4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式课时达标-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 一．选择题 1.[探究点三(角度1)](多选题)下列数列中,是等差数列的有(　　) A.4,5,6,7,8,… B.3,0,-3,0,-6,… C.0,0,0,0,… D.,… 2.(探究点一·2025江苏徐州模拟预测)若等差数列{an}满足an+an+1=4n+1,则a1=(　　) A.3 B. C.1 D. 3.(探究点一)在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=(　　) A.50 B.49 C.48 D.47 4.(探究点二)已知a=,b=,则a,b的等差中项为(　　) A.2 B. C.1 D. 5.(探究点一、二·2025浙江金华模拟)已知公差不为0的等差数列{an}满足成等差数列,则=(　　) A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则数列{an}中一定为零的项是(　　) A.a6 B.a8 C.a10 D.a12 7.首项为-24的等差数列{an},从第10项开始为正数,则公差d的取值范围是(　　) A.(,3) B.[,3] C.(,3] D.[,3) 8.在数列{an}中,a4=49,+2,则a7=(　　) A.121 B.144 C.169 D.196 9.已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若ln a1,ln a3,ln a6也是等差数列,则其公差为 (　　) A.ln d B.ln 2d C.ln D.ln 10.若将2至2 026这2 025个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,则此数列的项数是(　　) A.95 B.96 C.97 D.98 11.(多选题)数列{an}满足an+1=,a1=1,则下列说法正确的是(　　) A.数列{}是等差数列 B.数列{an}有最小项 C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 D.数列{an}为递减数列 二．填空题 12.(探究点一·2025广东珠海高二检测)在北京冬奥会开幕式上,二十四节气倒计时惊艳了世界.我国古代用日晷测量日影的长度,日晷长即为所测量影子的长度.已知从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日晷长依次成等差数列.若冬至的日晷长为18.5尺,立春的日晷长为15.5尺,则春分的日晷长为　　　　　.  13.已知a,b,d,e四个数,其中b,d,e成等差数列,且a+b=3,b+d=6,若2a,d,e成等差数列,则a的值为　　　　　.  14.一个直角三角形的三条边的长度成等差数列,则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是　 .  15.(2025黑龙江哈尔滨高二检测)某公司购置了一台价值220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d>0)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废,但若每年花费1万元进行设备维护,则可使设备的使用年限提升至20年,每经过一年其价值就会减少d1(d1>0)万元,超过20年,它的价值将低于所有花费的5%,设备将报废,则d1的取值范围为　　　　　.  三．解答题 16.(探究点一)已知在等差数列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6为方程x2-10x+16=0的两个实根. (1)求此数列{an}的通项公式. (2)268是不是此数列中的项?若是,是第几项?若不是,说明理由. 17.[探究点三(角度2)]在数列{an}中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n,求证:数列{}是等差数列. 18.设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=,且a1=. (1)证明:数列{}为等差数列; (2)求{an}的通项公式. 参考答案 1.ACD　选项A是以4为首项,1为公差的等差数列;选项B中后一项减前一项的差不是同一个常数,所以不是等差数列;选项C是常数列,所以是等差数列;选项D是以为首项,为公差的等差数列. 2.B　设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. 因为an+an+1=4n+1,可得an+an+1=2a1+(2n-1)d=2a1-d+2dn, 所以有解得 3.A　设等差数列{an}的公差为d, ∵a1=,a4+a5=,∴2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)×,则ak==33,解得k=50. 4.B　由已知可得,a+b==2. 设a,b的等差中项为m, 则m=.故选B. 5.A　设等差数列{an}的公差为d, 由题意可得(a9+a5)(a9-a5)=(a5+a3)(a5-a3), 即4d(a10+a4)=2d·2a4,即a10+a4=a4,即a10=0,即a1=-9d, 则=-5. 6.A　设等差数列{an}的公差为d. ∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,∴a6=0,则数列{an}中一定为零的项是a6. 7.C　由题意可知an=-24+(n-1)d,n∈N*, 由 解得<d≤3. 8.C　由+2得=2,因此数列{}为等差数列,所以+2(n-1), 因为a4=49,所以+6=7,解得a1=1,所以an=(2n-1)2,a7=169. 9.D　因为ln a1,ln a3,ln a6是等差数列,所以2ln a3=ln a1+ln a6⇒ln =ln a1a6, 所以=a1a6,即=a1(a1+5d),又d≠0,可得a1=4d, 所以公差为ln a3-ln a1=ln=ln=ln=ln.故选D. 10.C　由题意,3与7的最小公倍数为21,则被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的数的个数,所以该数列的首项为a1=2,公差d=21,即an=21n-19.由2≤an≤2 026,得1≤n≤,又n∈N*,故此数列共有97项.故选C. 11.AD　因为an+1=,a1=1, 所以=2+,即=2,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,故A正确. =1+2(n-1)=2n-1,则an=,所以an+1-an==-<0,所以数列{an}为递减数列,故D正确,BC错误.故选AD. 12.12.5尺　设冬至日晷长为a1,小寒日晷长为a2,以此类推芒种日晷长为a12.由题意得{an}为等差数列,设公差为d,则a1=18.5,a4=15.5,所以a4-a1=3d=-3,d=-1, 所以a7=a1+6d=18.5-6=12.5,故春分的日晷长为12.5尺. 13.1　因为a+b=3,b+d=6,则d=a+3. 因为b,d,e构成等差数列,则2d=b+e,即2a+6=3-a+e,即e=3a+3. 因为2a,d,e构成等差数列,则2d=2a+e,即2a+6=2a+3a+3,解得a=1. 14.　设直角三角形的三边长为a,b,c,不妨设a<b<c,根据题意可得2b=a+c,且a2+b2=c2,∴a2+=c2,即5a2+2ac-3c2=0,则c=a,又b=a, ∴cos A=. 15.　设该设备使用n年后,设备的价值为an万元, 则可得数列{an},由已知可得an=an-1-d1(n≥2),即公差为d1. 因为购进价格为220万元, 所以a1=220-d1, 所以an=220-d1+(n-1)·(-d1)=220-d1·n, 由题可知 即 解得<d1≤. 16.解 (1)由已知条件得a3=2,a6=8, 又{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d, ∴a1+2d=2,a1+5d=8, 解得a1=-2,d=2. ∴an=-2+(n-1)×2=2n-4(n∈N*). ∴数列{an}的通项公式为an=2n-4. (2)令268=2n-4(n∈N*), 解得n=136. ∴268是此数列的第136项. 17.证明 把nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同时除以n(n+1),得=2,∴数列{}是首项为4,公差为2的等差数列. 18.(1)证明 由数列{an}的前n项和为Sn,知S1=a1=,又Sn+1=,显然Sn≠0,因此+2,即=2. 所以数列{}为等差数列,首项为=2,公差为2. (2)解 由(1)知,=2+(n-1)×2=2n,则Sn=, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-,显然a1=不满足上式, 所以数列{an}的通项公式是an= 学科网（北京）股份有限公司 $