第06讲 同底数幂的乘法（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 同底数幂的乘法（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法法则的推导过程,都是正整数 。 2.同底数幂的乘法法则： 文字叙述 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 字母表示 _________________________________ 逆用 =(𝑚,𝑛都是正整数) 。 运用的条件 运用同底数幂的乘法法则必须满足两个条件： （1）底数相同；（2）是乘法运算。 示例 同底数幂的乘法 【知识点02】幂的乘方 1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。 例如，()是4个相乘，读作a的3次幂的4次方;()是n个相乘,读作a的m次幂的n 次方。 2.幂的乘方法则的推导过程： 3.幂的乘方法则： 文字叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 字母表示 ________ 推广 [()]=(𝑚,𝑛,𝑝都是正整数) 。 逆用 =()=(𝑎)(𝑚,𝑛都是正整数) 。 【知识点03】积的乘方 1.积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如， 等。 2.积的乘方法则的推导过程： →积的乘方的意义 →乘法交换律、结合律 是正整数 。 3.积的乘方法则： 文字叙述 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 字母表示 ___________________ 推广 (𝑎𝑏𝑐)=𝑎𝑏𝑐(𝑛为正整数) 。 逆用 𝑎𝑏=(𝑎𝑏)(𝑛为正整数) 。 【题型一】同底数幂相乘 例1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）信息技术的存储设备常用等作为存储的单位．例如，我们常说某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，对于一个存储量为的硬盘，其容量是（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）计算： ． 例3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 变式1．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算：结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级·浙江·假期作业）计算： ． 变式3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型二】用科学记数法表示数的乘法 例4．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·月考）用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 变式2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【题型三】同底数幂乘法的逆用 例5．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 例6．（24-25七年级下·浙江·月考）已知，，求 ． 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则 ． 变式3．（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求x． 【题型四】幂的乘方运算 例7．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）若，，则用含的代数式表示为 ． 变式3．（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【题型五】幂的乘方的逆用 例9．若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（    ） A．y＝（x﹣1）2﹣4 B．y＝x2﹣4 C．y＝2（x﹣1）﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣3 例10．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则的值为 ． 例11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 变式1．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23七年级下·浙江湖州·期中）已知，，则的值为 ． 变式3．（22-23七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【题型六】积的乘方运算 例12．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 例13．（2026七年级下·浙江·专题练习）计算：= ． 例14．（23-24七年级下·浙江嘉兴·月考）计算： (1) (2) 变式1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列等式中，从左到右计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中） 变式3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【题型七】积的乘方的逆用 例15．（22-23七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 例16．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算： 例17．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）计算： (1) (2) (3)． 变式1．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）等于（    ） A．1 B． C．2023 D． 变式2．（24-25七年级·浙江绍兴·期中）计算： ． 变式3．（22-23七年级·浙江金华·月考）阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．的计算结果是（    ） A．4mn6 B．﹣4m2n6 C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．-1 4．已知，，则的值是（    ） A．35 B．24 C．12 D．2 5．下列计算中正确的是（   ）． A． B． C． D． 6．我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 7．已知：，，则的值为（   ） A． B．4 C． D．2 8．迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 9．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 10．计算： ． 11．计算： ． 12．已知，，则的值等于 ． 13．计算： ． 14．计算： ． 15．若，则 ． 16．已知，，则 ． 三、解答题 17．计算：． 18．计算：． 19．计算：； 20．已知，，求的值． 21．解下列各题： (1)已知：，，求的值． (2)已知：，求的值． 22．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 23．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即． 根据上面的规定，请解决下列问题： (1)计算：____________，_____________； (2)小明在计算的时候，采用了以下方法： 设，      通过以上计算，我们猜想____________． 24．阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 同底数幂的乘法（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法法则的推导过程,都是正整数 。 2.同底数幂的乘法法则： 文字叙述 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 字母表示 _________________________________ 逆用 =(𝑚,𝑛都是正整数) 。 运用的条件 运用同底数幂的乘法法则必须满足两个条件： （1）底数相同；（2）是乘法运算。 示例 同底数幂的乘法 【知识点02】幂的乘方 1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。 例如，()是4个相乘，读作a的3次幂的4次方;()是n个相乘,读作a的m次幂的n 次方。 2.幂的乘方法则的推导过程： 3.幂的乘方法则： 文字叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 字母表示 ________ 推广 [()]=(𝑚,𝑛,𝑝都是正整数) 。 逆用 =()=(𝑎)(𝑚,𝑛都是正整数) 。 【知识点03】积的乘方 1.积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如， 等。 2.积的乘方法则的推导过程： →积的乘方的意义 →乘法交换律、结合律 是正整数 。 3.积的乘方法则： 文字叙述 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 字母表示 ___________________ 推广 (𝑎𝑏𝑐)=𝑎𝑏𝑐(𝑛为正整数) 。 逆用 𝑎𝑏=(𝑎𝑏)(𝑛为正整数) 。 【题型一】同底数幂相乘 例1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）信息技术的存储设备常用等作为存储的单位．例如，我们常说某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，对于一个存储量为的硬盘，其容量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 例2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘法则即可求解，掌握同底数幂相乘法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 例3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 变式1．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算：结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， 故正确． 故选：． 变式2．（25-26七年级·浙江·假期作业）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 变式3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型二】用科学记数法表示数的乘法 例4．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·月考）用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数、用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题考查了近似数和科学记数法；熟知“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数”是解题的关键． 先将原数精确到千万位，再用科学记数法表示为的形式即可求解；先计算，然后用科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：用四舍五入法把精确到千万位的近似数为； ． 故答案为：；． 变式2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据路程速度时间即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 我们行驶的路程为， 答：我们行驶的路程为． 【点睛】本题考查了科学记数法以及同底数幂乘法，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解本题的关键． 【题型三】同底数幂乘法的逆用 例5．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 例6．（24-25七年级下·浙江·月考）已知，，求 ． 【答案】6 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为： 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】利用同底数幂相乘的运算法则，把转化为与相乘的形式，再代入已知值计算．本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则是解题的关键． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为整数）， ∴． 又，， ． 故选： ． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式3．（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求x． 【答案】（1）6；（2） 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法，得到，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了逆用同底数幂的乘法及其逆用的知识，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 【题型四】幂的乘方运算 例7．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方法则，即 ． 根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 例8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查幂的乘方法则，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键． 幂的乘方法则为：底数不变，指数相乘．对于 ，需要运用该法则进行计算，将指数和相乘，从而得出结果． 【详解】． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据幂的乘方的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴只有选项B正确，选项A、C、D都错误； 故选：B； 变式2．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）若，，则用含的代数式表示为 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】根据条件求得，根据幂的乘方公式对进行变形，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， 即 ∴， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 变式3．（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型五】幂的乘方的逆用 例9．若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（    ） A．y＝（x﹣1）2﹣4 B．y＝x2﹣4 C．y＝2（x﹣1）﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣3 【答案】D 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】根据幂的乘方法则可得y=4m-3=22m-3，由x=2m+1可得2m=x-1，再根据幂的乘方计算即可． 【详解】解：∵x=2m+1， ∴2m=x-1， ∴y=4m-3=22m-3=（x-1）2-3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 例10．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，利用积的乘方运算的逆用得出，再进行计算得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 例11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运算法则得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】根据幂的乘方进行变形，进而比较大小即可． 【详解】解：a=344=(34)11=8111， b=255=（25）11=3211， c=433=（43）11=6411， ∵3211＜6411＜8111， ∴a>c>b， 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算性质是正确计算的前提． 变式2．（22-23七年级下·浙江湖州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】根据幂的乘方的逆运算，将化为，即可解答． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握幂的乘方，底数不变，指数相乘． 变式3．（22-23七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】(1)1 (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘、有理数大小比较 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算； （2）把、、换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【题型六】积的乘方运算 例12．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 故答案为：B ． 例13．（2026七年级下·浙江·专题练习）计算：= ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方运算，先计算括号内的幂运算，再处理负号得，最后进行立方运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 例14．（23-24七年级下·浙江嘉兴·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】（1）根据积的乘方公式计算即可． （2）根据同底数幂的乘法计算即可．本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握计算公式和法则是解题的关键． 【详解】（1）． （2）． 变式1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列等式中，从左到右计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方法则，掌握这两个法则是关键；利用积的乘方计算，再利用幂的乘方计算即可． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算正确； 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中） 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查幂的相关运算，涉及同底数幂的乘法及其逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方，解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，得，再代入求值即可； （2）利用同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，积的乘方，将化简得，得出，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 【题型七】积的乘方的逆用 例15．（22-23七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】此题考查了积的乘方的逆用，灵活利用积的乘方的逆用是解题的关键． 利用积的乘方的逆用 灵活运用即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 例16．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算： 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了有理数积的乘方的逆用，利用积的乘方法则，将原式转化为进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 例17．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）计算： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】（1）利用幂的乘方运算与积的乘方运算可得答案； （2）利用同底数幂的乘法运算与积的乘方运算的逆运算可得答案； （3）利用同底数幂的乘法的逆运算与乘法的分配律可得答案． 【详解】（1）； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了乘方的含义，同底数幂的乘法运算的逆运算，积的乘方运算与幂的乘方运算及其逆运算，掌握幂的运算法则及乘方的含义是解答本题的关键． 变式1．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）等于（    ） A．1 B． C．2023 D． 【答案】B 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方运算的逆运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．逆用积的乘方运算法则，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B 变式2．（24-25七年级·浙江绍兴·期中）计算： ． 【答案】1 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，根据即可求解； 【详解】解：， 故答案为： 变式3．（22-23七年级·浙江金华·月考）阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案． （2）根据第一问的计算可知指数相同的幂相乘时，可先将底数相乘，指数不变． （3）根据第二问的结论计算即可． 【详解】（1）解： =1； （2）解：原式=， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．的计算结果是（    ） A．4mn6 B．﹣4m2n6 C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则是解题的关键． 3．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算、积的乘方运算，及其逆运算法则是解题的关键．根据同底数幂的运算、积的乘方运算，及其逆运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 4．已知，，则的值是（    ） A．35 B．24 C．12 D．2 【答案】A 【分析】利用幂的乘方的逆运算得出，，再根据即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 5．下列计算中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法指数是相加，幂的乘方指数是相乘． 6．我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 7．已知：，，则的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查求代数式的值，同底数幂相乘，幂的乘方，结合已知条件得出，是解题的关键． 由已知条件得到，，然后将两式相乘，并利用同底数幂乘法及幂的乘方即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8．迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握是解题的关键．根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可． 【详解】解： （米）． 故选：D． 9．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算以及代数式求值，熟练掌握幂的运算法则和开方运算求未知数的值是解题的关键．先分别求解和的值，再将其代入代数式计算． 【详解】解：∵，， ∴或． ∵，， ∴． 当，时， ， 当，时， ， 故选：． 二、填空题 10．计算： ． 【答案】 【分析】先算乘方，再算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 11．计算： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘，即可求解． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 12．已知，，则的值等于 ． 【答案】500 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则即可求出答案． 【详解】解： =·=·=53×22=500． 故答案为：500． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则，熟练其运算法则是解决本题的关键． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算法则的逆运算，熟练掌握计算法则是解决本题的关键． 利用积的乘方的计算法则的逆运算计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题涉及同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将变形为，然后利用幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 15．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据题意得到，进而根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，代数式求值．熟练掌握幂的乘方的逆运算，代数式求值是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 三、解答题 17．计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了积的乘方、同底数幂的乘方以及合并同类项的法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．据积的乘方、同底数幂的乘方以及合并同类项的法则，求解即可． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，首先计算积的乘方，再运算同底数幂乘法，然后计算加法即可． 【详解】解： ． 19．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．对于，先根据同底数幂相乘的法则逐步计算，同时注意负号的运算规则． 【详解】解： ． 20．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则，熟记同底数幂的运算法则是解题的关键．先逆用同底数幂的运算法则及幂的乘方的运算法则得，再利用已知条件即可解答． 【详解】解：因为， 所以 21．解下列各题： (1)已知：，，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据逆用幂的乘方运算求得的值，进而即可求解； （2）根据逆用积的乘方与幂的乘方，得出原式，代入已知式子的值即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴ ． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 22．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）675；（2）200 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据幂的乘方的逆用求出和，再根据同底数幂的乘法的逆用计算即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方可得，再根据幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴ ． 23．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即． 根据上面的规定，请解决下列问题： (1)计算：____________，_____________； (2)小明在计算的时候，采用了以下方法： 设，      通过以上计算，我们猜想____________． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可； （2）理解题中的运算步骤，设，，对式子进行变形，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：， （2）设，，则， ∴ ∴ 即 故答案为： 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，乘方的逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练幂的有关运算． 24．阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)9 (2)①；② 【分析】此题主要考查规律型：图形的变化类，有理数的混合运算，数学常识，列代数式，解答本题的关键是能准确理解并运用定义和同底数幂相乘运算法则进行求解． （1）根据材料一进行求解； （2）①由题意可得，第n个格放粒米进行求解； ②根据材料二中的方法进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：①由题意得，第一格放的米粒数为； 第二格放的米粒数为； 第三格放的米粒数为； 第四格放的米粒数为； … 第n格放的米粒数为， 在第64格中应放粒米； 故答案为：； ②由题意得： ， 则， ， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $