第07讲 三角形的内角和与全等三角形及其性质（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年（新教材沪教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 三角形的内角和与全等三角形及其性质（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【知识点02】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【知识点03】全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【题型一】三角形内角和定理的证明 例1．（22-23七年级下·上海虹口·月考）如图，已知， （1）过点A画直线DE∥BC； （2）与_______是内错角，它们相等吗？请说明理由． （3）请你说明 【答案】（1）作图见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】（1）可借助直尺运用平移的方法画平行线； （2）根据内错角的定义及平行线的性质解答； （3）欲证明三角形的三个内角的和为180°，可以把三角形三个角转移到一个平角上，利用平角的性质解答． 【详解】（1）作图如下： （2）∠B与∠DAB是内错角，且相等． ∵DE∥BC（所画） ∴∠B=∠DAB．（两直线平行，内错角相等）   （3）证明：∵DE∥BC， ∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC（两直线平行，内错角相等） ∵∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°（平角定义） ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换） 即∠A+∠B+∠C=180°． 【点睛】此题考查平行线的作法，性质：两直线平行，内错角相等，通过等量代换求证定理． 变式1．（22-23七年级下·上海闵行·期中）如图，，则 ． 【答案】100°/100度 【知识点】三角形内角和定理的证明、利用邻补角互补求角度 【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴ 故答案为：100°． 【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【知识点】三角形内角和定理的证明、同位角、内错角、同旁内角、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 例2．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ． 【答案】/28度 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是根据三角形内角和求出，再根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】解：，如图， 在中，， 在中，， ，， ， ． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（　　） A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）° 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠BAC＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°， ∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，要注意整体思想的利用． 例4．（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，在中，点是和的平分线的交点，如果，那么 °． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟记角平分线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：， ． 与的平分线相交于， ， ． 故答案为：． 变式1．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，比大，平分，于E，于F，则 ． 【答案】80 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义等，先设，则，根据三角形的内角和定理得，进而根据角平分线的定义得，然后根据得，据此可得，最后再根据可得出的度数． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：80． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)④；改正见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定判断即可； （2）首先由平行得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线得到，，进而求解即可． 【详解】（1）∵和不是同位角， ∴由无法证明出 ∴第④步有问题； 改正：∵ ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）∵， ∴ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴． 【题型四】三角形内角和定理的应用 例5．（24-25七年级下·上海·月考）在中，若，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的分类 【分析】本题考查了三角形内角和定理应用、三角形分类等知识，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．根据三角形内角和定理，结合三角形分类解答即可得到答案． 【详解】解：， 是锐角， 则， 若，，，则是锐角三角形； 若，，，则是直角三角形； 若，，，则是钝角三角形； 综上所述，可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形， 故选：D． 例6．（24-25七年级下·上海宝山·期末）三角形中最大角是最小角的4倍，则最小角的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理列出不等式是解题的关键． 因为是它的最小角，所以设最大角是，中的角是，则，又．列出不等式组，求解即可． 【详解】因为是它的最小角，所以设最大角是，中的角是，则，又． 由， 可得，即， 可得，即， 所以最小角的取值范围为． 故答案为：． 例7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积． 【答案】，， 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设、、的度数分别为 、、，    由三角形内角和定理可得： 解得 所以 、 ，                 所以是等腰直角三角形，, 则 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的定义，求出每一个内角的度数是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出每一个内角度数即可判断． 【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除． 选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件． 选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，若，与互余，则的度数 ． 【答案】/126度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．在中，，，再将两式相加求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得： ∵在中，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．（22-23七年级下·上海青浦·期中）定义：在一个三角形中，若有一个内角的度数是另一个内角的一半，则称该三角形为“半角三角形”。如图，在四边形ABCD中，，∠C=72°，点E在CD上，将△BCE沿BE翻折，点C正好落在AD上点F处，若BF⊥AD，则△EDF是“半角三角形”吗？请说明理由． 【答案】是“半角三角形”，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查三角形的内角和和翻折的性质，根据题意分别求出三角形的各个内角的度数，结合“半角三角形”的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折到， ∴， ∵， ∴, 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“半角三角形”． 【题型五】三角形的外角的定义及性质 例8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，下列条件中①；②；③；④，能判断的是（   ） A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①④ 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，三角形外角的性质，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵， ∴； ③∵，， ∴， ∴； ④∵， ∴， ∴； 可以判断的有①③④． 故选：A． 例9．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三个外角的比为，则它是一个 三角形． 【答案】钝角 【知识点】三角形的分类、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角和、邻补角关系、钝角三角形判定，先利用三角形外角和为，设未知数，求出外角具体度数；再依据邻补角互补，算出内角；最后根据钝角三角形定义（有一个角大于） 判断三角形类型，是多性质综合运用的题目． 【详解】解：设三个外角分别为、、， 三角形的外角和为， 解得：， 三个外角分别为：， 每个外角与其对应的内角互补， 对应外角的内角为 对应外角的内角， 对应外角的内角， 三个内角为、、，和为， 三角形为钝角三角形． 故答案为：钝角． 例10．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，已知，，你能说明吗？ 【答案】能说明，见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，熟练掌握平行线的性质，三角形的外角定理是解题的关键． 先由平行得到，再由三角形的外角定理得到，等量代换即可求解． 【详解】解：能说明，理由如下： ∵，， ∴， ∵ ∴． 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则 ． 【答案】/25度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】由三角形外角的性质得到，即可求出的度数． 本题考查角的计算，关键是掌握三角形的外角的性质． 【详解】解：， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和以及三角形内角和等于是解题的关键． 先根据三角形外角的性质得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】证明：∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 【题型六】图形的全等 例11．（22-23七年级下·上海静安·期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（    ） A．含有45°角的两个直角三角形 B．腰相等的两个等腰三角形 C．边长相等的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】根据已知条件，结合全等的判定方法对各个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、含有45°角的两个直角三角形，缺少对应边相等，所以两个三角形不一定全等； B、腰相等的两个等腰三角形，缺少两腰的夹角或底边对应相等，所以两个三角形不一定全等； C、边长相等的两个等边三角形，各个边长相等，符合全等三角形的判定定理SSS，所以两个三角形一定全等，故本选项正确； D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形的腰长或底边不一定对应相等，所以两个三角形不一定全等，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 例12．把如图所示的各个图形分别分割成两个全等的图形． 【答案】见解析 【知识点】图形的全等 【分析】此题考查全等图形，关键是根据全等图形的性质解答． 根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 变式1．（2023七年级下·上海·期中）下列说法正确的个数（　　）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】根据全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：①三角形的三条高交于同一点，所以此选项说法正确； ②设这个角为α，则这个角的补角表示为180°﹣α，这个角的余角表示为90°﹣α， （180°﹣α）﹣（90°﹣α）＝90°，∴一个角的补角比这个角的余角大90°，此选项正确； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以此选项不正确； ④两直线平行，同位角相等，所以此选项说法不正确； ⑤面积相等的两个正方形是全等图形，此选项正确； ⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形，此选项正确． 故选D． 【点睛】考核知识点：全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质.理解相关定义是关键. 变式2．如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 【题型七】全等三角形的概念 例13．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 例14．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画 个． 【答案】3 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 变式1．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（  ） A．周长相等的两个等边三角形 B．三个内角分别相等的两个三角形 C．两条边和其中一个角相等的两个三角形 D．面积相等的两个等腰三角形 【答案】A 【知识点】全等三角形的概念 【分析】依据全等三角形的概念即可做出选择. 【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确； B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误； C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误； D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误； 答案为：A. 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等. 变式2．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′． 说理过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　 　＝　 　，所以可以使点B与点B′重合．又因为　 　＝　 　，所以射线　 　能落在射线　 　上，这时因为 　 　＝　 　，所以点 　 　与 　 　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C' 【知识点】全等三角形的概念 【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案． 【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空． 变式3．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，已知，，，试把下面运用“叠合法”说明和全等的过程补充完整： 说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为 ，所以可以使 ，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于 ，因此， ； 由于 ，因此， ；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样   ． 【答案】见解析． 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据“叠合法”说明两三角形全等即可． 【详解】说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为，所以可以使AB与重合，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于，因此， 射线AC与射线叠合 ； 由于 ，因此，射线BC与射线叠合；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样重合，即 全等． 【点睛】本题主要考查三角形全等的定义，掌握“叠合法”说明三角形全等，是解题的关键． 【题型八】全等三角形的性质 例15．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 例16．（24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 变式1．（2024七年级下·上海浦东新·期中）已知：△ABC△DEF，∠A=∠D=90°,∠B=37°,则∠E=（   ） A．37° B．53° C．37°或53° D．37°或63° 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形性质得出∠E=∠B，从而得出答案 【详解】∵△ABC△DEF ∴∠E=∠B=37° 故答案为A选项 【点睛】本题主要考查了全等三角形的基本性质，掌握基本性质是关键 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为 ． 【答案】4 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 变式3．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查全等三角形的性质，等角的余角相当的性质， （1）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长； （2）由全等三角形的性质得到，根据等角的余角相等得到，求出． 【详解】（1），，， ， ． （2）， ， ． ， ， ∴ 又点，，在同一条直线上， ， ． 一、单选题 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 2．如图所示，是外角的是（   ） A．和 B．和 C．和， D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的定义：三角形的一个内角的邻补角即为该三角形的外角，据此即可求解． 【详解】解：外角的是和， 故选：B． 3．若等腰三角形的一个内角为，那么它的底角度数为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分当顶角为时，当为底角时两种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当顶角为时， 则它的底角度数为； 当底角为时，其底角为， ∴它的底角度数为或， 故选：． 4．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选：D． 5．如图，已知，．记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，根据，，再由，得到，最后利用三角形内角和定理求得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故选：D． 6．如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为5，，，若这两个三角形全等，则的值是（   ） A．8 B．或5 C．6 D．或5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 由于与全等，且△DEF中有一条边为5，而的边为3、5、7，因此的边5必须对应的边5．其余两边对应3和7，分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵，且的边5对应的边5， ∴ 其余两边对应相等，有两种情况： ① 若且， 则， ∴； ② 若且， 则， ∴． 综上，的值为或5． 故选B． 二、填空题 7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，且点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查了图形旋转的性质以及三角形内角和的定理和等腰三角形的性质，由旋转后边的长度不变得到是等腰三角形是解决本题的关键． 根据图形旋转的性质可得到旋转前后边长不变，即，进而可得是等腰三角形，由底角相同可得到的度数，再由三角形内角和的性质即可求解旋转角的度数． 【详解】因为绕点逆时针旋转得到， 所以可得，即是等腰三角形， 所以， 在中，， 所以旋转角的度数是． 故答案为：． 8．如图，的边与直线重合，将沿着直线向右平移6个单位长度得到．若，则的长度是 ． 【答案】11 【分析】根据三角形全等和平移的性质求解即可． 【详解】解：∵沿着直线向右平移6个单位长度得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：11． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，平移的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，平移的性质． 9．如图所示的两个三角形全等，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵两个三角形全等，边的夹角相等即， 是边的对角，是一组对应角，则是一组对应角， ∴， ∴， 故答案为：． 10．在中，，，则 【答案】60 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，本题直接利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 11．如图，在等腰三角形ABC中，，点E在AC的延长线上，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是掌握等腰三角形的两底角相等，两直线平行，同位角相等． 由等腰三角形的性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．如图，，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据平行线性质求出，根据三角形外角性质得出，代入数据即可求出． 【详解】解：，， ， ，， ， 故答案为：． 13．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为 ． 【答案】96°/96度 【分析】过点F作FH∥AB，则有FH∥AB∥CD，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点F作FH∥AB，如图所示： ∵， ∴FH∥AB∥CD， ∴， ∵AB平分∠EAF，CF平分∠ECD， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴； 故答案为96°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键． 15．如图，在三角形中，是直线上的一动点，连接，当与三角形的一条边垂直时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理．分三种情况讨论，利用三角形内角和定理及角度间的计算即可求解． 【详解】解：， ， 当时，如图： 则， ， 当时，如图： 则， ， 当时，如图： 则， ， 综上，当与三角形的一条边垂直时，的度数为或， 故答案为：或． 16．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为 ． 【答案】10° 【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE=∠BAC，而∠BAD=90°-∠B，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算即可． 【详解】解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°， ∵AE是的角平分线 ∴∠BAE=∠BAC=40°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=90°， ∴在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°． 故答案为10° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，关键是利用三角形内角和定理求解． 17．如图，线段相交于点O，连接，且，平分交于点E，平分交于点F．若，则的度数为 度． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，角的平分线定义，三角形外角性质，解答即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线定义，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； ∵平分交于点E，平分交于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18．如图，，若，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形得到，再由求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 19．已知：如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝66°，求∠DAE的度数． 【答案】13° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠BAD，再根据角平分线的性质求出∠BAE，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵∠B＝40°，∠C＝66°，AD⊥BC于点D， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝74°，∠ADB＝90°． ∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝50°． ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝37°． ∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－37°＝13°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． 20．阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据． 已知：如图，在中，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F． 求证：． 证明：在中， ，（             ） 所以，（         ） 在中，， 所以， 因为， 所以________________， 所以．（               ） 【答案】三角形内角和定理；等式的性质；；等量代换 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等式的性质等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键． 由三角形内角和定理、，结合可得，然后再运用等量代换即可解答． 【详解】证明：在中，，（三角形内角和定理） 所以，（等式的性质） 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以．（等量代换）． 故答案为：三角形内角和定理；等式的性质；；等量代换． 21．安阳某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨： 已知：如图，是的三个外角． 求证：．    (1)该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整： 证法1：是的一个外角， ________________． 同理，． ． ． ∵________________， ． (2)本题还有另外一种证明方法，请你给该小组展示出来． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形的外角性质结合三角形的内角和定理即可解答； （2）注意到三角形的三个顶点处的6个角的和是，故可利用这个和减去三角形的内角和即可证明结论． 【详解】（1）证法1：是的一个外角， ， 同理，． ． ． ∵， ． 故答案为：，； （2）证法2：． ． ． ． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 22．如图，，． （1）与平行吗？为什么？ （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1）与平行，见解析；（2）51° 【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理即可得到； （2）根据平行线的性质得到，．根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：（1）与平行， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵AC平分， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，三角形的内角和定理是解题的关键． 23．【动手操作】 小明将一副三角板中的两个直角顶点 C按如图1方式叠放在一起，其中 ．三角板固定不动，将三角板绕点 C顺时针旋转． 【发现问题】 小明发现，在旋转三角板的过程中，有些角之间的存在着特殊的数量关系；某两条边在某个瞬间，有特殊的位置关系． 【解决问题】 (1)当三角板旋转至如图2所示的位置时． 求证： 求证： (2)小明将三角板从图1所示的位置开始绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当旋转到延长线上时，小明停止旋转． 如图3．当 时，求t的值； 当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，求t的值． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)①40；②15或45或55 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角形外角的性质： （1）①根据，即可证明；②先得到，再由，即可证明； （2）①由平行线的性质得到，则，据此可得答案；②分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴ 当时，则， ∴， ∴； 当时，延长交于F，则， ∴， ∴； 综上所述，t的值为15或45或55． 24．如图，已知射线及射线外一点，点是射线上一动点 (1)请在图1中找出点运动到何处时，长度最小，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，过点作的平行线，如图2． ①若，则______度，______度； ②若，则______度，______度； (3)受此启发，小明终于明白了：“无论点运动到任何位置，三角形的内角和始终为180°”的道理，请你借助图3帮他说明其中的道理． 【答案】(1)见解析 (2)①55，35 ②， (3)见解析 【分析】（1）过B作交AC于P，可得垂线段BP最短； （2）①如图， 先证明 结合平行线的性质与角的和差关系可得；②若 同理可得答案； （3）过作，证明，，结合，可得三角形的内角和定理为180°． 【详解】（1）解：如图：P即为所求， 理由：垂线段最短 （2）①如图，∵ ∵， ∴ 故答案为： ②∵ ∵， ∴ 故答案为： （3）过作， ∵， ∴，， ∵， ∴，即的内角和为180° 【点睛】本题考查的是垂线段最短，平行线的性质，角的和差运算，证明三角形内角和定理，掌握“平行线的性质：两直线平行，内错角相等”是解本题的关键． 25．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求α的度数；     ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或，见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识． （1）只要证明即可得出结论． （2）①利用平行线的性质与角平分线的定义求出，即可解决问题． ②分两种情况：当点在的右侧时，当点在的左侧在线段上时，分别用表示即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中， 平分交于点， ， ． ， ∴． （2）①如图2中， ∵， ， ， ，， ， ， ， ． ②猜想：或 理由：当点在的右侧时， ∵， ， ， ，， ， ， ， ． 当点在的左侧时， ∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴中，， 即． 综上所述，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 三角形的内角和与全等三角形及其性质（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【知识点02】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【知识点03】全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【题型一】三角形内角和定理的证明 例1．（22-23七年级下·上海虹口·月考）如图，已知， （1）过点A画直线DE∥BC； （2）与_______是内错角，它们相等吗？请说明理由． （3）请你说明 变式1．（22-23七年级下·上海闵行·期中）如图，，则 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 例2．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ． 变式2．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（　　） A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）° 例4．（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，在中，点是和的平分线的交点，如果，那么 °． 变式1．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，比大，平分，于E，于F，则 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【题型四】三角形内角和定理的应用 例5．（24-25七年级下·上海·月考）在中，若，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 例6．（24-25七年级下·上海宝山·期末）三角形中最大角是最小角的4倍，则最小角的取值范围是 ． 例7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积． 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，若，与互余，则的度数 ． 变式3．（22-23七年级下·上海青浦·期中）定义：在一个三角形中，若有一个内角的度数是另一个内角的一半，则称该三角形为“半角三角形”。如图，在四边形ABCD中，，∠C=72°，点E在CD上，将△BCE沿BE翻折，点C正好落在AD上点F处，若BF⊥AD，则△EDF是“半角三角形”吗？请说明理由． 【题型五】三角形的外角的定义及性质 例8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，下列条件中①；②；③；④，能判断的是（   ） A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①④ 例9．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三个外角的比为，则它是一个 三角形． 例10．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，已知，，你能说明吗？ 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则 ． 变式3．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：． 【题型六】图形的全等 例11．（22-23七年级下·上海静安·期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（    ） A．含有45°角的两个直角三角形 B．腰相等的两个等腰三角形 C．边长相等的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 例12．把如图所示的各个图形分别分割成两个全等的图形． 变式1．（2023七年级下·上海·期中）下列说法正确的个数（　　）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【题型七】全等三角形的概念 例13．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 例14．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画 个． 变式1．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（  ） A．周长相等的两个等边三角形 B．三个内角分别相等的两个三角形 C．两条边和其中一个角相等的两个三角形 D．面积相等的两个等腰三角形 变式2．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′． 说理过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　 　＝　 　，所以可以使点B与点B′重合．又因为　 　＝　 　，所以射线　 　能落在射线　 　上，这时因为 　 　＝　 　，所以点 　 　与 　 　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 变式3．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，已知，，，试把下面运用“叠合法”说明和全等的过程补充完整： 说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为 ，所以可以使 ，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于 ，因此， ； 由于 ，因此， ；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样   ． 【题型八】全等三角形的性质 例15．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 例16．（24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 变式1．（2024七年级下·上海浦东新·期中）已知：△ABC△DEF，∠A=∠D=90°,∠B=37°,则∠E=（   ） A．37° B．53° C．37°或53° D．37°或63° 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为 ． 变式3．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，点，，在同一条直线上，于点，于点，且，，．求： (1)的长； (2)的度数． 一、单选题 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，是外角的是（   ） A．和 B．和 C．和， D．以上说法都不对 3．若等腰三角形的一个内角为，那么它的底角度数为（   ） A． B． C．或 D． 4．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 5．如图，已知，．记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 6．如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为5，，，若这两个三角形全等，则的值是（   ） A．8 B．或5 C．6 D．或5 二、填空题 7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，且点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是 ． 8．如图，的边与直线重合，将沿着直线向右平移6个单位长度得到．若，则的长度是 ． 9．如图所示的两个三角形全等，则的度数为 ． 10．在中，，，则 11．如图，在等腰三角形ABC中，，点E在AC的延长线上，．若，则的度数为 ． 12．如图，，，，则的度数是 ． 13．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 14．如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为 ． 15．如图，在三角形中，是直线上的一动点，连接，当与三角形的一条边垂直时，的度数为 ． 16．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为 ． 17．如图，线段相交于点O，连接，且，平分交于点E，平分交于点F．若，则的度数为 度． 三、解答题 18．如图，，若，求的长． 19．已知：如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝66°，求∠DAE的度数． 20．阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据． 已知：如图，在中，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F． 求证：． 证明：在中， ，（             ） 所以，（         ） 在中，， 所以， 因为， 所以________________， 所以．（               ） 21．安阳某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨： 已知：如图，是的三个外角． 求证：．    (1)该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整： 证法1：是的一个外角， ________________． 同理，． ． ． ∵________________， ． (2)本题还有另外一种证明方法，请你给该小组展示出来． 22．如图，，． （1）与平行吗？为什么？ （2）若平分，，，求的度数． 23．【动手操作】 小明将一副三角板中的两个直角顶点 C按如图1方式叠放在一起，其中 ．三角板固定不动，将三角板绕点 C顺时针旋转． 【发现问题】 小明发现，在旋转三角板的过程中，有些角之间的存在着特殊的数量关系；某两条边在某个瞬间，有特殊的位置关系． 【解决问题】 (1)当三角板旋转至如图2所示的位置时． 求证： 求证： (2)小明将三角板从图1所示的位置开始绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当旋转到延长线上时，小明停止旋转． 如图3．当 时，求t的值； 当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，求t的值． 24．如图，已知射线及射线外一点，点是射线上一动点 (1)请在图1中找出点运动到何处时，长度最小，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，过点作的平行线，如图2． ①若，则______度，______度； ②若，则______度，______度； (3)受此启发，小明终于明白了：“无论点运动到任何位置，三角形的内角和始终为180°”的道理，请你借助图3帮他说明其中的道理． 25．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求α的度数；     ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $