4.2.1 等差数列的概念（第1课时 等差数列的概念与通项公式）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念　 第1课时　等差数列的概念与通项公式 基础巩固 1.（多选）下列数列中，是等差数列的是（ ） A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 2.已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为（ ） A.an＝2n－5 B.an＝2n－3 C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1 3.若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（ ） A. B. C. D. 4.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（ ） A.26 B.29 C.39 D.52 5.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是（ ） A.an＝3n－1 B.an＝3n＋2 C.an＝3n－2 D.an＝3n＋1 6.（多选）已知数列{an}为等差数列，公差为d，则下列说法正确的是（ ） A.an＋1＝an＋d（d为常数） B.数列是等差数列 C.数列是等差数列 D.an＋1是an与an＋2的等差中项 7.已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan（a2＋a12）的值为（ ） A. B.± C.－ D.－ 8.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝ ，a6＝ . 9.已知{an}是等差数列，公差为d. （1）若a5－a3＝12，a12＝20，求a1和d； （2）若a1＝9，d＝－2，an＝－15，求n； （3）若a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式. 10.若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列. 综合运用 11.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为（ ） A.an＝2（n＋1）2 B.an＝4（n＋1） C.an＝8n2 D.an＝4n（n＋1） 12.（多选）若数列{an}是等差数列，公差d＞0，则下列对数列{bn}的判断正确的是（ ） A.若bn＝－an，则数列{bn}是递减数列 B.若bn＝，则数列{bn}是递增数列 C.若bn＝an＋an＋1，则数列{bn}是公差为d的等差数列 D.若bn＝an＋n，则数列{bn}是公差为d＋1的等差数列 13.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ） A.（，3） B.[，3] C.（，3] D.[，3） 拔高拓展 14.正数a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 15.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为 . 解析 基础巩固 1.（多选）下列数列中，是等差数列的是（　ABD　） A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 解析：A，B，D项中数列满足等差数列的定义，是等差数列；因为24－25≠23－24≠22－23，所以C项中数列不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 2.已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为（　C　） A.an＝2n－5 B.an＝2n－3 C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1 解析：设该等差数列的公差为d，则d＝a＋1－（a－1）＝2， 因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1， 所以2（a＋1）＝a－1＋2a＋1， 解得a＝2，所以a1＝1， 所以an＝a1＋（n－1）d＝2n－1. 3.若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（　A　） A. B. C. D. 解析：由题意知a，b的等差中项为×（＋）＝×（－＋＋）＝. 4.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　C　） A.26 B.29 C.39 D.52 解析：∵5，x，y，z，21成等差数列， ∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项. ∴5＋21＝2y，x＋z＝2y， ∴y＝13，x＋z＝26，∴x＋y＋z＝39. 5.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是（　B　） A.an＝3n－1 B.an＝3n＋2 C.an＝3n－2 D.an＝3n＋1 解析：由题意知an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，则an＝5＋3（n－1）＝3n＋2，n∈N*. 6.（多选）已知数列{an}为等差数列，公差为d，则下列说法正确的是（　ABD　） A.an＋1＝an＋d（d为常数） B.数列是等差数列 C.数列是等差数列 D.an＋1是an与an＋2的等差中项 解析：因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an＝d，即an＋1＝an＋d（d为常数），故A正确；因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an＝d，那么（－an＋1）－（－an）＝－（an＋1－an）＝－d，所以数列{－an}是等差数列，故B正确；－＝＝，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；根据等差数列的性质可知2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋1是an与an＋2的等差中项，故D正确.故选ABD. 7.已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan（a2＋a12）的值为（　D　） A. B.± C.－ D.－ 解析：由题意可得a1＋a1＋6d＋a1＋12d＝4π，即3（a1＋6d）＝4π，∴a1＋6d＝，∴a2＋a12＝a1＋d＋a1＋11d＝2（a1＋6d）＝2×＝， ∴tan（a2＋a12）＝tan ＝tan ＝－. 8.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝　3　，a6＝　13　. 解析：设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得解得 ∴a6＝3＋（6－1）×2＝13. 9.已知{an}是等差数列，公差为d. （1）若a5－a3＝12，a12＝20，求a1和d； （2）若a1＝9，d＝－2，an＝－15，求n； （3）若a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式. 解：（1）因为a5－a3＝12， 所以公差d＝6. 由a12＝a1＋11d＝20，得a1＝－46， 故a1＝－46，d＝6. （2）由an＝a1＋（n－1）d，得－15＝9－2（n－1），解得n＝13. （3）由已知可得解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝11－（n－1）＝－n＋12. 10.若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列. 证明：由已知得＋＝，通分得＝. 故2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），整理得a2＋c2＝2b2， 所以a2，b2，c2成等差数列. 综合运用 11.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为（　A　） A.an＝2（n＋1）2 B.an＝4（n＋1） C.an＝8n2 D.an＝4n（n＋1） 解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列， 所以＝2＋（n－1）＝n＋， 故an＝2（n＋1）2. 12.（多选）若数列{an}是等差数列，公差d＞0，则下列对数列{bn}的判断正确的是（　AD　） A.若bn＝－an，则数列{bn}是递减数列 B.若bn＝，则数列{bn}是递增数列 C.若bn＝an＋an＋1，则数列{bn}是公差为d的等差数列 D.若bn＝an＋n，则数列{bn}是公差为d＋1的等差数列 解析：由an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d）且d＞0， 得bn＝－an＝－dn＋（d－a1），故数列{bn}是递减数列，故A正确； bn＝＝[dn＋（a1－d）]2，当d＞a1时，如d＝1，a1＝－2，此时数列{bn}不单调，故B错误； 由bn＝an＋an＋1＝2dn＋（2a1－d），得数列{bn}是公差为2d的等差数列，故C错误； 由bn＝an＋n＝（d＋1）n＋（a1－d），得数列{bn}是公差为d＋1的等差数列，故D正确. 13.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　C　） A.（，3） B.[，3] C.（，3] D.[，3） 解析：由题意知an＝－24＋（n－1）d，n∈N*， 由解得＜d≤3. 故公差d的取值范围是（，3]. 拔高拓展 14.正数a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是（　C　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：由题意可知，a＋b＝1， α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5， 当且仅当a＝b＝时，取等号. 15.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为　等边三角形　. 解析：由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b，① 由，，成等差数列得＋＝2，② 由②2－①得2＝2b，即b2＝ac， 由①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2， 将b2＝ac代入得a2＋2ac＋c2＝4ac， 即（a－c）2＝0，得a＝c. 又a＋c＝2b， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴a＝b＝c. ∴△ABC是等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $