精品解析：广西壮族自治区梧州市2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

2025-2026学年秋季学期高三期末调研考试 数学试题2026年1月 （考试用时120分钟，满分150分） 说明： 1.答题前，考生务必将答题卷密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题． 2.直接在答题卷上答题．（不在本试卷上答题）． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式，得集合，利用并集定义计算即得. 【详解】不等式，解得， 由于，故，又， 故． 故选：C. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简，结合复数的几何意义确定在复平面内对应的点的坐标，由此可得结论. 【详解】因为， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为， 故复数z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，一个这种细菌第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得分裂过程中的后代个数组成一个公比为2的等比数列，由等比数列基本量运算即可求得. 【详解】由题意可知细胞的分裂繁殖符合分裂过程中的后代个数是一个公比为2的等比数列，所以第5次分裂产生的后代个数是：． 故选：B. 4. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线标准形式及离心率公式进行求解. 【详解】根据双曲线可知： ，， 所以， 所以， 解得． 故选：D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】展开的通项公式为，, 取，则的展开式中的系数是． 故选: D. 6. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系求得，再由两角和的余弦公式求值. 【详解】因为，， 所以， 则． 故选：C. 7. 等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 8. 已知正实数a，b满足和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 10. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，结合题意并利用偶函数的定义判断B，利用函数单调性的定义判断C，将目标不等式合理转化判断D即可. 【详解】令，得，即，故A正确； 令， 则， 即是偶函数，故B正确； 当时，因为，所以， 因为，所以， 则在上单调递增，故C错误； 由题意知，且， 因此不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，解不等式得，故D错误． 故选：AB 11. 设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在抛物线上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若直线PF交C于另一点Q，则 C. 若M，N为C上不同的两点，，则面积的最小值为 D. 若M，N为C上不同的两点，的垂心为F，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线定义判断A，再联立直线方程与抛物线方程求出Q点坐标，通过数量积判断B，通过特殊点分析判断C，根据垂心性质设点坐标，利用向量垂直求出，进而求出，判断D. 【详解】在A选项中，根据抛物线的定义有， 点P到焦点的距离为， 解得，故A正确； 在B选项中，抛物线方程， 焦点，点在抛物线上， 代入得，因为， 故，所以直线PF方程为， 联立直线与抛物线方程得， ，故B正确； 在C选项中，取，，满足条件， 此时，小于选项给出的，故C错误； 在D选项中，F为的垂心，故， 所以可设，， 所以，， 则， ，解得， 所以，故D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线斜率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由导数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线斜率为2. 故答案为：2. 13. 5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，结合特殊元素优先法列式计算即得. 【详解】5本书都可以分给甲、乙、丙三个人的任意一个，所以每本书有3种选择，5本书的总方法数为：. 先从5本书中选1本给甲，有5种，剩下的4本书，每本都可以分给乙或丙，每本有2种选择，方法数为， 则甲分得1本书的方法数为. 故甲分得1本书的概率为． 故答案为：. 14. 在正四面体ABCD中棱AB，CD没有公共点，作两个平行于AB和CD的截面，已知这两个截面的面积分别为和，且它们之间距离为，则该正四面体棱长为______cm． 【答案】5 【解析】 【分析】依题意作出两个截面，证明矩形和矩形，设正四面体的棱长为x，，，由条件推得①和② ，借助于两截面的距离列出③，联立三个式子，求解即得正四面体的棱长. 【详解】如图，作出两个平行于AB和CD的截面，分别交于点，交于点， 交于点，交于点，则易得两两平行，两两平行. 取的中点，连接，连接，因是正四面体，易得， 因平面，故平面，又平面，则， 可得矩形和矩形.设正四面体的棱长为x，，， 则， 故① ，同理②． 取的中点，连接，分别交平面于点，交平面于点，则是的公垂线， 故而有平面，平面.则有，且， 因，则，由可得，则③． 根据①②③，解得， ,  或 , ，即该正四面体的棱长为5. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，数列满足，且，，． （1）分别求，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）先由题设求出，接着利用等差数列的通项公式求出即可求解； （2）由（1）可知，利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题可得，解得， 设的公差为d，则由题有，解得，， 此时， ∴，∴； 【小问2详解】 由（1）可知，，所以， 所以①， 则②， ①－②得 ， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，已知，，，E是线段PC上的一点（与P，C不重合）． （1）证明：； （2）若，求直线BE与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直得，再证明，最后利用线面垂直性质证. （2）建立空间直角坐标系确定点坐标得出向量，根据向量关系求坐标，用向量夹角公式求线面角正弦值. 【小问1详解】 证明：连接AC，∵平面，， ∴，在中，，则， 又∵平面， 在中，由，，可得，所以， 在中，，，， ∴，∴， 又∵，PA，平面，∴平面， 又平面，∴； 【小问2详解】 由（1）可知，因为在中， 所以． 以A为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，． 设，则， 由可得，所以， ∴， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 则， 所以直线BE与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求C的方程； （2）过点作直线l与C交于A，B两点，x轴上存在点N使得直线NA与直线NB的斜率之和为0． （ⅰ）求点N的坐标； （ⅱ）求面积最大时，直线AB的斜率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】(1)由题可得，解方程即可求解； （2）设直线AB的方程为，，，，（ⅰ）联立方程，由韦达定理可得，，由化简即可求得求点N的坐标； （ⅱ）由结合弦长公式以及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设椭圆C半焦距为c，由题可得， 且解得，， 故C的方程为：． 【小问2详解】 设直线AB的方程为，，，， （ⅰ）联立方程消去x后整理为， 有，可得或， 又有，， 由题，， 所以，， 整理得， ∴， 解得．故点N的坐标为； （ⅱ） ， 令，有， 此时，． 当且仅当时等号成立，此时， 所以直线AB的斜率为． 18. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数a的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减． （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，解出和的解集即可求解. （2）由已知可得存在，使得成立，因为时，，故存在，用参变分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值即可求解； （3）令，利用导数分析在上的单调性，利用零点存在性定理可知，求得，证明出，结合的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 ． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由题可知存在，使得成立， ∵时，，故存在，使得． 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故． 【小问3详解】 ． 证明：由可得， 令，则． 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 所以，，， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 故，即, 取，则, 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】（1）分布列见详解， （2）（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【解析】 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【小问1详解】 实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . 【小问2详解】 (i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋季学期高三期末调研考试 数学试题2026年1月 （考试用时120分钟，满分150分） 说明： 1.答题前，考生务必将答题卷密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题． 2.直接在答题卷上答题．（不在本试卷上答题）． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，一个这种细菌第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 4. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 6. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 7. 等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知正实数a，b满足和，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 10. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在抛物线上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若直线PF交C于另一点Q，则 C. 若M，N为C上不同的两点，，则面积的最小值为 D. 若M，N为C上不同的两点，的垂心为F，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线斜率为______． 13. 5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______． 14. 在正四面体ABCD中棱AB，CD没有公共点，作两个平行于AB和CD的截面，已知这两个截面的面积分别为和，且它们之间距离为，则该正四面体棱长为______cm． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，数列满足，且，，． （1）分别求，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，已知，，，E是线段PC上的一点（与P，C不重合）． （1）证明：； （2）若，求直线BE与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求C的方程； （2）过点作直线l与C交于A，B两点，x轴上存在点N使得直线NA与直线NB的斜率之和为0． （ⅰ）求点N的坐标； （ⅱ）求面积最大时，直线AB的斜率． 18. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数a的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $