专题08 二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题08 二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 压轴专练 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 方法总结 1. 紧扣定义：二元一次方程必须满足①含两个未知数；②含未知数项的次数为1；③是整式方程。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程（组）并求解。 解题技巧 1. 系数排查：务必确保含未知数项的系数（含参数）不等于0，常为易忽略点。 2. 化简先行：若方程含括号或分母，先化为最简整式形式，再对照定义列条件。 例1．（25-26八年级上·江西吉安·期末）方程是二元一次方程，则的取值范围是 ； 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：方程是二元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）若是一个二元一次方程，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须为1，且y的系数不能为零． 【详解】解：∵是一个二元一次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知是关于的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】3或1/1或3 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数均为1，且y的系数不能为0列式计算即可． 【详解】解：由二元一次方程的定义，x的指数必须等于1，即， 解得或； 当时，； 当时，； 因此，k的值为3或1． 故答案为：3或1． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 【详解】解：方程是关于x，y的二元一次方程， ，，， 解得，， 或． 故答案为：或． 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 方法总结 1. 代入法：将已知解代入原方程，将二元方程转化为关于参数的一元方程（组）。 2. 整体构造：若求代数式值，不需单独求各参数，直接将代入后的等式组合变形整体得出。 解题技巧 1. 符号细心：代入时注意符号及系数，避免移项、合并时出现运算错误。 2. 整体代换：若求参数对称式（如m+n、mn），优先考虑两解代入后的方程整体相加减。 例2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义；关键是将解代入方程求参数；将给定的解代入方程，通过求解一元一次方程得到的值. 【详解】解：将解代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：． 【变式2-1】（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是将方程的解代入二元一次方程． 将方程的解代入二元一次方程，建立关于的方程并求解． 【详解】解：将代入方程得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·周测）已知是方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将方程的解代入方程得到系数关系，再整体代入代数式求值是解题的关键． 将方程的解代入方程得到关系式，再代入代数式求值． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东东营·期末）如果是方程的一组解，那么代数式 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据二元一次方程解的定义，将解代入方程得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】因为是方程 的解， 所以． 代数式． 故答案为：6． 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 方法总结 1. 代入转化：将已知解代入原方程组，将方程组转化为关于参数的方程（组）。 2. 整体构造：若求关于参数的对称式（如m+n、mn），将代入后的等式进行加减组合整体求解。 解题技巧 1. 解参分离：将代入后得到的方程先化简，再将参数项与常数项分离。 2. 视而不求：不必先求每个参数的具体值，通过整体恒等变形直接导出所求代数式的值。 例3．（25-26八年级上·全国·期末）若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组，得到关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入方程组， 得 解得 故答案为：，． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东河源·月考）若是方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值，将方程组的解代入原方程组，得到两个关于和的方程，然后将两个方程相加，即可求出的值． 【详解】将，代入方程组， 得， 将方程①和方程②相加，得， 即． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级下·全国·期末）已知是方程组的解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，求出和 的值，再计算． 【详解】解：是方程组的解， 化简得： 解得： ． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若方程组的解是，则方程组的解是 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得． 故答案为： 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 方法总结 1. 情况对应：根据方程组解的情况（唯一解、无解、无数解），转化为系数比或常数比的关系。 2. 列式求解：利用 ≠ （唯一解）、 = ≠（无解）、三者相等（无数解）列方程（组）求参数。 解题技巧 1. 化为标准式：先将方程组整理成a1x+b1y=c1、 a2x+b2y=c2的标准形式。 2. 验证分母零：比例式求解时，注意分母含参数可能为零的情况，需分类讨论避免漏解。 例4．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知关于，的方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握知识点是解题的关键． 将方程组中的两个方程相加，利用的值建立关于k的方程求解即可． 【详解】解： ①+②得： 即 ∵， ∴ 即 移项得： ∴． 故答案为：4． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．根据题意，得到，构建新的二元一次方程组求解得到，代入求解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为 ； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为 ． 【答案】 6 且 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键． （1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值； （2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解． 【详解】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 联立无关：若两个方程组有相同解，先解不含参的两个方程联立，求出公共解。 2. 代入含参：将公共解代入含参数的方程中，转化为关于参数的一元方程求解。 解题技巧 1. 优选无参：优先选择两个不含参数的方程联立，直接求出x、y的具体数值。 2. 整体代值：若求参数代数式，求出公共解后整体代入含参方程，避免重复解方程。 例5．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 【变式5-1】（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知关于、的方程组和方程组有相同的解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得，， 得，， ∴， 把代入③，可得，解得 ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 根据题意可得和，解得，则，解得，代入计算即可． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组与的解相同， ∴方程组可重新分配为和， 解得， 将代入得， 解得， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 解得： 把代入得：， ∴相同的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， ∴． 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 解表参数：将方程组解用含参数的代数式表示。 2. 整数条件：根据x、y均为整数，结合整除性（倍数、因数）或范围讨论参数k的可能取值。 解题技巧 1. 分离整数：将解表达式分离为“整数部分 + 真分数部分”，将问题转化为分母整除分子。 2. 枚举验证：当参数为整数且在有限范围内时，可枚举所有可能值并回代检验x、y是否为整数。 例6．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据题意得出是13的因数，且为正整数，从而确定是解此题的关键．①②得出，求出，根据方程组的解是整数和为正整数得出或，求出，再得出答案即可． 【详解】解：， ①②，得， ， 关于，的方程组的解是整数，是正整数， 或， 解得：或不是正整数，舍去）， 即． 故答案为：11． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，关键是参数的解方程组得到和的表达式，根据非负整数解的条件，从而确定正整数的可能取值。 【详解】解： 解方程组得：， ∵方程组有非负整数解， ∴的值为：或或， ∴的值为或或， ∴正整数的值为：或． 故答案为：或． 【变式6-2】（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．先求出二元一次方程组的解，根据解为整数，求出的值，再进行计算即可．熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 【详解】解：解，得：， ∵解是整数，也是整数， ∴， ∴， 当时，，当时，，满足题意， ∴满足条件的整数的和为； 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， ①②得， 解得， 为整数，为整数， ， 的值为或． 故答案为：或． 【变式6-4】关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1)， (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； （2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； （2）∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （3）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程得到关系式，再代入所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 则， 故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 【详解】解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 6．（25-26七年级上·广西崇左·月考）关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 7．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 二、填空题 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数，根据二元一次方程的定义，方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，同时y的系数不能为零，由此可解． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，且， ，且， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的整体求值，解决本题的关键是将解代入方程． 将解代入方程可得，进而求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴代数式． 故答案为 ：． 10．（25-26八年级上·福建漳州·月考）已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，已知方程组的解求参数，已知字母的值求代数式的值．将方程组的解代入方程，先求b，再求a，然后计算的值，最后求算术平方根． 【详解】解：依题意，将代入，得， 即， 解得， 故， 将，代入，得， 即， 解得， 则， ∴4的算术平方根为2， 故答案为：2． 11．（25-26八年级上·河南开封·期末）关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的知识，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．已知方程组的解互为相反数，结合相反数的定义可得；将代入方程组的两个方程中，还可得到、；据此建立关于的方程，进而求得的值． 【详解】解：． 方程组的解互为相反数， ③． 将代入①，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ， ． 故答案为：2． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、算术平方根与立方根的定义，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键． 先求出两个方程组的公共解，再代入含、的方程求出、的值，最后计算的算术平方根和的立方根，进而求出． 【详解】解：解方程组得 ，． 将，代入得． 将，代入得． ∴， 解得 ， ∴ ，其算术平方根． ∵ ， ∴ ，其立方根． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，二元一次方程的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 假设解互为相反数，即，代入方程组求解得，与给定不符，由此判断①； 先求出方程组的通解，，代入得，由此判断②； 当时，方程组的解为，，代入成立，由此判断③； 计算得定值3，与无关，由此判断④． 【详解】解：若方程组的解互为相反数， 则， 将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 即； ∴， 解得：， 这与矛盾， 故说法①错误； 方程组， 解得：， 将代入， 得， 即， 解得：， 故说法②正确； 当时，，； 代入，得左边， 且右边，左边=右边， 故说法③正确； 计算， 结果为定值，与无关， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 14．（24-25七年级下·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则 ， ； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为 ． 【答案】 2 1 0或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的情况求参数，正确理解友好方程组”的定义是解题的关键。 （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）先解原方程组得到，再根据原方程组的解为整数求解即可． 【详解】解：（1）∵关于、的方程组为“友好方程组”， ∴， 解得， 故答案为：2；1； （2）解方程组得， ∵关于、的“友好方程组”的解为整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或（舍去）， ∴整数的值为0或或， 故答案为：0或或． 三、解答题 15．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 16．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】(1) (2)2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 【详解】（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 17．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 18．（24-25七年级下·河南南阳·月考）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程． 根据上述规定，回答下列问题． (1)判断方程_______“最佳”方程（填“是”或“不是”）． (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值． 【答案】(1)是 (2)3 【分析】本题考查二元一次方程，解一元一次方程，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据是“最佳”方程，列出关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程，其中，，，满足， 故方程是“最佳”方程． 故答案为：是； （2）解：∵二元一次方程是“最佳”方程， ∴， 解得， 故的值是3． 19．（24-25七年级上·湖南岳阳·月考）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为或2 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有整数解，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 当，1，，，4，时，为整数，此时，，，，2，， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上所述，整数的值为或2． 20．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 21．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______． (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值． 【答案】(1)；1 (2) (3) (4)2025 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用加减消元法计算． （1）根据题意，由定义可得，求出a，b的值即可； （2）根据题意，将代入得到，从而可得二元一次方程为，再根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （3）根据题意，使用加减消元法计算即可得解； （4）根据题意，方程组是共轭方程组，从而，解方程组即可得到，进而可得，然后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：由定义可得， ， 故答案为：；1． （2）解：将代入， 得， 解得， 二元一次方程为， 这个方程的共轭二元一次方程是． 故答案为：． （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 方程组得解为， 故答案为：． （4）解：由定义可得， ， 方程组是共轭方程组， 得，， ，， ， ， 方程组的解是， ， ． 22．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型 月录 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 压轴专练 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 方法总结 1. 紧扣定义：二元一次方程必须满足①含两个未知数；②含未知数项的次数为1；③是整式方程。 2.列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程（组）并求解。 解题技巧 1.系数排查：务必确保含未知数项的系数（含参数）不等于0，常为易忽略点。 2.化简先行：若方程含括号或分母，先化为最简整式形式，再对照定义列条件。 例1.(25-26八年级上江西吉安期末)方程a-1)x+3y=1是二元一次方程，则a的取值范围是 【变式1-1】(25-26八年级上广东深圳期中)若x2+(m-3)y=1是一个二元一次方程，那么m的值 是 【变式1-2】(25-26八年级上·四川成都期中)已知3x-+(k+1)y=5是关于x,y的二元一次方程，则的 值为一 【变式1-3】(25-26八年级上四川成都月考)方程(m+2)x+y8=2是关于x,y的二元一次方程，则 m+n)2= 1/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 方法总结 1.代入法：将已知解代入原方程，将二元方程转化为关于参数的一元方程（组）。 2.整体构造：若求代数式值，不需单独求各参数，直接将代入后的等式组合变形整体得出。 解题技巧 1.符号细心：代入时注意符号及系数，避免移项、合并时出现运算错误。 2. 整体代换：若求参数对称式（如m+n、m),优先考虑两解代入后的方程整体相加减。 x=3 例2.(25-26八年级上贵州毕节期末)若关于x,y的二元一次方程x+2y=5有一组解是 则k的值 y=1 是 【变式2-1】(2026七年级下·北京.专题练习)已知 x=2 =m,是二元一次方程3x+2y=10的一个解，则m的 值为 x=2 【变式2-2】(25-26七年级下·全国周测)己知 是方程ax+by=1的解，则代数式2a+b+2025的值 y=1 x=m 【变式2-3】(25-26七年级上山东东营期末)如果 是方程2x-3y=2020的一组解，那么代数式 y=n 2026-2m+3n= 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 方法总结 1.代入转化：将已知解代入原方程组，将方程组转化为关于参数的方程（组）。 2.整体构造：若求关于参数的对称式（如m+n、mm),将代入后的等式进行加减组合整体求解。 解题技巧 1.解参分离：将代入后得到的方程先化简，再将参数项与常数项分离。 2. 视而不求：不必先求每个参数的具体值，通过整体恒等变形直接导出所求代数式的值。 例3.(25-26八年级上·全国期末)若关于x,y的方程组 x+y=7 (x+=-2的解为 x=3 则a,b的值分别是 y=11 a= ,b= 【变式3-1】(25-26八年级上·广东河源·月考)若 x=2 ax+by=4 的解，则a+b= y=-1 是方程组 bx+ay=1 x=2 【变式3-2】(25-26七年级下·全国期末)已知 x+2a=y-3 是方程组 3 101x+y=b的解，那么d的值为 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2a+3b=7 a=2 【变式3-3】(24-25七年级下·江苏苏州月考)若方程组 3a+4b=10 的解是 b=1' 则方程组 2(x+2)+3(y-1)=7 3(x+2)+4(y-1)=10的解是 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 方法总结 1.情况对应：根据方程组解的情况（唯一解、无解、无数解），转化为系数比或常数比的关系。 2. 列式求解：利用暖≠号：（唯一解）、是=品≠号（无解）、三者相等（无数解）列方程（组）求 参数。 解题技巧 1.化为标准式：先将方程组整理成41x+by=c1、a2x+b2y=c2的标准形式。 2.验证分母零：比例式求解时，注意分母含参数可能为零的情况，需分类讨论避免漏解。 例4.(25-26八年级上·四川成都期末)已知关于x,y的方程组 3x+2y=k+2 的解满足x+y=2,则k的 2x+3y=k 值为一、 4x+3y=10 【变式4-1】(25-26八年级上，全国·单元测试)若关于x,y的方程组 的解中x的值比y的 x-(k-1)y=-8 值的相反数大2，则k的值为一· 2x-2y=5 【变式4-2】(25-26八年级上·山东青岛周测)已知关于x,y的方程组 -y=3无解，则k= x+y=6-a 【变式4-3】(25-26八年级上·安微宿州月考)己知关于x,y的二元一次方程组： bx-y=2a (1)若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为一： (2)若该方程组无解，则α，b需要满足的条件为一。 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 联立无关：若两个方程组有相同解，先解不含参的两个方程联立，求出公共解。 2.代入含参：将公共解代入含参数的方程中，转化为关于参数的一元方程求解。 解题技巧 1.优选无参：优先选择两个不含参数的方程联立，直接求出x、y的具体数值。 2.整体代值：若求参数代数式，求出公共解后整体代入含参方程，避免重复解方程。 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x-y=5 x+y=4 例5.（25-26七年级上湖南邵阳·期末)已知关于x,y的方程组 和 有相同的解，那 ax+by =6 ax+2by=12 么2a+b值是 2x+5y=-6mbx+ay=-80 【变式5-1】(24-25七年级上四川眉山期中)已知关于x、y的方程组 和 bx-ay =2 3x-5y=16 方程 组有相同的解，那么(a+b)25的值为一 2x+5y=8 【变式5-2】(25-26八年级上陕西咸阳·期末)已知关于x、y的二元一次方程组 ax-by=4 ax+by=-8 的解相同，求a-b的值. 2x+y=0 【变式5-3】(25-26八年级上·四川达州期末)已知关于x,y的方程组 2-y=7和+2 2ar-=4和ar+26y=7有相同 的解。 ()求出它们的相同解. (2)求(a+b2026的值. 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 解表参数：将方程组解用含参数的代数式表示。 2.整数条件：根据x、y均为整数，结合整除性（倍数、因数）或范围讨论参数k的可能取值。 解题技巧 1.分离整数：将解表达式分离为“整数部分+真分数部分”，将问题转化为分母整除分子。 2.枚举验证：当参数为整数且在有限范围内时，可枚举所有可能值并回代检验x、y是否为整数。 2x-y=3 例6.(25-26七年级上安徽宣城月考)已知关于x,y的方程组 ax+y=10 的解是整数，且Q是正整数，则 a= 【变式6-1】(25-26八年级上全国课前预习)已知方程组 x-y=2 m+y=6'若方程组有非负整数解，则正整数 m的值是 【变式6-2】(25-26九年级上·重庆期中)若关于x,y的二元一次方程组 mx+y=3 的解是整数，则满足 5x+3y=15 条件的整数m的和是__ x+2y-6=0 【变式6-3】(24-25七年级下河北邯郸期中)已知关于x,y的方程组 x-2y+mx+5=0'若方程组的解 中x恰为整数，m也为整数，则m的值为 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式6-4】关于x,y的方程组 x+(n+1)y=n+2 (n是常数). x-2y+mx=-5 (1)当n=1时，直接写出第一个方程x+2y=3的所有非负整数解； (2)当n=1时，该方程组的解也满足x+y=2,求m; (3)当n=3时，如果方程组也有整数解，求整数m 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级下.全国周测)已知方程2x3m1-3y2m-1=2025是二元一次方程，则m和的值分别是（) A.1和1 B.0和1 C.1和0 D.0和0 2.(25-26八年级上·陕西渭南·期末)己知 =i是关于xy的方程ax-y=2的解，则2a-b-3的值为() x=2 A.1 B.-1 C.5 D.-5 2x+y=3k+2 3.(25-26七年级上·安徽滁州期末)已知关于x,y的方程组 3x-2y=-+5,若x-3y=1,则k的值为() A B.1 4 c D 4.(25-26八年级上.甘肃酒泉·期末)已知方程组 2x+y=5 x-3y=6的解为 ,=6则a+4h的值为C) A.-1 B.2 C.3 D.4 5.(24-25七年级下·重庆期中)已知关于x,y的二元一次方程组 2x+y=-2的解y均为整数，则符合 kx+3y=2 条件的整数k的值有()个. A.4 B.5 C.6 D.8 k-6 -1 -2 2 -4 -8 5 ) 6 2 10 -2 14 8 X2k-6 -8 8 -4 4 -2 2 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -2k-4 v= 14 -18 6 -10 -6 0 -4 k-6 x=7 6.(25-26七年级上·广西崇左·月考)关于x、y的二元一次方程组 ax-my =16 bx+ny=15 的解是 y=-1'那么关于x a(2x+y)-m(x-y)=16 y的二元一次方程组 的解是（) b(2x+y)+n(x-y)=15 7 「x=2 x=7 x= x=- 3 A. B 3 C D. y=3 y=-1 y= 2 =3 x+3y=4-a 7.(25-26七年级上·安徽宣城期末)己知关于x,y的二元一次方程组 (x-y=3a ，给出下列结论： ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，a=-2; ②当a=2时，方程组的解也是方程x+y=3a-2的解； ③无论a取什么数，x+2y的值始终不变其中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题 8.(25-26八年级上陕西成阳期末)己知x-3+(a-2)y=5是关于x,y的二元一次方程，则a的值是 9.(25-26八年级上·内蒙古包头期末)已知 x=2 y=1 是方程ax-by=2的解，则代数式2a-b-3的值为 2x+3y=-2 x=b 10.(25-26八年级上·福建漳州·月考)已知方程组 的解为 4x-y=a 少=-2'则a-3b的算术平方根 是 2x-3y=2k 11.(25-26八年级上河南开封期末)关于x,y的二元一次方程组 4y-x=-4 的解互为相反数，则k的值 为 2x-y=5 x+y=4 12.(25-26八年级上陕西渭南月考)已知关于x、y的方程组 r+by=2ar+2by=10有相同的解，若 和 3 2a+5b的算术平方根是m2a-3b的立方根是n,则m-”的值为一· 13.(25-26八年级上山东青岛期末)已知关于x,y的方程组 2x-y=3k x+2y=4+1'给出下列说法： 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若方程组的解互为相反数，则k=亏 1 ②若方程组的解也满足4x+3y=-20,则k=-2; ③当k=1时，方程组的解也是关于x,y的二元一次方程3y-x=k+1的解； ④无论k取何值，代数式10y一-5x的值不变，始终为定值.其中正确的有 (填序号) 14.(24-25七年级下·北京·期中)规定：形如关于x、y的方程x+y=b与k+y=b的两个方程互为“友好 x+ky=b, 二元一次方程”，其中k≠1；由这两个方程组成的方程组 叫做友好方程组” kx+y=b x+ay=2a+b, (1)若关于x、y的方程组 (b+1x+y-5为“友好方程组，则a=一，b=一： (2)若关于x、y的“友好方程组” 在+y=2的解为整数，则整数的值为一 x+y=2, 三、解答题 ax+5y=15① 15.(25-26八年级上·广东梅州月考)甲、乙两人共同解关于x,y的方程组 4x-by=-2②' 甲看错了方程 x=-2 y=6,乙看错了方程②中的6，得到方程组的解为 x=5 ①中的a,得到方程组的解为 =2’试求 a2025+-b)2026的值. x-y=2m+1 16.(24-25七年级下山东淄博期末)若关于x,y的方程组 x+2y=3m· (①)求方程组的解（用含m的代数式表示）： (2)若方程组的解满足x>3,y<1,求m的整数解。 x-2y=-6 x+2y=10 17.(25-26八年级上·陕西西安·期末)己知关于x,y的二元一次方程组 与方程组 bx+ay=-8 (ax-by=6 有 相同的解。 (1)求这两个方程组的相同解； (2)求(a-b)20的值. 18.(24-25七年级下·河南南阳月考)我们规定，关于x,y的二元一次方程ax+by=c,若满足a+b=c, 则称这个方程为“最佳”方程.例如：方程3x+4y=7,其中a=3,b=4,c=7,满足a+b=c,则方程 3x+4y=7是“最佳”方程. 根据上述规定，回答下列问题. 7/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)判断方程3x+5y=8 “最佳”方程（填“是”或“不是”）. (2)若关于x,y的二元一次方程kx+(2k-1y=8是“最佳”方程，求k的值. x+2y=5 19.(24-25七年级上湖南岳阳·月考)己知关于x,y的方程组 x-2y+mx+9=0` (1)请直接写出方程x+2y=5的所有正整数解； (2)若方程组的解满足x+y=0,求m的值 (3)如果方程组有整数解，求整数m的值. 20.(25-26七年级上·安微马鞍山期末)定义：我们把关于x,y的二元一次方程(a+n)x+(b+n)y=c+n叫 做方程ax+by=c(abc≠0，n为正整数)的n阶方程”. (1)方程2x+3y=7的“2阶方程”为：-： (2)方程-x+2y=k的“4阶方程和x+3y=k+1的1阶方程”有无数组相同的解，求k的值： )=m-3是关于x,y的方程c+y=C与它的3阶方程构成的方程组的解，求-5a+36+2c-4的值。 x=m+1 (3)若 21.(24-25七年级上湖南长沙期末)我们把关于x、y的两个二元一次方程ax+by=c与bx+ay-ca≠b)叫 ax+by=c 作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组 红+四=。，叫做关于xy共辄二元一次方程组。例如： 2x-y=3 2x-y=3与-x+2y=3互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 ,叫做关于x、y共轭二元一 -x+2y=3 次方程组；2(x-1)-y+2)=3与-x-1+2(y+2)=3互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 2(x-1)-(y+2)=3 -(x-1+2y+2=3”叫做关于x-1、y+2的共轭二元一次方程组. x+2y=b+2 ()若关于x、y的方程组 1-a)x+y=3”为共轭方程组，则a=,b= (②)若二元一次方程x+by=1中x、y的值满足下列表格： 0 则这个方程的共轭二元一次方程是 2024x-2025y=1 (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为■ -2025x+2024y=1 8/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ax+by=c+a+2b x=m (4发现：若方程组 是共轭方程组，且方程组的解是 请计算 bx+ay=c+2a+3b y=n n2-mn-n+m+2025的值 22.(24-25七年级下·广东广州期中)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by,x⑧y=ax-by,其中 a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b, 3a+2b=-1 己知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a= ，b= (2)若x*2y+x⑧y=10,求x-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=9,求m的值； x⑧y=5m (4)若关于x,y的方程组 ax*b,y=G的解为y =12 4a,(x+y)*5h(x-y月=G的 axby=c2 =5,则关于x,y的方程组 4a2x+y)⑧5b2x-y)=c2 解为 9/9