专题3.1 幂的运算（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题3.1 幂的运算 · 典例分析 【典例1】规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______，______，______； （2）若，求x的值； （3）证明：． 【思路点拨】 本题考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法． （1）由题意分别可得，，； （2）设，，，由题意可得； （3）设，，，先求出，再由，可得，即有． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵ ， 故答案为：4，3，3． （2）解：由题意得，设，，， ∵， ， 由题意可得：，，， ， ． （3）证明：设，，， ，，， ， ， ， ， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，那么值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 5．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知n是自然数，，，那么的值不可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（23-24七年级·江苏·阶段练习）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ． 8．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）已知，则 ． 9．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 10．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ． 11．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 12．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 13．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： （1）若，求的值． （2）若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 16．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． （1）用含m，n的代数式表示Q； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 17．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． （1）填空：当，时，__________； （2）若，，求的值． 18．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． （1）将指数式转化为对数式为 ． （2）计算： ． （3）求证：（，，，）． （4）直接写出的值． 19．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 （1）求的值． （2）若用含x的代数式表示y值． （3）求 20．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： （1）的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； （2）求的末尾数字； （3）求证：能被5整除． 21．（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． （1）根据上述规定，填空：__________； （2）计算__________； （3）如果，，那么________； （4）若，，请说明与的关系．（为正整数） 22．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 幂的运算 · 典例分析 【典例1】规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______，______，______； （2）若，求x的值； （3）证明：． 【思路点拨】 本题考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法． （1）由题意分别可得，，； （2）设，，，由题意可得； （3）设，，，先求出，再由，可得，即有． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵ ， 故答案为：4，3，3． （2）解：由题意得，设，，， ∵， ， 由题意可得：，，， ， ． （3）证明：设，，， ，，， ， ， ， ， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【解题过程】 解：， ， 故选：A． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，那么值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【思路点拨】 本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，根据幂的乘方和积的乘方逆用得出，再进行变形即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴，，即，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【解题过程】 解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【思路点拨】 本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 5．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知n是自然数，，，那么的值不可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【思路点拨】 本题考查了有理数的乘方，零指数幂，根据题意可得一定是偶数，一定是奇数，再根据，，分情况讨论即可． 【解题过程】 解：n是自然数， 一定是偶数，一定是奇数， ，， 当时，则； 当时，则，则或， 不可能等于2； 综上，的值不可能是2， 故选：D． 6．（23-24七年级·江苏·阶段练习）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【思路点拨】 由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【解题过程】 解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 7．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ． 【思路点拨】 本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 8．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）已知，则 ． 【思路点拨】 本题考查了绝对值和偶次幂的非负性，积的乘方的逆运用， 同底数幂乘法的逆用，先求出，，然后代入，则有，再运算括号内即可求解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 【解题过程】 解：∵， ∴，， ∴则 ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【思路点拨】 本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【解题过程】 解：， ， ． 故答案为： ． 10．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ． 【思路点拨】 本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴ ， 故答案为：． 11．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 【思路点拨】 本题考查了幂的乘方，质数的意义；从是质数入手是解题的关键；质数中唯一的偶数是2，其余的质数都是奇数，根据两个奇数的和为偶数，则可断定中必为偶数，由此分析即可求解． 【解题过程】 解：因为m、n、都是质数，所以必为偶数，所以m、n至少有一个为2． 当时，，不相等且都不是质数，矛盾； 当时，，此时，符合题意， 所以； 当时，，不满足条件． 综上， ． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【思路点拨】 本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【解题过程】 解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 13．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 【思路点拨】 由题意知，卡片数字为，，，，，，……，则使三数之和最大的三个数为，，，即，使三数之和最小的三个数为，，，即，然后代入计算求解即可． 【解题过程】 解：由题意知，卡片数字为，，，，，，…… ∵三张卡片上的数字乘积为， ∴使三数之和最大的三个数为，，， ∴， ∴使三数之和最小的三个数为，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查有理数混合运算，熟练掌握逆用积的乘方和幂的乘方运算法则简便计算是解题的关键． （1）先逆用幂的乘方运算法则，变形为，再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘法法则计算即可； （2）先逆用幂的乘方运算法则，变形为，再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘法法则计算即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： （1）若，求的值． （2）若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 【思路点拨】 本题主要考查的是同底数幂的乘法和新定义运算，正确理解新定义，将把新运算化成常规运算是解题的关键． （1）将变形为，再根据定义新运算进行计算即可； （2）根据，及定义新运算将原式变形为，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴ = = =． （2）解：∵，， ∴ ∴ …… ∴ ∴ =． 16．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． （1）用含m，n的代数式表示Q； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 【思路点拨】 （1）根据题意即可直接列出代数式； （2）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可； （3）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可． 【解题过程】 （1）解：根据题意可得： ； （2）解：当，时， ； （3）解：，， ． 17．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． （1）填空：当，时，__________； （2）若，，求的值． 【思路点拨】 （1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【解题过程】 （1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 18．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． （1）将指数式转化为对数式为 ． （2）计算： ． （3）求证：（，，，）． （4）直接写出的值． 【思路点拨】 本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【解题过程】 （1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 19．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 （1）求的值． （2）若用含x的代数式表示y值． （3）求 【思路点拨】 本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再分别代入进行计算，即可作答． （2）运用幂的乘方得出，再代入，进行化简，即可作答． （3）先整理出，，然后得出，即，再结合，把代入求值，即可作答． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ （3）解：∵ ∴， 即， ∵ ∴ 即， ∴，得， 即， ∴， ． 20．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： （1）的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； （2）求的末尾数字； （3）求证：能被5整除． 【思路点拨】 （1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【解题过程】 （1）解： ， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 21．（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． （1）根据上述规定，填空：__________； （2）计算__________； （3）如果，，那么________； （4）若，，请说明与的关系．（为正整数） 【思路点拨】 （1）令，根据所给的定义可得，于是可求出； （2）令，，根据所给的定义可得，，因而可得，则； （3）由题意可得，解得，再由，即可求解； （4）由题意可得，，则，从而得到． 【解题过程】 （1）解：令， ， ， 故答案为：； （2）解：令，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 22．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 【思路点拨】 （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【解题过程】 （1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ② ， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$