精品解析：河北邯郸市第二十三中学2024-2025学年九年级下学期学情自测数学试题

初三数学开学测试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. a3•a2＝a6 B. （b4）2＝b6 C. （xy）7＝xy7 D. x5＋x5＝2x5 4. 《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有间房，则正确的是（ ） A. 依题意 B. 依题意 C. 店中共有9间房 D. 共有客人72人 5. 延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ） A. 小张 B. 小王 C. 小李 D. 小赵 6. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中， ，，分别以点，点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则 的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，两条直线相交于点O，所夹锐角为，以点O为图心，任意长为半径作图，与两条直线分别交于点A、B、C、D，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的几何体是由几个边长为的小正方体搭成的，将正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图，左视图都不变 B. 主视图，左视图都变 C. 主视图改变，左视图不变 D. 主视图不变，左视图改变 10. 如图是摘自《生日歌》简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 11. 如图所示，在x轴的正半轴上依次截取，过，分别作x轴的垂线与反比例函数的图像交于点,并设面积分别为，按此作法进行下去，（n为正整数）的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，与相切于点B，连接OA交于点C，弦，连接．若，的半径是9，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 14. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为______． 15. 在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 16. 如图，在正五边形中，，点M是的中点，连接，点P在边上（不与点C重合），将 沿折叠得到 ，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 忠县某校初一李老师开车从学校出发，规定以学校为原点，向北为正方向，行驶记录如下（单位：千米） ， ，，，， ，，． （1）该老师最终停留的地方在学校的哪个方向？距离学校多远？ （2）汽车行驶每千米耗油 升，每升7元，则该老师整个路程共耗油多少元？ 18. （1）先化简，再求代数式的值，其中． （2）解关于的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同．求这两个方程组的公共解． 19. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题． （1）求______，并补全条形统计图． （2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？ （3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 20. 已知为的直径，与相切于点A，弦于点M，． （1）求证：为的切线； （2）若 ，，求图中阴影部分面积． 21. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高 和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点 ； （2）根据表中数据，从和 中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 22. 小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 23. 已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转． （1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若，，，求的度数； （3）若，点M是边的中点，连接，与交于点O，当三角板的一边与重合时（如图2），与交于点N，若，求 的长． 24. 已知抛物线与轴相交于点，，与 轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点 ，使？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学开学测试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是分数，属于有理数； C、，是分数，属于有理数； D、是无限不循环小数，符合无理数的定义． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. a3•a2＝a6 B. （b4）2＝b6 C. （xy）7＝xy7 D. x5＋x5＝2x5 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的性质，合并同类项的法则，积的乘方的性质，对各式分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、a3•a2＝a5，原计算错误，故本选项不符合题意； B、（b4）2＝b8，原计算错误，故本选项符合题意； C、（xy）7＝x7y7，原计算错误，故本选项不符合题意； D、x5＋x5＝2x5，原计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 4. 《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有间房，则正确的是（ ） A. 依题意 B. 依题意 C. 店中共有9间房 D. 共有客人72人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设店中共有x间房， 由题意得，，即， 解得， 所以，店中共有8间房， ∴共有客人人， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选B． 5. 延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ） A. 小张 B. 小王 C. 小李 D. 小赵 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，； 小赵负责的步骤错误； 故选：D． 6. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 7. 如图，在中， ，，分别以点，点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则 的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据 的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 8. 如图，两条直线相交于点O，所夹锐角为，以点O为图心，任意长为半径作图，与两条直线分别交于点A、B、C、D，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题意可得，逐一判断即可，正确运用相关的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，且为圆的直径， ，故B正确； ，故C正确； ， ， ， 为直角三角形的斜边， ，故A错误； ， ，故D正确， 故选：A． 9. 如图所示的几何体是由几个边长为的小正方体搭成的，将正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图，左视图都不变 B. 主视图，左视图都变 C. 主视图改变，左视图不变 D. 主视图不变，左视图改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键． 结合几何体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化． 【详解】解：将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图和左视图都没有发生改变，俯视图的第二层由原来的三个正方形变为两个正方形， 故主视图和左视图都没有发生改变，俯视图改变了， 故选． 10. 如图是摘自《生日歌》简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的求法，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解： 将出现的音符从小到大的顺序排列：1、1、2、5、5、5、5、5、5、6、6、7， ∴中位数为， 故选：C． 11. 如图所示，在x轴的正半轴上依次截取，过，分别作x轴的垂线与反比例函数的图像交于点,并设面积分别为，按此作法进行下去，（n为正整数）的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数中k的几何意义再结合图象即可解答． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，． 又因为， 所以 ，，，，， ， 依此类推：的值为． 故选：D． 12. 如图，与相切于点B，连接OA交于点C，弦，连接．若，的半径是9，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理及弧长公式，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先根据切线的性质得出 ，再根据平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，继而根据弧长公式求解即可． 【详解】连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径是9， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解：． 14. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义．把代入，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．再根据根与系数关系即可求出方程的另一个根． 【详解】解：把代入得， 解得： ， 而． 所以． 令方程的另一个根为，则， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得 ，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在 中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 16. 如图，在正五边形中，，点M是的中点，连接，点P在边上（不与点C重合），将 沿折叠得到 ，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正五边形的性质、轴对称性质、三角形相似，考查推理能力、几何直观、运算能力． 根据，可得点Q在以D为圆心，2 为半径的圆上， 连接，交圆D 于点Q，此时最短． 【详解】解：∵五边形的内角和为 ． ∵， ∴点Q在以D为圆心，2 为半径的圆上， 如图，连接，交圆D于点Q，此时最短， 此时点 B，P 重合，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 忠县某校初一李老师开车从学校出发，规定以学校为原点，向北为正方向，行驶记录如下（单位：千米） ， ，，，， ，，． （1）该老师最终停留的地方在学校的哪个方向？距离学校多远？ （2）汽车行驶每千米耗油 升，每升7元，则该老师整个路程共耗油多少元？ 【答案】（1）该老师最终停留的地方在学校的正南方，距离学校30千米 （2）该老师整个路程共耗油元 【解析】 【分析】本题主要考查有理数加减及乘法的应用，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键． （1）根据题意可把行驶记录的数据都加起来，若结果为正，则老师在学校的正北方，若结果为负，则老师在学校的正南方，进而问题可求解； （2）先求出记录数据的绝对值之和，即求出总路程，再利用总路程乘以每千米的油耗求出总油耗，最后乘以油的单价即可得到答案． 【小问1详解】 解： 千米； 答：该老师最终停留的地方在学校的正南方，距离学校30千米； 【小问2详解】 解：由题意得： 千米， ∴（元）； 答：该老师整个路程共耗油元． 18. （1）先化简，再求代数式的值，其中． （2）解关于的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同．求这两个方程组的公共解． 【答案】(1)， ；(2) 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，二元一次方程组的同解问题，熟练掌握相应的解决方法是解题的关键． （1）先根据分式的混合运算法则，进行化简，根据特殊角的三角函数值求出的值，再代入化简后的分式中计算即可； （2）根据同解方程组的特征，组合即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； ∵， ∴原式． （2）由同解方程组的特征得，方程组的解和方程组的解与方程组的解也相同， 由得，， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴方程组的解为． 19. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题． （1）求______，并补全条形统计图． （2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？ （3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）200， 补全统计图： （2）312名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜爱篮球的人数和所占的百分比即可求出，然后求出喜欢乒乓球的人数即可； （2）用该校的总人数乘以最喜爱乒乓球的学生的人数所占的百分比即可； （3）画出树状图即可解决问题． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式． 【小问1详解】 解： （名， 喜欢乒乓球的人数； （名， 故答案为：200； 【小问2详解】 解： （名， 答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名； 【小问3详解】 解：画树状图得： 一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种， 恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 20. 已知为的直径，与相切于点A，弦于点M，． （1）求证：为的切线； （2）若 ，，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：连接，． 与相切于点A， ， ，，， ． ， 为半径， 为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，．利用切线的性质得到 ，证明，利用切线的判定和全等三角形的性质即可证明为的切线； （2）利用直角三角形性质得到，进而得到 ，结合垂径定理得到 ，证明，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 与相切于点A， ， ，， ， ， ， 在 中，， ∴ 于点M， ， 在 利 中， ， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，垂径定理，等边三角形性质和判定，扇形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 21. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点 ； （2）根据表中数据，从和 中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ 【小问3详解】 解：将代入得： ∴估计这个人身高 22. 小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得 ， ∵ ， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 23. 已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转． （1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若，，，求的度数； （3）若，点M是边的中点，连接，与交于点O，当三角板的一边与重合时（如图2），与交于点N，若，求 的长． 【答案】（1） 解： ； 证明：四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证，即可得出结论；（2）由等腰直角三角形的性质得，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，则，即可解决问题；（3）证，得，则．再由，可得，然后证，得，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在等腰直角三角形中，， 由勾股定理得，， ， ， ，， ， ， ， 在等腰直角三角形中， ， ． 【小问3详解】 解：四边形是正方形， ，，， M是边的中点， ， 在中，， ， ，， ， ， ． ， ， 正方形中， ，等腰直角三角形中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 24. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，当时， ， ∴，抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴ ， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 在 中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $