专题8.9 梯形（举一反三讲义）数学新教材苏科版八年级下册

本讲义聚焦初中数学梯形专题，系统梳理梯形相关概念、等腰梯形性质与判定、梯形中位线等核心知识点，从定义到性质、判定再到中位线应用，构建完整知识支架，帮助学生逐步掌握梯形知识脉络。 资料通过8类题型分层设计，例题与变式结合，以几何直观培养数学眼光，推理证明训练数学思维，实际问题应用提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

专题8.9 梯形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 【题型1 梯形的相关定义】 1 【题型2 利用等腰梯形的性质求值】 2 【题型3 利用等腰梯形的性质证明】 3 【题型4 等腰梯形的判定】 4 【题型5 利用梯形的中位线求值】 5 【题型6 利用梯形的中位线证明】 6 【题型7 等腰梯形的判定与性质的综合求值】 8 【题型8 等腰梯形的判定与性质的综合证明】 9 知识点1 梯形的相关概念 1. 梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形． 2. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC． 3. 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形．如图，在直角梯形ABCD中，＝90°． 4. 梯形面积公式：． 【题型1 梯形的相关定义】 【例1】（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）如图是一个用长的篱笆围成的直角梯形的菜地，其中梯形的高为，靠墙的一边不用篱笆，那么菜地的面积是( )． 【变式1-2】（2025·上海·模拟预测）若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 【变式1-3】（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 知识点2 等腰梯形的性质 1. 等腰梯形的两腰相等； 2. 等腰梯形的两底角相等； 3. 等腰梯形的对角线相等； 4. 等腰梯形是轴对称图形． 【题型2 利用等腰梯形的性质求值】 【例2】如图，等腰梯形中， ，，则 ． 【变式2-1】已知等腰梯形的底角为，上底长为2，上、下底长之比为，那么梯形的面积为（ 　 ） A．8 B．4 C．8 D．4 【变式2-2】如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-3】如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【题型3 利用等腰梯形的性质证明】 【例3】如图，在等腰梯形中，E为底的中点，连接．求证：．    【变式3-1】已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【变式3-2】已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求证． 知识点3 等腰梯形的判定 1. 两腰相等的梯形是等腰梯形（定义）； 2. 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； 3. 对角线相等的梯形是等腰梯形． 【题型4 等腰梯形的判定】 【例4】如图所示，在梯形中，，作交于点E (1)求证：四边形是菱形 (2)若，．求证：梯形是等腰梯形 【变式4-1】如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【变式4-2】如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·周测）梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 知识点4 梯形中位线 1. 定义：连接梯形两腰中点的线段叫梯形中位线． 2. 性质：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半．如图． 【题型5 利用梯形的中位线求值】 【例5】如图，在中，平分交于点，点，分别是，的中点．若，，则的长为（    ）    A． B．3 C． D．4 【变式5-1】如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则    【变式5-2】（24-25八年级下·上海·期中）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，已知梯形中，， 、分别是、的中点，点在边上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，求证：四边形是矩形． 【题型6 利用梯形的中位线证明】 【例6】如图1，在矩形中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接交于点N，连接交于点M．      (1)求证：； (2)连接 ，求的长； (3)如图2，将正方形绕C点旋转，当F落在边上时（点D旋转到），请直接写出的长为 ． 【变式6-1】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接． (1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：； (2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度． (3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系． 【变式6-2】如图，在四边形中，，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接． ①求证：； ②若，，，求与的值． 【变式6-3】如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【题型7 等腰梯形的判定与性质的综合求值】 【例7】已知在梯形中，，，，那么等于 度． 【变式7-1】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【变式7-2】如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是梯形； (2)如果，当为等腰三角形时，求的长． 【变式7-3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹，             图①                                                         图②                                                  图③ (1)在图①中，作四边形，使四边形为中心对称图形； (2)在图②中，作四边形，使四边形为轴对称图形； (3)在图③中，作四边形，使四边形为轴对称图形． 【题型8 等腰梯形的判定与性质的综合证明】 【例8】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【变式8-2】已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，且，求四边形的面积． 【变式8-3】（2024·上海嘉定·二模）如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.9 梯形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 【题型1 梯形的相关定义】 1 【题型2 利用等腰梯形的性质求值】 4 【题型3 利用等腰梯形的性质证明】 7 【题型4 等腰梯形的判定】 12 【题型5 利用梯形的中位线求值】 17 【题型6 利用梯形的中位线证明】 21 【题型7 等腰梯形的判定与性质的综合求值】 30 【题型8 等腰梯形的判定与性质的综合证明】 37 知识点1 梯形的相关概念 1. 梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形． 2. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC． 3. 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形．如图，在直角梯形ABCD中，＝90°． 4. 梯形面积公式：． 【题型1 梯形的相关定义】 【例1】（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）如图是一个用长的篱笆围成的直角梯形的菜地，其中梯形的高为，靠墙的一边不用篱笆，那么菜地的面积是( )． 【答案】 【分析】本题考查了梯形面积，由题意可得直角梯形的上底下底，然后通过梯形面积公式即可求解，掌握梯形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，直角梯形的上底下底， ∴菜地的面积是， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·上海·模拟预测）若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 【答案】B 【分析】本题考查了梯形的定义，平行四边形的判定与性质，三角形的三边关系． 过梯形一个底的顶点作腰的平行线与另一个底相交，则可得该梯形被分割为一个平行四边形和一个三角形，再根据平行四边形的对边相等，以及三角形的三边关系判断该三角形是否成立即可． 【详解】解：可以作两个梯形 以为上底，为下底，和为腰， 以为上底，为下底，和为腰． 故选B． 【变式1-3】（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 知识点2 等腰梯形的性质 1. 等腰梯形的两腰相等； 2. 等腰梯形的两底角相等； 3. 等腰梯形的对角线相等； 4. 等腰梯形是轴对称图形． 【题型2 利用等腰梯形的性质求值】 【例2】如图，等腰梯形中， ，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2-1】已知等腰梯形的底角为，上底长为2，上、下底长之比为，那么梯形的面积为（ 　 ） A．8 B．4 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰梯形的性质和梯形的面积公式，解决梯形的高是解题的关键． 根据等腰梯形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得到高，再利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】如图，在等腰梯形中，，，，， ∵上、下底长之比为， ∴， ， 四边形为矩形， ， ∴，， ， ， ∴梯形的面积． 故选：A． 【变式2-2】如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 【变式2-3】如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 【题型3 利用等腰梯形的性质证明】 【例3】如图，在等腰梯形中，E为底的中点，连接．求证：．    【答案】证明见解析. 【分析】本题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定．等腰梯形的腰相等，同一底上的两个角相等，容易知道，又，所以容易证明． 【详解】证明∵四边形是等腰梯形， ∴． ∵E为的中点， ∴． ∴． 【变式3-1】已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，证明，得到，利用三角形中位线定理证得，即可证明结论成立； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，证明，推出，同理，得到，再证明，推出，据此即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点， ∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形，，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【变式3-2】已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查的是梯形的性质、菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得到，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）连接，根据等腰梯形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，证明结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，连接， 在梯形中，， 则梯形等腰梯形， ， 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用直角三角形性质得到，结合平行线性质进而得到，证明，利用全等三角形性质证明，即可解题． （2）如图，延长到，使，交于，连接，根据等腰梯形的性质得出，，即可得出，根据中位线的性质得出，，利用角的和差关系得出，利用证明，得出，根据线段的和差关系即可证明． 【详解】（1）证明： ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形． （2）证明：如图，延长到，使，交于，连接， ∵是边的中线，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰梯形的判定与性质，全等三角形性质和判定，三角形中位线性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 知识点3 等腰梯形的判定 1. 两腰相等的梯形是等腰梯形（定义）； 2. 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； 3. 对角线相等的梯形是等腰梯形． 【题型4 等腰梯形的判定】 【例4】如图所示，在梯形中，，作交于点E (1)求证：四边形是菱形 (2)若，．求证：梯形是等腰梯形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等腰梯形的判定，三角形内角和定理： （1）先证明四边形是平行四边形  再由，即可证明四边形是菱形 ； （2）先利用三角形内角和定理得到，再由菱形的性质得到，进而得到，即可证明梯形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵, ∴四边形是平行四边形   ∵ ∴四边形是菱形 ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形 ∴ ， ∴，   ∴梯形是等腰梯形． 【变式4-1】如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）先证明，进而得到≌，从而，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式4-2】如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据三角形中位线定理可得，，进而推出，，然后根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）证明是等边三角形，求出即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·周测）梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了梯形中位线性质、三角形中位线定理，找到相应关系的线段是解题的关键，利用图形结合更能直观地得结论． 根据题意作出图形，根据三角形中位线定理和梯形中位线性质，通过等量关系代换可得到连接两条对角线中点的线段长． 【详解】解：根据题意作出如图， 设梯形，其中，为中位线，与对角线交于， 其中，， ∵中位线， ∴、为、的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ，即， ． 故选：D． 知识点4 梯形中位线 1. 定义：连接梯形两腰中点的线段叫梯形中位线． 2. 性质：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半．如图． 【题型5 利用梯形的中位线求值】 【例5】如图，在中，平分交于点，点，分别是，的中点．若，，则的长为（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，结合角平分线可得，利用等角对等边求出，，最后根据梯形的中位线定理可得结果． 【详解】解：在中，， 则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， 故选C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，梯形的中位线，等角对等边，关键是将平行四边形的性质和角平分线相结合得出． 【变式5-1】如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则    【答案】 【分析】取的中点，连接，得出是梯形的中位线，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】如图所示，取的中点，连接，    则是梯形的中位线， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级下·上海·期中）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理，矩形的判定和性质、梯形中位线定理，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键． 作于E，于F，根据底差等于10求出，利用勾股定理求出高的长，利用梯形面积公式求出，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意得：在等腰梯形中，，， 作于E，于F，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵梯形面积， ∴， ∴， ∴梯形的中位线， ∴这个等腰梯形的纵横比=， 故选：B． 【变式5-3】如图，已知梯形中，， 、分别是、的中点，点在边上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接EG，根据题意得，，根据，可得四边形是平行四边形，则，，根据是的中点得，可得，，即可得； （2）连接，将与的交点记为点O，根据平分得，根据得，即可得，，根据四边形是平行四边形得，，可得，即可得． 【详解】（1）证明：如图所示，连接EG， ∵梯形中，， 、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接，将与的交点记为点O， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，梯形的中位线定理，平行线的性质，角平分线，解题的关键是掌握这些知识点，添加合适的辅助线． 【题型6 利用梯形的中位线证明】 【例6】如图1，在矩形中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接交于点N，连接交于点M．      (1)求证：； (2)连接 ，求的长； (3)如图2，将正方形绕C点旋转，当F落在边上时（点D旋转到），请直接写出的长为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）取的中点Q，连接，可得是梯形的中位线，从而得出的长，进而求得的长，进一步得出的长，进而得出结果； （3）延长，交于R，作于T，可得出，，可得，进而得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形和是正方形 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图1，    取的中点Q，连接， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，    延长，交于R，作于T， 可得矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 【变式6-1】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接． (1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：； (2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度． (3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)或 【分析】（1）由平行线的性质证得，再根据可证△BPM≌△CPE，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． （2）延长与的延长线相交于点E．再证 可得 ，然后求出△MNE的面积即可解答． （3）分当点在直线a的异侧和同侧两种情形，分别利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵于点M．于点N ∴， ∴ ， ∴ 又∵P为边中点， ∴， 又 ， ， ∴ ． （2）解：如图：延长与的延长线相交于点E ∵于点M．于点N ∴ ∴， ∴ ∴， 又∵P为中点， ∴ 又∵ ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ∴． （3）解：①如图1当点B，P在直线a的异侧时， ∵, ∴， ∵， ∴MG=GN， ∴， ∵， ∴； ①如图2：当点B，P在直线a的同侧时， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、梯形的中位线定理、三角形的面积等知识点，解题的关键是正确并证明全等三角形． 【变式6-2】如图，在四边形中，，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接． ①求证：； ②若，，，求与的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②； 【分析】（1）根据，，证明即可解答； （2）①取的中点N，连接，根据梯形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，故可证明； ②，利用①中结论求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可得到和的长，证明，可得，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， （2）①证明：如图，取的中点N，连接， ， 四边形是梯形， 是的中点，点E为边的中点， 是梯形的中位线， ， ， ， ； ②解： 四边形为平行四边形， ，， 根据①中结论可得得， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， , ．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形的中位线性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确画出辅助线是解题的关键． 【变式6-3】如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 【题型7 等腰梯形的判定与性质的综合求值】 【例7】已知在梯形中，，，，那么等于 度． 【答案】108 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 【变式7-1】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 【变式7-2】如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是梯形； (2)如果，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6或16 【分析】（1）证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，根据，与相交，得到与不平行，即可证明四边形是梯形； （2）分，，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明： ， ， 为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ，与相交， 与不平行， 四边形是梯形； （2）解： 为等腰三角形， 如图，当时， 为的中点， ， ，， ； 如图，当时，过点F作，垂足为H， 由（1）知四边形是平行四边形， ，即， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 此时，点与点B重合，不符合题意， 综上，当为等腰三角形时，的长为6或16． 【点睛】本题考查梯形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的特征，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 【变式7-3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹，             图①                                                         图②                                                  图③ (1)在图①中，作四边形，使四边形为中心对称图形； (2)在图②中，作四边形，使四边形为轴对称图形； (3)在图③中，作四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）取格点点，连接、即可； （2）取格点点，连接、即可； （3）取格点点、，连接，取格点点，连接并延长交于点，连接、即可． 【详解】（1）解：取格点点，连接、， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形是中心对称图形， ∴四边形即为所作； （2）取格点点，连接、， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，， ∴， ∴四边形是梯形， ∵，， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∵等腰梯形是轴对称图形， ∴四边形即为所作； （3）取格点点、，连接、、，取格点点，连接并延长交于点，交于点，连接、，连接并延长交于点， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即点是的中点， ∴点是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形关于对称， ∴四边形为轴对称图形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，过三角形一边的中点平行于三角形的另一边必平分第三边，垂直平分线的性质等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 【题型8 等腰梯形的判定与性质的综合证明】 【例8】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【变式8-2】已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）首先根据三角形中位线的性质得到，，证明出四边形是平行四边形，然后利用，得到，进一步证明出四边形是菱形； （2）延长交于点M，首先证明出，得到，，，然后得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接    ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形 ∴ ∵同理可得，是的中位线 ∴ ∴ ∴四边形是菱形； （2）如图所示，延长交于点M，    ∵，， ∴，， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴，即 ∴． ∴四边形的面积为8． 【点睛】此题考查了梯形的性质，菱形的判定定理，正方形的判定与性质、三角形的中位线性质、全等三角形的判定及性质，熟记各判定定理及性质定理是解题的关键． 【变式8-3】（2024·上海嘉定·二模）如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明梯形是等腰梯形，再，即可证明； （2）先证明，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明 ∵， ∴梯形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即是等腰三角形； （2）证明：由（1）得 ∴ ∵ ∴ ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $