒，则， 过点作， ∵在中，， ∴， ∴， 当时，点与点重合， 此时，， ∴秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 综上，当点的运动时间为或4或秒时，与的一边垂直． 故答案为：或4或． 【变式3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，．已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设． （1）当P点是的中点时，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 /60度 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由三线合一得到，进而求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1）当P点是的中点时， ∵， ∴，即， ∵， ∴ 故答案为：． （2）当时，如下图： ，， ， ， 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合，， 题干要求，故该情况不存在． 故答案为：或． 题型07 含30°的直角三角形性质的应用 【典例7】（25-26八年级上·河南许昌·期末） 如图，在中，，，D是的中点，于 ，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三线合一定理，等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三线合一定理得到，则；证明，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术盛会．在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为，腰长为12m，则腰上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等．作于点 D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的性质求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于D，过B作于E， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即腰上的高是． 故答案为：． 【变式2】（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质是解题的关键．过点作于点，则，先证明，可得，从而得到，再由含度角的直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过点作于点，则， 在中，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质与等腰三角形的分类讨论，解题的关键是先求出AB和BC的长度，再分两种等腰情况（和）进行计算． 先在中，由、得，；再分和两种情况：当时，，可得；当时，由等腰三角形三线合一得，可得． 【详解】解：在中， ∵ ，，， ∴ ，． ∵ 点速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴ ． 分两种情况： 情况一：当时：，解得． 情况二： 当时， ∵ ， ∴ ，． 解得． 故答案为：或． 题型08 利用垂直平分线的性质求解 【典例8】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 【变式1】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是利用垂直平分线的性质将的周长转化为的长度．根据线段垂直平分线的性质，得到，，再将的周长替换为，而的长度等于的长度，代入已知的数值即可求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴； ∵的垂直平分线交于点， ∴； ∴的周长， ∵， ∴的周长为； 故答案为：8． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，解答即可． 本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N， ∴，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·月考）如图，中，，延长至点，交的延长线于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识；延长至点，使得，连接，即有垂直平分，则有，；再证明，则有，根据，有，进而有，则，即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接，如图， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 题型09 利用角平分线的性质求解 【典例9】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线定理，勾股定理和三角形面积公式，掌握角平分线定理是解题关键．连接，过点O分别作、、的垂线，垂足为、、，根据角平分线定理，点O到三角形的三边的距离都相等，即．结合三角形面积公式，可以求出点O到边的距离． 【详解】解：如图，连接，过点O分别作于点D，于点E，于点F， ∵，，， ∴由勾股定理可得，， ∴， ∵点O是、平分线的交点， 又∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点O到边的距离为． 故答案为：2． 【变式1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图画角平分线，角平分线定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，是的平分线，根据角平分线定理可得，结合三角形的面积公式可求出． 【详解】解：如图，作，垂足为， 由作图可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为 　． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，，证明，由勾股定理求出，证得，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 根据平行线间的距离处处相等的性质可得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是和的平分线，交于点，于点．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】过点作于点，根据角平分线的定义结合平行线的性质可得到，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值，再根据面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分， ． ， ， ， ． ，平分，， ． 又， ， ． 设． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得，即， ， 的面积． 故答案为：． 题型10 等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题 【典例10】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点．有以下结论：①；②；③，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【详解】解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∵是角平分线， ∴，，故①正确， ∴ ∴，故②正确 ∴，故③正确， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，为等边三角形，点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接，下面结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质．先求得，由得到，从而得到，据此即可判断． 【详解】解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴，结论①正确； 在和中， ， ，结论②正确； ， ∴，结论③正确； 根据目前的条件无法证明，结论④错误． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）等边， 点 、分别是 、上的点且，连接、 相交于点 ，以下结论： ①；②；③；④； 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，找出对应的等量关系是解题的关键． 由为等边三角形，得出，，结合，可证结论①，由结论①可证出结论②，由角度和边长的等量关系，通过线段和差证出，即可证明结论③，由结论③证出结论④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， 即，故结论②正确； ∵，， ，， ∴， ∵，， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有个， 故选D． 【变式3】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明，得到，，从而判断①②；设与的交点为，如图所示，由外角性质得到，从而判断③；无法判定与的相等关系，即不确定，进而判断④． 【详解】解：在和中，，（），， ， 即， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ， 故②正确，符合题意； 设于的交点为，如图所示： 在中，由三角形外角的性质可得，， 在中由三角形外角的性质可得， ， ②， ， 即， 故③正确，符合题意； ①，， 要验证， 只需要验证，即可以验证， 结合题中条件以及前面得到的结论，仍无法判定与的相等关系， 故④不一定正确，不符合题意； 综上所述，正确结论有①②③，共3个， 故选：C． 题型11 全等的性质和HL综合问题 【典例11】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及线段长度的计算，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等传递线段关系． （1）由已知通过证明，即可求解； （2）连接，可得，通过证明可得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接， ，， ， 由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，，，，，是上一点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可直接利用证明，由全等三角形的性质可证明； （2）由（1）可知，，然后利用证明，由全等三角形的性质可得到，最后通过勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ，， ． ，， ， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ， ， ． 在中，． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质． （1）根据，直接证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， 是的一个外角， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据于点M，得，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：于点M，， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型12 垂直平分线与角平分线的综合问题 【典例12】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在 中，，，是的垂直平分线，交，于点，，连接， ． (1)求证： ； (2)点在线段的垂直平分线上吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据含度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，然后即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，，   ∴， ， ∵是的垂直平分线  ， ∴， ∴，   ∴是等边三角形 ，   ∴； （2）答：在，理由如下： ∵是的垂直平分线 ， ∴， ∴， ∴， ∴平分，   ∵， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线，交于点．连接，交于点． (1)求证：为的垂直平分线； (2)若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，由勾股定理列出关于x的方程． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，而，因此A、P都在的垂直平分线上，判定为的垂直平分线； （2）由线段垂直平分线的性质得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：连接，， ∵，的垂直平分线，交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴A、P都在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （3）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）解：根据折叠可知：，，， ； （3）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分． 题型13 等腰三角形性质和判定的综合问题 【典例13】（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）已知，点P在的角平分线上，交于点B． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，以点P为圆心，为半径画弧，交于点D，E，连接与，若和都是等腰三角形．求的度数？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，则有，再利用等角对等边即可证明； （2）根据等腰三角形的定义得到，，则有，，设，在中利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，最后利用角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵点P在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵和都是等腰三角形， ∴，， ∴，， 设， 则， 由作图得，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵点P在的角平分线上， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图①，已知是的角平分线，、分别在的延长线上，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)如图②，点是线段上的动点，垂足为，设．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质可证明，由角平分线的定义可得，据此可证明，则，即是等腰三角形； （3）可求出；则由三角形外角的性质得到，进而由角平分线的等腰得到，据此根据三角形内角和定理求出的度数，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ； （2）证明：∵， 且， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接． (1)求证； (2)若为等腰三角形，求的长； (3)过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)或2 (3)，见解析 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的判定和性质证明即可； （2）分类计算即可； （3）过点A作于点A，且，连接，利用等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，根据折叠的性质，得， 故直线是线段的垂直平分线， 故． （2）解：， ，， 当时，过点E作于点H，过点D作于点Q， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ，， ， 当时， 点E与点B重合，点D与点C重合，不符合题意； 综上所述，的长为或2． （3）解：之间的数量关系为．理由如下： 过点A作于点A，且，连接， 则，， 根据折叠的性质，得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【变式3】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，是边上的高线，平分，、相交于，连接． (1)如图若，求的度数． (2)如图若，判断的形状，并说明理由． (3)在的条件下，若，．求的长度． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形，理由见解析； (3)． 【分析】根据直角三角形两锐角互余，可得：，根据角平分线的性质可得，根据三角形内角和定理可得，从而可求； 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据角平分线的定义可，根据三角形外角的性质可证：，根据等角对等边可证是等腰三角形； 根据，可证是等边三角形，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可以求出，，过点作，可得，利用勾股定理可求，所以可得，利用勾股定理可得：． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 在中，， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形， 理由如下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：， ， 由可知是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ，， 如下图所示，过点作， ， ， 在中，， ， 在中，． 题型14 等边三角形性质和判定的综合问题 【典例14】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰、等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理及等边三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用三角形内角和求出，结合等腰三角形性质得到；再根据平行线的性质得到，结合已知条件推导出，最后通过证明，利用全等三角形对应角相等求出的度数； （2）由全等三角形的对应边相等得到，再结合全等的对应角求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 且； ∵， ∴； 又∵，， ∴； 在和中，， ∴； ∴； （2）解：由得：，； ∵， ∴； 又∵， ∴是等边三角形． 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定． (1)根据等边三角形的性质可以得到，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证； (2)根据可知，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证结论成立． 【详解】（1）解：和为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ； （2）解：连接， 由（1）知，   ， ，， 在和中 ， ， ， 是等边三角形． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且， (1)当点E为的中点时，如图1，求证：； (2)当点E不是的中点时，如图2，过点E作，求证：是等边三角形； (3)在第（2）小题的条件下，与还相等吗，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，外角的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据等边三角形的性质，外角的定义即可得出结论； （2）根据平行线的性质，等边三角形的判定方法即可得证； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵点E为的中点， ∴，． ， ， ． ， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ， ∴是等边三角形． （3）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ． ∵，， ，， ∴，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期末）（1）如图1，折叠等边纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．①求的度数．②求证：为等边三角形． （2）如图2，等腰纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，求的长度． （3）如图3，折叠锐角纸片，使点落在的右方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，请写出线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，，，分别交于，，．证明，得出，，同理可得：，则可得出结论． 【详解】（1）①解：等边三角形，点为的中点， ， 折叠等边纸片，使点与边中点重合， ∴， ， ； ②证明：， ， ， 为等边三角形； （2）解：， ， 折叠等腰三角形纸片， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． （3）． 证明：如图，作，，，分别交于，，． ∵点、点到的距离相等， ∴， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 同理可得：， ． 题型15 等腰（等边）三角形中的动点问题 【典例15】（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，直线，平分，过点B作交于点C；动点E，D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)求的度数； (2)若，求动点D，E的运动时间t的值； (3)动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3)存在， 【分析】本题考查几何问题(一元一次方程的应用)，等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分类讨论：①当点E在点左侧时，②当点在点右侧时，逐个分析求解即可； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：作，， ∵平分，则， ， ， ①当点E在点左侧时，有 ，， ， 解得：； ②当点在点右侧时，有 ，， ， 解得． ∴t的值为或． （3）解：存在，．理由如下： ，， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：存在，． 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）（1）问题发现：如图①，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接．猜想与的数量关系为 ， ． （2）类比探究：与均为等腰直角三角形，．如图②，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图③，当，，请你直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）；理由见解析；（3）60 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）通过证明，即可得出结论； （2）通过证明，推出，，利用勾股定理即可得出结论； （3）连接，过点A作于点H，先求出，，则，再通过证明，得出，，，进而得出，最后根据，即可解得． 【详解】解：（1）∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，60； （2），理由如下 ∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即； （3）连接，过点A作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴点H为中点， ∵，， ∴，， ∴， ∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，则， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），或；（2）不变，；（3）面积相等，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式，分和两种情况进行讨论进行求解即可； （2）证明，得到，对顶角得到，结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）过点作，过点作，证明，得到，进而根据同底等高的两个三角形的面积相等，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意，得：， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当时，则：， ∴，即，解得； ②当时，则：， ∴，即，解得； 综上：当或时，是直角三角形； （2）不变，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （3）和的面积相等，理由如下： 过点作，过点作，则：， ∵， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型16 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 【典例16】（24-25八年级下·江西吉安·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【答案】(1)①不是，②该三角形是可爱三角形，理由见解析； (2)的长为或． 【分析】本题考查了新定义“可爱三角形”，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长，根据“可爱三角形”的定义即可判断； ②直接根据“可爱三角形”的定义即可判断； （2）分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长， ， ∴等腰直角三角形一定不是“可爱三角形”， 故答案为：不是； ②由题意得：， ，， ， ∴该三角形是可爱三角形； （2）解：是直角三角形，， ，即， ∵是可爱三角形，， ∴有三种情况： ，即 ， ， （负值已舍去）； ，即 （负值已舍去）； ，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【变式1】（25-26八年级上·广东中山·期中）阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 (1)如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． （1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是 (2)5 (3)2或1或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 【定义理解】 （1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个） （2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”； 【定义运用】 （3）如图2，已知是直角三角形，， ①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． ②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． 【问题拓展】 （4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）钝角；（2）见解析；（3）①，②或；（4）或 【分析】本题主要考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）根据“类直角三角形”的定义、三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）①由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解；②由题意易得或，则有或，然后根据三角形内角和可进行求解； （4）由题意可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：（1）设三角形的第三个内角为，由三角形内角和可知：， ∵该三角形是“类直角三角形”， ∴， ∴， ∴，即， ∴该三角形一定是钝角三角形， 故答案为钝角； （2）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴是“类直角三角形”． （3）解：①如图， ∵，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴，由于，所以不成立， ∴， ∴； 故答案为． ②如图， ∵，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为或． （4）解：如图， ∵，，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴或， 情形一：当时，过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∵，， ∴， 方法一：， ∴， ∴， ∴． 方法二：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得，解得：， ∴； 情形二：当时， 方法一：在上面找一点，连接，使得，延长至，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴； 方法二：作点关于的对称点，连接、，并延长交于点． ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵点、点关于对称， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 利用等积法可得：， ∴， 在中，， 设，在中，， ∴， 在中，． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，是的外角，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：是的外角， ∴， ∵，， ∴； 故选：C． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．18.5 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线、作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明有则则的周长等于从而求解. 【详解】解：由作图可知，平分，， 的周长等于 故选：C. 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于F， 在中，， ∴，， ∵两个同样大小的含角的三角尺， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，中，是边的中线，有，垂足为点交于点，且平分交于，交于，连接，则下列结论： ①；②； ③；④； 错误的有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定与性质，灵活构造辅助线并运用全等三角形的判定定理是解题的关键．通过证明多组三角形全等，分别对四个结论进行逐一验证，进而判断结论的正确性． 【详解】解：如图，作交延长线于， ，，平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，，，故②③正确； ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，，故①④正确． 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在直角三角形中，．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，，即， 故答案为： ． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，,D是边的中点，在的延长线上取一点E,连接并延长，交边于点F．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识. 过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：． 9．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在中，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 °． 【答案】15或30或60 【分析】设，当点E在线段上时， 由折叠的性质可求，分当时，当时，当时，三种情况讨论；当点在线段的延长线上时，，是钝角等腰三角形，只能．由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：设， 当点在线段上时， ∵将沿翻折至处， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴不存在； 当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 由折叠可知，， ∴， ∴是钝角等腰三角形， ∴只能， ∴， 在中，， ∴． 综上，的度数或或． 故答案为：15或30或60． 【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，分类讨论，是解题的关键． 10．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ． 【答案】5或或或10 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图， 由折叠得：，，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，作，连接，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ③若，如图3，过点A作于H，延长交于M， 同理可求， ∴， 故答案为：5或或或10． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及三角形的外角性质，熟知直角三角形的性质及三角形的外角性质是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据角平分线的定义即可解决问题； （2）先求出的度数，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵在中，， 是的平分线， （2） 12．（25-26八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其外角性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 即的周长为． 13．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点D在线段上运动（点D与B、C不重合），连接，作，交线段于点E． (1)若求证：； (2)在点D的运动过程中，的形状也在改变．当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）证明，即可证明； （2）分类解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形内角和的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：当时， ， ， ； 当时， ， ， ； ； 当时， ， ， 这与三角形的外角大于任何一个不相邻的内角矛盾，不成立； 综上所述，等于或． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在边长为的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，则t的值为___________ ； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“为腰，为底的等腰三角形，且，”，点P在从A向B运动到中点时静止，此时点M，N同时分别在上运动，点M以每秒的速度从点B向C运动，同时点N以每秒的速度从点C向A运动（各点均不再返回），当以B、P、M三点构成的三角形与全等时，求a的值． 【答案】(1)3 (2) (3)当全等时，a的值为或 【分析】（1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可； （3）由全等可得或两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵边长为的等边三角形， ∴， 如图1，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒， ∴，则， ∴， 解得：， ∴当t的值为3时，， 故答案为：3； （2）解：①当点Q在边上时，如图2.1， 此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时，如图2.2， 若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形； （3）解：，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，点从A向B运动到中点时静止， ∴，点运动的时间为， ∵，点M以每秒的速度从点B向C运动， ∴点的运动时间为； 由题意可知：， ∴， 若，则， ∴， 解得，，此时点在线段的中点处，处于静止， ∴， ∴， 解得：， 若，则， ∴， 解得，，此时点在未到线段的中点出，处于运动， ， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则__________； (2)当时， ①如图2，连接，当时，求的长； ②如图3，直线与交于点F，满足为直线上一动点．当的值最大时，探索与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． （1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①根据（1）中的方法得到，证明是等边三角形；则；②作点关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明和，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①如图2中， ∵点E是线段的垂直平分线的交点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 16．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式． 已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接． 初步感知 （1）如图1，当点在边上时，求的度数． 类比探究 （2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由． 拓展运用 （3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据证明，得出，再根据，即可得到； （3）根据证明，得出，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：存在的数量关系为．理由： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章三角形的证明及其应用章节复习 内容概览 教学目标、教学重难点 【知识点01】三角形的内角和定理与外角和定理 【知识点02】多边形的概念及内外角 【知识点03】等腰三角形 知识清单 【知识点04】等边三角形 【知识点05】线段垂直平分线 【知识点06】角的平分线的性质 题型01利用三角形的内角和求角度 题型02三角形的外角的性质求角 题型03三角形纳角和与外角和综合问题 题型04多边形内角和与外角和问题 三角形的证明及其应用 题型05多边形截角后的边数或内角和问题 题型06利用等腰（等边）三角形的性质求解 题型07含30的直角三角形性质的应用 题型08利用垂直平分线的性质求解 题型精讲 题型09利用角平分线的性质求解 题型0等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题 题型I1全等的性质和HL综合问题 题型12垂直平分线与角平分线的综合问题 题型I3等腰三角形性质和判定的综合问题 题型14等边三角形性质和判定的综合问题 题型5等腰（等边）三角形中的动点问题 题型I6与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.系统梳理三角形内角和定理、四边形内角和与外角和公式，构建多边形角度计算的 知识网络。 教学目标 2. 整合等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定，掌握线段垂直平分线与 角平分线的定理应用。 3.能综合运用本章知识解决几何证明与实际问题，提升逻辑推理能力与几何模型意识。 教学重难点 重点： 1/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.特殊三角形（等腰、等边、直角）的性质与判定，以及垂直平分线、角平分线定理 的灵活应用。 2. 多边形内角和与外角和公式在角度计算与几何证明中的综合运用。 难点： 1.在复杂图形中识别并构造基本几何模型，综合运用多个定理进行多步推理证明。 2.灵活选择定理建立等量关系，解决涉及角度、线段相等或垂直的综合问题。 知识清单 【知识点01】三角形的内角和定理与外角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180° 2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质， 将三个内角转化成一个平角(180°). 3.三角形外角定义：三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称 为该顶点的一个外角.每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各取 个外角（共三个）. 4.三角形外角和内定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于360° 【知识点02】多边形的概念及内外角 1.多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形.其中， 各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形 2.相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 顶点 内角 D 多边形 对角线 外角 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多 边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形.如图： 特别说明：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (②)过n边形的一个顶点可以引n-3)条对角线，n边形对角线的条数为-3》， 2 (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形， 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3). 特别说明：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于0-2)·180」 n 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360° 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.边形的 外角和恒等于360°，它与边数的多少无关： 2/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n (3)多边形的外角和为360°的作用是：①己知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形 边数求各相等外角的度数 【知识点03】等腰三角形 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）. 等腰三角形的其他性质： (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等， (2)等腰三角形两底角的平分线相等， (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐 角都是45° 2.等腰三角形的判定 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形： (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 数学语言：在△ABC中，，∠B=∠C,AB=AC(等角对等边). 【注意】 (1)“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在没有 判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰” (2)“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性 质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 【知识点04】等边三角形 1.等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 【注意】 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 2.等边三角形的判定 (1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形， (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3.含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【注意】 (1)该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更 不能应用 (2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系. (3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切， (4)在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的 角转化后，再利用这个性质解决问题 【知识点05】线段垂直平分线 1.线段垂直平分线的定义及其性质 (1)线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 (2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.书写格式：如图所示，点P在线段 AB的垂直平分线上，则PA=PB. 3/26 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，书写格式：如图所示，若PA=PB, 则点P在线段AB的垂直平分线上. 【知识点O6】角的平分线的性质 1.作己知角的平分线 用尺规作己知角的平分线.已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分线. 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求. 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC(SSS). 2.角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 【提示】 (1)这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； (2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； (3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； (4)运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的己知点向两边作垂线段，利用其相等来推导 其他结论. 3.角的平分线的判定 (1)内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上， 角的外部的点不会在角的平分线上， 题型精讲 题型01利用三角形的内角和求角度 【典例1】(25-26八年级上·浙江杭州期末)在ABC中，∠A=45°，∠B=80°，则∠C的度数是 【变式1】(25-26八年级上湖南衡阳·月考)如图，在ABC中，已知∠C=90°，∠B=24°.以点A为圆心， 以任意长为半径画弧，分别交B,4C于点M,,再分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径画弧， 两弧相交于点P.连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB= 4/26 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 【变式2】(25-26九年级上·黑龙江绥化期末)如图，在ABC中，BI平分∠ABC,CI平分∠ACB, ∠B1C=130°，则∠A=度. 【变式3】(25-26八年级上河南安阳期末)如图，在ABC中，∠A=54°，∠C=46°，D是线段AC上的 一个动点，连接BD,把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C处，当C'D平行于ABC的边时， ∠CDB的大小为」 C B 题型02三角形的外角的性质求角 【典例2】(25-26八年级上·湖南长沙·期末)如图，∠ACD是ABC的外角，若∠ACD=122°，∠A=73°， 则∠B= B D 【变式1】(25-26八年级上河南周口·期末)如图，在ABC中，∠A=50°，将边AC延长至点D,若 ∠DCB=3LB,则∠B的度数为 D B 【变式2】(25-26八年级上河南安阳·期末)随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小 5/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地.如图①是某校体育课上的侧压动作， 可以抽象为如图②的几何图形，若∠1=113°，则∠2的度数为° oo 侧压腿式 图① 图② 【变式3】(25-26八年级上·江西上饶期末)如图，在ABC中，∠A=70°，∠ACB=36°，点D为边BC延 长线上一点，BF平分∠ABC,点E为直线BF上一点.若直线AE垂直于ABC的一边，则∠AEB的度数 为 B 题型03三角形内角和与外角和综合问题 【典例3】(25-26八年级上·河南周口期末)如图，△ABC≌△DEB,点E在边AB上，DE与AC相交于点 F. A E B (1)若DE=13,BC=7,求线段AE的长； (2)若LAFE=50°，∠DEB=80°，求∠DBC的度数 【变式1】(25-26八年级上·福建福州·期末)如图，在ABC中，满足∠B<∠ACB,AD平分∠BAC,P为 线段AD上的一个动点，过点P作PE L AD交BC的延长线于点E. D C (1)若∠B=36°，∠ACB=84°，求∠E的度数： (②)当P点在线段AD上运动时，试探究∠E与∠B,∠ACB之间的等量关系，并证明. 【变式2】(25-26八年级下·全国·课后作业)【问题情景】如图①，将一块直角三角尺PMN放置在ABC上 6/26 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (点P在ABC内)，使得该三角尺的两条直角边PM,PN恰好分别经过点B,C. 图① 【特殊探究】(1)若∠A=40°，则LABC+LACB= ZPBC+ZPCB= ZABP+ZACP= 【类比探究】(2)请探究ABP+∠ACP与∠A之间存在的数量关系，并证明你的结论 【类比延伸】(3)如图②，改变直角三角尺PMN的位置，使点P在ABC外，且在AB边的左侧，直接写出 ∠ABP,∠ACP与∠A之间存在的数量关系. B M 图② 【变式3】(25-26八年级上湖南岳阳·期末)【初步认识】 (1)如图①，在ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若∠A=80°，则∠P=;如图②， BM平分∠ABC,CM平分外角LACD,则∠A与∠M的数量关系是： 【继续探索】 (2)如图③，BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB,请探索∠A与∠N之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点P是ABC两内角平分线的交点，点N是ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于 点M.在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数. ① ② ③ ④ 题型04多边形内角和与外角和问题 7/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例4】(25-26九年级上：广东梅州期末)己知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的 边数是 【变式1】(25-26八年级下·全国课后作业)将正五边形和正八边形按如图所示的方式摆放，则∠1的度数 为 【变式2】(25-26九年级上·浙江绍兴·期末)如图，在正五边形ABCDE的外部，以AB为边作正六边形 AB,C,D,FB,连结CF,则∠BCF的度数为· B 【变式3】(25-26八年级上山东烟台期末)公园的一段甬道是由完全相同的五边形ABCDE密铺而成，其部 分密铺图案如图所示，若∠C=∠E=90°，∠A=∠B=∠D,则∠A的度数为 题型05多边形截角后的边数问题 【典例5】(24-25八年级上四川绵阳期中)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720 ，那么多边形的边数为 【变式1】(25-26八年级上·湖北黄冈·月考)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 2520°，则原多边形的边数是 【变式2】(25-26七年级上·山东青岛期末)将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片 的边数可能是」 【变式3】(25-26七年级上·甘肃兰州期末)若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩 余多边形的边数是一· 题型06利用等腰（等边）三角形的性质求解 8/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例6】(2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习)已知ABC为等腰三角形，它的一个外角为110°，则 ∠B的度数是 【变式1】(25-26八年级上河南新乡·期末)如图，在ABC中，CA=CB=5,AB=8,D是AB边上的一 个动点，连结CD,将△ACD沿CD折叠得到△ECD,点A的对应点为E.当ADE为直角三角形时，AD的 长为 B 【变式2】(25-26八年级上·浙江嘉兴期末)如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,动点P从点B出发， 沿BC以每秒一个单位长度的速度向终点C运动，连接AP,当点P的运动时间为 秒时，AP与 ABC的一边垂直. B D 【变式3】(25-26八年级上安微蚌埠期末)如图，在ABC中，∠ACB=120,AC=BC,已知∠MPN的 顶点P是线段AB上一点，PM经过顶点C,PN与AC交于点D,∠MPN=30°，设∠BCP=∠1（∠1≠0）. A (1)当P点是AB的中点时，则∠APD的度数为 (2)当△CDP是等腰三角形时，∠I的度数为」 题型07含30°的直角三角形性质的应用 【典例7】(25-26八年级上·河南许昌·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中 点，DE⊥AB于E,若AE=2,则AB= B D C 【变式1】(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业)中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术 盛会，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为120°， 9/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 腰长为12m,则腰上的高是 A 【变式2】(2026八年级上·江苏无锡·专题练习)如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF 的三个顶点分别落在AC,AB,BC上，若CD=4,BE=6,则AB的长为一· 【变式3】(25-26八年级上河北石家庄期末)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3,动 点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA,当△ABP为 以AB为腰的等腰三角形时，t的值为一· B P 题型08利用垂直平分线的性质求解 【典例8】(25-26八年级上黑龙江佳木斯期末)如图，在ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC 、AB于点E、F,过点A作AD⊥BC于点D,且D为线段CE的中点，若ABC的周长为26，AF=5, 则BD的长为」 B 【变式1】(2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习)如图，在ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交 BC于点E,F,若BC=8cm,则△AEF的周长为_ cm. E 【变式2】(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨课后作业)如图，在ABC中，DE垂直平分AB,分别交AB, BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.若LBAC=80°，则LEAN的度数为」 10/26