第三章 圆——三角形的外接圆与外心 专项训练 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

三角形的外接圆与外心精选题44道 一．选择题（共17小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数yx位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是（　　） A． B．2 C．2 D．2 2．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 3．有下列四个命题，其中正确的有（　　） ①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（　　） A．60° B．62° C．72° D．73° 5．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是（　　） A．（9，3） B．（9，6） C．（10，3） D．（10，6） 6．如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．16π 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　） A．4 B．7 C．8 D． 8．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（　　） A．41° B．45° C．49° D．59° 9．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（　　） A．36° B．33° C．30° D．27° 10．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（　　） A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 12．如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（　　） A．40° B．55° C．70° D．110° 13．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．π C．π D．π 14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是（　　） A．π B．π C．π D．π 15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（　　） A． B． C．π D． 16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝72°．过点O作BC的垂线交于点D，连接BD，则∠D的度数为（　　） A．64° B．54° C．46° D．36° 17．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共19小题） 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为　 　 ． 19．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是　 　 ． 20．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 　 　 cm． 21．如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝　 　 ． 22．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．若OE＝2，DF＝1，则△ABC的周长为　 　 ． 23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE＝2，则BC＝　 　 ． 24．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于　 　 ． 25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝　 　 °． 26．如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 　 　 ． 27．已知⊙O的直径AB为4cm，点C是⊙O上的动点，点D是BC的中点，AD延长线交⊙O于点E，则BE的最大值为 　 　 ． 28．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 　 　 ． 29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝　 　 ． 30．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若，则AD的最小值为 　 　 ． 31．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为　 　 ． 32．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝6，则⊙O的半径为 　 　 ． 33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝4，则⊙O的半径是 　 　 ． 34．如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为 　 　 ． 35．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为　 　 ． 36．如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 37．如图，△ABC内接于⊙O，连结AO交CB于点D，交⊙O于点E，已知∠1+∠2＝90°． （1）求证：； （2）若CD＝3，AC＝4，求AB的长； （3）若CA＝CB，设⊙O的半径为r，求△ABC的面积（用含r的代数式表示）． 38．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE． （1）求证：CD⊥AB； （2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长． 39．如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC，⊙O是△ACD的外接圆． （1）求BC的长； （2）求⊙O的半径． 40．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG． （1）求证：∠CAG＝∠ABE； （2）求证：CG＝CD； （3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长． 41．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连接EF并延长交AC于点G，连接BE，BD，四边形BDGE是平行四边形． （1）求证：AB＝BF． （2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长． 42．在△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO． （1）求证：AD⊥BC． （2）若AO∥CD． ①求证：CA＝CF． ②若CD＝5，，求BC的长． 43．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE． （1）求证：∠AEB＝∠AFD； （2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长． 44．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB； （2）若AGGE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明． 三角形的外接圆与外心精选题44道 参考答案与试题解析 一．选择题（共17小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C A C B C A B B 题号 12 13 14 15 16 17 答案 B D C D B C 一．选择题（共17小题） 1．【解答】解：∵点A在一次函数yx图象上， ∴tan∠AOB， 作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，四边形AHGD是矩形， ∴PG⊥AB，GH＝AD＝1， ∵∠APB＝2∠AOB，∠APG∠APB，AHABDG， ∴∠APH＝∠AOB， ∴tan∠APH＝tan∠AOB， ∴， ∴PH＝1， ∴PG＝PH+HG＝1+1＝2， ∴PD， OP＝PA2， 在△OPD中，OP+PD≥OD， ∴OD的最大值为OP+PD＝2， 故选：B． 2．【解答】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是△BCE的外心． 故选：D． 3．【解答】解：①圆的对称轴是直径所在的直线；故此选项错误； ②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确． 故选：C． 4．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠D+∠C＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠C＝108°， ∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°， 故选：C． 5．【解答】解：∵点A（8，0），O（0，0），B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， 过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，延长FP交⊙P于点D，此时点 D 到弦OB的距离最大， ∴四边形PFOE是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦OB的距离最大为PF+OD＝4+5＝9， ∴点D的坐标为（9，3）， ． 故选：A． 6．【解答】解：如图，连接OD、OB、OC，OD交BC于点H． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°，∠BDC＝120°， ∵D是弧BC中点， ∴OD⊥BC，BH＝CHBC＝2，∠BOD＝60°， ∴OB4， ∵OB＝OD，∠BOD＝60°， ∴△BOD为等边三角形， ∴BD＝OB＝4， ∴S， 故选：C． 7．【解答】解：如图，连接CD，在△AEB和△DEC中， ， ∴△AEB≌△DEC（ASA）， ∴EB＝EC， ∵BC＝CE， ∴BE＝CE＝BC， ∴△EBC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 如图，作BM⊥AC于点M， ∵OF⊥AC， ∴AF＝CF， ∵△EBC为等边三角形， ∴∠GEF＝60°， ∴∠EGF＝30°， ∵EG＝2， ∴EF＝1， ∵AE＝ED＝3， ∴CF＝AF＝4， ∴AC＝8，EC＝5， ∴BC＝5， ∵∠BCM＝60°， ∴∠MBC＝30°， ∴CM，BMCM， ∴AM＝AC﹣CM， ∴AB7． 故选：B． 8．【解答】解：∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∵∠DBA＝∠DCA＝41°， ∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°， 故选：C． 9．【解答】解：连接BD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∵∠BCD＝54°， ∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°， ∴∠A＝∠D＝36°． 故选：A． 10．【解答】解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF． 故选：B． 11．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴∠ABO+∠ACO＝180°， ∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB为⊙D的直径， ∴D点为AB的中点， 在Rt△ABO中，∠ABO＝60°， ∴OBAB＝2， ∴OAOB ∴A（，0），B（0，2）， ∴D点坐标为（，1）． 故选：B． 12．【解答】解：连接OB，OC， ∵∠D＝70°， ∴∠BOC＝2∠D＝140°， ∵OA⊥BC， ∴∠COA， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°， 故选：B． 13．【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：OA2＝12+22＝5， OC2＝12+22＝5， AC2＝12+32＝10， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°， ∵AO＝OC， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积 OA•OCAB•1 2×1 1 ， 故选：D． 14．【解答】解：∵OA＝OC，∠CAO＝40°， ∴∠CAO＝∠ACO＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠40°﹣40°＝100°， ∵∠ACB＝70°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝140°， ∴∠BOC＝360°﹣100°﹣140°＝120°， ∴阴影部分的面积是π． 故选：C． 15．【解答】解：过点O作OD⊥AB于D， 则AD＝DBAB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴∠AOD＝60°， ∴OA2， ∴的长， 故选：D． 16．【解答】解：连接CD， ∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝72°， ∴∠CDB+∠A＝180°， ∴∠BDC＝180°﹣∠A＝108°， ∵OD⊥BC， ∴E是边BC的中点， ∴BD＝CD， ∴∠ODB＝∠ODC∠BDC＝54°． 故选：B． 17．【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC， ∵⊙O是等边△ABC的外接圆， ∴OB平分∠ABC， ∴∠OBE＝30°， 又∵OE⊥BC， ∴BEBCAB， 在Rt△OBE中，cos30°， ∴， 解得：OB， 故选：C． 二．填空题（共19小题） 18．【解答】解：连接CD，如图所示： ∵∠B＝∠DAC， ∴， ∴AC＝CD， ∵AD为直径， ∴∠ACD＝90°， 在Rt△ACD中，AD＝4， ∴AC＝CDAD4＝2， 故答案为：2． 19．【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故答案为：． 20．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ADB＝∠ACB＝60°， 在Rt△ABD中，AD＝6cm， ∴AB＝AD•sin60°＝63（cm）， 故答案为：3． 21．【解答】解：如图，连接CD、OC． ∵∠DAC＝∠ABC， ∴， ∴AC＝CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC＝CD＝4， ∴ADAC＝4． 故答案为：4． 22．【解答】解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO． ∵BC、OE互相平分， ∴四边形BECO为平行四边形， ∵OB＝OC， ∴四边形BECO为菱形， ∴， ∵OE＝2， ∴Rt△BOD中，tan∠OBD， ∴∠OBD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠BAE＝∠EAC＝30°， ∵CF⊥AE， ∴F为GC中点，△AGC为等边三角形， ∴BG＝2DF＝2， 在Rt△BCH中，BH2+HC2＝BC2， ∴（2+GH）2+（）2＝62， 解得GH（舍去）或GH， ∴AG＝AC＝﹣1， ∴△ABC的周长为6+2． 故答案为：6+2． 23．【解答】解：∵OD⊥AB， ∴AD＝DB， ∵OE⊥AC， ∴AE＝CE， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∴BC＝2DE＝2×2＝4． 故答案为：4 24．【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴AB＝2，AC，BC， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴连接OC，则∠COB＝90°， ∵OB， ∴的长为：π， 故答案为：π． 25．【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠D＝55°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°， 故答案为：35． 26．【解答】解：如图，取AB的中点，过点D作DE⊥AB交AB于点D，交CF于点E，则圆心O在DE上，在取DE上取圆心O，连接OB，OC， 根据题意得：DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC， ∵OB2＝OD2+BD2，OC2＝OE2+CE2， ∴OD2+BD2＝OE2+CE2， ∴， 解得：， 即圆心O到AB的距离为． 故答案为：． 27．【解答】解：如图，连接OD， 因为CD＝DB，所以OD⊥BC， 所以∠ODB＝90°． 所以点D在以OB 为直径的圆上运动． 以OB为直径作⊙K，当直线AE切⊙K于D时，BE的值最大． ∵AE是⊙K的切线， ∴DK⊥AE， ∴∠ADK＝90°， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ADK＝∠AEB， ∴DK∥BE， ∴， ∴， ∴BE， 故答案为． 28．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长． ∠AOB＝360°÷3＝120° 连接OA，OB，作OC⊥AB于点C， ∵OA＝OB， ∴AB＝2AC，∠AOC＝60°， ∴AC＝OA×sin60°＝63， ∴AB＝2AC＝6， 故答案为：6． 29．【解答】解：连接OB，如图， ∵∠ACB＝25°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝50°， ∵OA＝OB， ∴， ∵OA∥CB， ∴∠OAC＝∠ACB＝25°， ∴∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC＝40°， 故答案为：40°． 30．【解答】解：∵， ∴∠ACB＝∠CDP． ∵∠ACB＝30°， ∴∠CDP＝30°， ∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°， ∴点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动， 如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N， 连接MB，MC，NB，NC，AM，MD， 则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°， ∴∠BMC＝60°， ∵BM＝CM， ∴△BMC为等边三角形， ∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝6， ∵∠ACB＝30°， ∴∠ACM＝90°， ∴AM2， ∴当A、D、M三点共线时，AD最小， 此时，AD＝AM﹣MD＝26． 故答案为：26． 31．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠CBD＝21°， ∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°． 故答案为：69° 32．【解答】解：如图，连接CO和BO， ∵∠A＝45°，CD⊥AB于点D，AB＝8，CD＝6， ∴∠ACD＝∠A＝45°， AD＝CD＝6， BD＝AB﹣AD＝8﹣6＝2， ∴， ∵∠A＝45°， ∴∠COB＝90°，（同弧所对圆周角是圆心角的一半） 又∵CO＝BO， ∴△BCO是等腰直角三角形， ∴， 故答案为： 33．【解答】解：作直径CD，如图，连接BD， ∵CD为直径， ∴∠CBD＝90°， ∵∠D＝∠A＝60°， ∴BDBC44， ∴CD＝2BD＝8， ∴OC＝4， 即⊙O的半径是4． 故答案为：4． 34．【解答】解：作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，如图所示， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OD⊥BC， ∴∠BOD＝60°，OB＝7，BD＝CD， ∴BD＝BO•sin∠BOD＝7×sin60°＝7， ∴BC＝2BD＝7， 故答案为：7． 35．【解答】解：如图， ∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）． ∴PA＝PB， ∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心， ∴PC＝PA＝PB， 则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）． 36．【解答】解：如图，连接OA，OB， 在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴ABOA． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 37．【解答】（1）证明：如图1， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠1+∠AEC＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠AEC＝∠2， ∴CD＝CE， ∵tan∠1， ∴； （2）解：如图2，过点C作CM⊥AE于M， ∵CD＝CE＝3，AC＝4，∠ACE＝90°， ∴AE5， ∴S△ABE3×45CM， ∴CM， 由勾股定理得：EM， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DE＝2EM， ∴AD＝5， ∵∠ADB＝∠2，∠B＝∠E，∠2＝∠E， ∴∠ADB＝∠B， ∴AB＝AD； （3）解：如图3，连接CO并延长交AB于F，连接OB， ∵CA＝CB， ∴，∠CAB＝∠CBA， ∴CF⊥AB， ∴∠AFO＝∠BFO＝90°，AF＝BF， 由（2）知：∠2＝∠E＝∠ADB＝∠CBA， ∴∠DCE＝∠ACB， ∴， ∴∠AOB＝∠EOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 在Rt△AOB中，AF＝BF， ∴OFAB＝AF＝BF， 设AF＝a，则OF＝a， ∵OA2＝AF2+OF2， ∴r2＝a2+a2， ∴ra， ∵S△ABC•AB•CF， ∴S△ABC•2a（a+r）＝a2+ay． 38．【解答】（1）证明：∵FA＝FE， ∴∠FAE＝∠AEF， ∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角， ∴∠FAE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠CEB， ∴∠CEB＝∠BCE， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：由（1）知，∠CEB＝∠BCE， ∴BE＝BC， 又∵FA＝FE，FM⊥AB， ∴MA＝ME＝MO+OE＝2，AE＝4， ∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3， ∴BE＝BC＝OB﹣OE＝2， 在△ABC中．AB＝2OA＝6，BC＝2， ∴． 39．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD， ∴， ∵，D为AB中点， ∴， ∴BC2＝16， ∴BC＝4； （2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF， ∵在Rt△AED中，，， ∴DE＝1， ∴， ∵△BAC∽△BCD， ∴， 设CD＝x，则ACx，CE＝x﹣1， ∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2， ∴，即x2+2x﹣8＝0， 解得x＝2，x＝﹣4（舍去）， ∴CD＝2，AC， ∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角， ∴∠AFC＝∠ADC， ∵CF为⊙O的直径， ∴∠CAF＝90°， ∴， ∴，即⊙O的半径为． 40．【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∴∠CAG+∠BAG＝90°， ∵AD⊥BE， ∴∠AGB＝90°， ∴∠BAG+∠ABE＝90°， ∴∠CAG＝∠ABE； （2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE， 由（1）知，∠CAG＝∠ABE， ∵∠CBE＝∠ACG， ∴∠CGD＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠D， ∴∠DGC＝∠D， ∴CG＝CD； （3）解：连接AE、CE， ∵BC是直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠AGE＝∠BEC， ∴AD∥CE， ∵∠CAE＝∠EBC， ∠ACG＝∠EBC， ∴∠CAE＝∠ACG， ∴AE∥CG， ∴四边形AGCE是平行四边形， ∴AFAC， ∵AC2＝BC2﹣AB2， ∴AC242， ∴AC＝6， ∴AF6＝3， ∵BF2＝AF2+AB2， ∴BF2＝32+42， ∴BF＝5， ∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF， ∴△BAG∽△BFA， ∴BA：BF＝BG：BA， ∴4：5＝BG：4， ∴BG， ∵FG＝BF﹣BG， ∴FG＝5． 41．【解答】解：（1）连接AF， ∵AE是⊙O的直径， ∴AF⊥EG， ∵四边形BDGE是平行四边形， ∴BD∥EG， ∴BD⊥AF， ∵∠BAC＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴BD垂直平分AF， ∴AB＝BF； （2）∵当F为BC的中点， ∴BFBC， ∵AB＝BF， ∴ABBC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°，ABAC， ∵AB＝BF， ∴∠ABD＝30°， ∴BD＝2， ∴⊙O的直径长为2． 42．【解答】（1）证明：延长AO交⊙O于点M，连结CM，如图， ∵AM为⊙O的直径， ∴∠ACM＝90°， ∴∠BCM+∠ACE＝90°， ∵∠BCM＝∠BAO， ∴∠BAO+∠ACE＝90°， ∵∠CAD＝∠BAO， ∴∠CAD+∠ACE＝90°， 即∠AEC＝90°， ∴AD⊥BC； （2）①证明：∵AO∥CD， ∴∠FAE＝∠D， ∵∠D＝∠B， ∴∠FAE＝∠B， ∵∠CAF＝∠CAE+∠FAE，∠FAB+∠B＝∠AFC， 又∵∠CAD＝∠BAO，即∠CAE＝∠FAB， ∴∠CAF＝∠AFC， ∴CA＝CF； ②解：∵∠CAD＝∠FAB，∠D＝∠B， ∴△ACD∽△AFB， ∴， 设AC＝5a，则AFa， 由①知CF＝CA， ∴CF＝5a， 设CE＝x，则EF＝5a﹣x， 由（1）知AD⊥BC， ∴AE2＝AC2﹣CE2，AE2＝AF2﹣EF2， ∴AC2﹣CE2＝AF2﹣EF2， ∴， ∴x＝4a， 即CE＝4a，EF＝a， ∴， ∵∠FAE＝∠B，∠AEF＝∠BEA， ∴△AEF∽△BEA， ∴， 即AE2＝EF•EB， ∴， 解得， ∴CF＝5a， ∴BC＝CF+BF． 43．【解答】（1）证明：∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADF＝90°， ∴∠AFD+∠FAD＝90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠FAD， ∴∠AEB＝∠AFD； （2）解：如图，过点F作FM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB， ∴∠BFE＝∠AEB， ∴BF＝BE＝5， ∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF， ∴△AMF∽△ABE， ∴， 即， 设MF＝x，则AM＝2x， ∴BM＝10﹣2x， ∵BM2+MF2＝BF2， ∴（10﹣2x）2+x2＝52， 解得x＝3， 即MF＝3， ∵AE平分∠ABD，AD⊥BC， ∴DF＝MF＝3． 44．【解答】（1）证明：∵BF∥AD， ∴∠ADB＝∠DBF， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠DBF＝∠ACB； （2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°． 理由如下： 作OM⊥DC于点M，连接OC． ∵AD∥BF， ∴AB＝DF， ∵F为CD中点， ∴CF＝DF＝AB， ∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF， ∵AC⊥BD于G， ∴∠BGC＝∠AGD＝90°， ∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°， ∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°， ∵OD＝OC， ∴∠ODM＝30°， 设GE＝x，则AGx， ∴DGx，BGx，GC＝3x，DCx，DMx，ODx， ∴DG＝OD， ∴2∠GOD+∠ODG＝180°， ∵∠ADB+∠ODC＝60°， ∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°， 即2∠GOD+∠ADC＝240°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/27 9:43:11；用户：真理实验学校；邮箱：zhenli@jyeoo.com；学号：55633728 第1页 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