6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 [课时跟踪检测] 1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 (　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 解析:选B　灯塔A,B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°,即北偏西10°.故选B. 2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为 (　　) A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 解析:选D　如图所示,由余弦定理可得,AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700,∴AC=10(km). 3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 (　　) A. n mile/h B.34 n mile/h C. n mile/h D.34 n mile/h 解析:选A　如图所示,在△PMN中,=,∴MN==34.∴v==(n mile/h).故选A. 4.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为 (　　) A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m 解析:选C　如图,设O为建筑物的顶端A在地面的射影,在Rt△BOD中,∠ODB=30°,OB=20,BD=40,OD=20.在Rt△AOD中,OA=OD·tan 60°=60.∴AB=OA-OB=40.故选C. 5.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径的长度为 (　　) A.50 m B.50 m C.50 m D.50 m 解析:选B　设该扇形的半径为r,连接CO,如图所示.由题意,得CD=150(m),OD=100(m),∠CDO=60°,在△CDO中,由余弦定理得,CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2,即1502+1002-2×150×100×=r2,解得r=50(m). 6.小华想测出操场上旗杆OA的高度,在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据①BC=12 m.②B处的仰角60°.③C处的仰角45°.④cos∠BAC=.⑤∠BOC=30°中选取合适的,计算出旗杆的高度为 (　　) A.10 m 　B.12 m C.12 m 　D.12 m 解析:选D　选①②③⑤,如图所示,则∠ABO=60°,∠ACO=45°,设OA=x,则OC=OA=x,OB= .在△BOC中,利用余弦定理BC2=122=x2+-2x··, 解得x=12,即OA=12 m,故选D. 7.(5分)如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为　　　　 km. 解析:在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理=,得AB===(km). 答案: 8.(5分)台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为　　　　 h. 解析:设t h时,B市恰好处于危险区,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40×cos 45°=302.化简,得4t2-8t+7=0,∴t1+t2=2,t1t2=.从而|t1-t2|==1(h). 答案:1 9.(5分)如图,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据得cos θ=　　　　. 解析:∵∠DBC=45°,∠DAC=15°,∴∠BDA=30°.在△ABD中,由正弦定理有=,即=,即BD=100sin 15°=100×=25(-).在△BCD中,由正弦定理有=,即=,所以sin∠BCD=-1, 因此cos θ=sin(π-∠BCD)=sin∠BCD=-1. 答案:-1 10.(10分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.如图所示. (1)求A,C两地的距离.(6分) (2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)(4分) 解:(1)由题意,设AC=x m, 则BC=x-×340=(x-40)m. 在△ABC中,由余弦定理,得 BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC, 即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420. 所以A,C两地间的距离为420 m. (2)在Rt△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°, 所以CH=ACtan∠CAH=140 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 11.(10分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1 km处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12 km的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格? 解:如图所示,考点为A,检查开始处为B, 设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公路上C,D两点到考点的距离为1 km. 在△ABC中,AB=(km), AC=1(km),∠ABC=30°, 由正弦定理,得sin∠ACB=×AB=, ∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意). ∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1(km). 在△ACD中,AC=AD=1,∠ACD=60°, ∴△ACD为等边三角形.∴CD=1(km). ∵×60=5,∴在BC上需5 min,CD上需5 min. ∴最长需要5 min检查员开始收不到信号,并持续至少5 min才算合格. 12.(10分)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上. (1)求渔船甲的速度;(5分) (2)求sin α.(5分) 解:(1)依题意,知∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10. 在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos 120°=196,解得BC=14,v甲==7 n mile/h, 所以渔船甲的速度为7 n mile/h. (2)在△ABC中,AB=6,∠BAC=120°,BC=14,∠BCA=α.由正弦定理,得=, 即sin α===. 学科网（北京）股份有限公司 $