第三章 圆——三角形的内切圆与内心 专项训练 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

三角形的内切圆与内心精选题40道 一．选择题（共16小题） 1．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（　　） A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 2．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　） A．15° B．17.5° C．20° D．25° 3．如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（　　） A． B． C． D． 4．如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝84°，则∠D的度数为（　　） A．42° B．66° C．76° D．82° 5．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．4﹣π D． 6．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，点M、N分别在线段DE、DF上，且MN与⊙O相切．若△MBN的面积为6，则⊙O的半径为（　　） A．2 B． C．2 D． 7．如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（　　） A． B． C． D．5 8．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 9．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．19 B．17 C．22 D．20 10．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　　） A．65° B．60° C．58° D．50° 11．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　） A．35° B．55° C．70° D．125° 12．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　） A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0， 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A．56° B．62° C．68° D．78° 14．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　） A．h＝R+r B．R＝2r C．ra D．Ra 15．如图，I为△ABC的内心，有一直线通过I点且分别与AB、AC相交于D点、E点．若AD＝DE＝5，AE＝6，则I点到BC的距离为何？（　　） A． B． C．2 D．3 16．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共15小题） 17．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　 　 ． 18．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　 　 ． 19．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　 　 步． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 　 　 °． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，AC分别相切于点D，E，DE与BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　 　 ． 22．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为 　 　 ． 23．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝　 　 ． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　 　 ． 25．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为 　 　 ． 26．如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是 　 　 °． 27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 　 　 ． 28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 　 　 ． 29．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，若∠BDE+∠CFE＝110°，则∠A的度数是 　 　 °． 30．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　 　 ． 31．若△ABC的三边长为3，4，5，则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为　 　 ． 三．解答题（共9小题） 32．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）已知AG＝8，，点I为△ABC的内心，求GI的长． 33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F． （1）求证：BC∥EF； （2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 34．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明； （3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长． 35．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC＝80°，求∠BOC的度数． 36．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3． （1）求证：CD＝DE； （2）求BD的长； （3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长． 37．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE． （1）求证：DB＝DE； （2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长． 38．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD＝2BD． 39．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）已知AG＝6，，点I为△ABC的内心，求GI的长． 40．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长． 三角形的内切圆与内心精选题40道 参考答案与试题解析 一．选择题（共16小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D B C D A C D B C 题号 12 13 14 15 16 答案 D C C A D 一．选择题（共16小题） 1．【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12， ∴AB2+CA2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∵AB、AC与⊙O分别相切于点F、E， ∴OF⊥AB，OE⊥AC， ∴四边形OFAE为正方形， 设OE＝r， 则AE＝AF＝r， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， ∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r， ∴5﹣r+12﹣r＝13， ∴r2， ∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4． 故选：A． 2．【解答】解：连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝70°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝140°， ∵OB＝OC， ∴， 故选：C． 3．【解答】解：设AD＝x， ∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点， ∴BD＝BE＝1， ∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4， 在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x， 即AD的长度为． 故选：D． 4．【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵点O是△ABC的内心，∠A＝84°， ∴OB，OC是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠OBCABC，∠OCBACB， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°A＝132°， ∵点O也是△DBC的外心， ∴∠DBOC＝66°， 则∠D的度数为66°． 故选：B． 5．【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10， ∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F， ∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r， ∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO ∴， ∴r2， ∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE ∴四边形OFCE是正方形， ∴∠FOE＝90°， ∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝44﹣π， 故选：C． 6．【解答】解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a， ∵AD、CD、MN是切线， ∴AE＝DE＝DF＝CF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y， 在Rt△DMN中， ∵MN＝x+y，DN＝a﹣y，DM＝a﹣x， ∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2， ∴ax+ay+xy＝a2， ∵S△BMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN＝6， ∴4a22a×（a+x）（a﹣x）（a﹣y）2a×（a+y）＝6， ∴a2（ax+ay+xy）＝6， ∴a2＝6， ∴a， ∴AB＝2a＝2， ∴⊙O的半径为， 故选：D． 7．【解答】解：连接BD、CD、BI， ∵I为△ABC 内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， ∴， ∴BD＝CD＝4， ∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝∠DAB+∠ABI＝∠BID， ∴ID＝BD＝4， ∵OI⊥AD， ∴AD＝2ID＝8， ∴AB， 连接OD交BC于点E，则OD⊥BC， 设DE＝x，则OEAB﹣x＝2x， ∵OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2， ∴（2）2﹣（2x）2＝42﹣x2， 解得：x， ∴BE， ∴BC＝2BE， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC， 故选：A． 8．【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝DF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴内切圆的半径（AC+BC﹣AB）＝1， ∴CG＝1， ∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6． 故选：C． 9．【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝DF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴AB13， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴内切圆的半径（AC+BC﹣AB）＝2， ∴CG＝2， ∴AG＝AC﹣CG＝12﹣2＝10， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝20． 故选：D． 10．【解答】解：如图，连接OE，OF． ∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点， ∴OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠OEB＝∠OFB＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠EOF＝120°， ∴∠EPF∠EOF＝60°， 故选：B． 11．【解答】解：连接OD，OF，OA，如图所示， ∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F， ∵∠DEF＝55°， ∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°（圆心角是圆周角的2倍）， ∵在三角形AOD与三角形AOF中， ∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360°， ∵AD，AF是圆的切线， ∴∠ADO＝∠AFO＝90°， ∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°， 故选：C． 12．【解答】解：如图，连接IF，IE． ∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC， ∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°， ∴∠EIF＝180°﹣α， ∴∠EDF∠EIF＝90°α． 故选：D． 13．【解答】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA， ∵∠AIC＝124°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB） ＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA） ＝180°﹣2（180°﹣∠AIC） ＝68°， 又四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE＝∠B＝68°， 故选：C． 14．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O， 设OE＝r，AO＝R，AD＝h， ∴h＝R+r，故A正确； ∵AD⊥BC， ∴∠DAC∠BAC60°＝30°， 在Rt△AOE中， ∴R＝2r，故B正确； ∵OD＝OE＝r， ∵AB＝AC＝BC＝a， ∴AEACa， ∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2， ∴r，Ra，故C错误，D正确； 故选：C． 15．【解答】解：连接AI，作IG⊥AB于点G，IJ⊥BC于点J，作IH⊥AC于点H，作DF⊥AE于点F，如图所示， ∵AD＝DE＝5，AE＝6，DF⊥AE， ∴AF＝3，∠AFD＝90°， ∴DF4， 设IH＝x， ∵I为△ABC的内心， ∴IG＝IJ＝IH＝x， ∵S△ADE＝S△ADI+S△AEI， ∴， 解得x， ∴IJ， 即I点到BC的距离是， 故选：A． 16．【解答】解：连接OD、OE、OB，OB交DE于H，如图， ∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F， ∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD， 设BE＝a， ∵AB＝6，AC＝5，BC＝7， ∴AD＝AF＝6﹣a，CF＝CE＝7﹣a， ∵AF+CF＝AC＝5， ∴6﹣a+7﹣a＝5， 解得：a＝4， ∴BE＝BD＝4． ∴AF＝AD＝2，CF＝CE＝3， 设⊙O的半径为r， 由海伦公式得：S，其中p， 由三角形内切圆可知：S△ABCC△ABC•r， ∴S△ABC＝p•r， ∵AB＝6，AC＝5，BC＝7， ∴p（6+5+7）＝9， ∴S△ABC6， ∴r， ∴OE， ∴OB， ∵BE＝BD，OE＝OD， ∴OB垂直平分DE， ∴DH＝EH，OB⊥DE， ∵HE•OBOE•BE， ∴HE4， ∴HE， ∴DE＝2EH． 故选：D． 二．填空题（共15小题） 17．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE，OD， 则四边形EODC为正方形， ∴OE＝OD＝3， ∴AC+BC﹣AB＝6， ∴AC+BC＝AB+6， ∴（AC+BC）2＝（AB+6）2， ∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36， 而BC2+AC2＝AB2， ∴2BC×AC＝12AB+36①， ∵小正方形的面积为49， ∴（BC﹣AC）2＝49， ∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②， 把①代入②中得 AB2﹣12AB﹣85＝0， ∴（AB﹣17）（AB+5）＝0， ∴AB＝17（负值舍去）， ∴大正方形的面积为 289． 故答案为：289． 18．【解答】解：∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF， ∵△ABC的周长为14， ∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14， ∴2（BE+CE）＝10， ∴BC＝5． 故答案为：5． 19．【解答】解：如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt△ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、F， 连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r， ∵AC、BC与⊙O相切， ∴OD⊥BC，OE⊥AC， ∴四边形ODCE为矩形， 而CD＝CE， ∴矩形ODCE为正方形， ∴CD＝CE＝OD＝r， ∴BD＝5﹣r，AE＝12﹣r， ∵BD＝BF，AF＝AE， ∴BF＝5﹣r，AF＝12﹣r， ∵AB13， ∴5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2， ∴⊙O的直径为4． 故答案为4． 20．【解答】解：连接DO，FO， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70° ∴∠A＝20°， ∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴∠ODA＝∠OFA＝90°， ∴∠DOF＝160°， ∴∠DEF的度数为80°． 21．【解答】解：连接OD，OE，OC，OC交ED于点G， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点O为△ABC的内切圆的圆心， ∴∠OBC+∠OCB＝50°， ∴∠COB＝130°， ∵OE＝OD， ∴OC垂直平分DE， ∴∠OGE＝90°， ∴∠BFD＝∠COB﹣∠OGF＝130°﹣90°＝40°， 故答案为：40°． 22．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝140°， ∴∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝110°， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠IBC+∠ICB＝55°， ∴∠BIC＝125°． 故答案为：125°． 23．【解答】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1∠ABC，∠2∠BCD，∠3∠ADC，∠4∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4（∠BAD+∠ADC）236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 24．【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E， ∴AD＝AE，∠ABF＝∠CBF∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠A）， ∴∠BFD＝∠ADE﹣∠ABF（180°﹣∠A）∠ABC（180°﹣∠A﹣∠ABC）， ∵180°﹣∠A﹣∠ABC＝∠ACB＝58°， ∴∠BFD58°＝29°， 故答案为：29°． 25．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D． 设AD＝x，则BD＝8﹣x． 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2． ∴72﹣x2＝52﹣（8﹣x）2． 解得：x＝5.5． ∴CD． 由△ABC的面积（AB+BC+AC）×r可知：． 解得：r． 故答案为：． 26．【解答】解：∵点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°， ∴∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°， ∴∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°， ∴∠ICA∠ACB20°． 故答案为：20． 27．【解答】解：连接DO，EO， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3， 又∵∠C＝90°， ∴四边形OECD是矩形， 设EC＝CD＝x， 在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2， 故（x+2）2+（x+3）2＝52， 解得：x＝1（负值舍去）， ∴BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC3×4＝6， 故答案为：6． 28．【解答】解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG， ∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB5， ∴四边形CEOF是正方形， 设正方形CEOF的边长为x， 则BE＝BG＝3﹣x，AF＝AG＝4﹣x， 根据题意，得 3﹣x+4﹣x＝5， 解得x＝1， ∴OC， ∵CD⊥l， ∴∠CDO＝90°， ∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图， 连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P， 当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值， ∴CP＝QP， ∴AP＝AC﹣CP＝4，圆Q的半径QD， ∴QA， ∴AD的最小值为AQ﹣QD2． 故答案为：2． 29．【解答】解：连接OD，OE，OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠ODB＝∠ODA＝90°，∠CFO＝∠AFO＝90°， ∵∠BDE+∠CFE＝110°， ∴∠ODE+∠OFE＝180°﹣110°＝70°， ∵OD＝OE，OF＝OE， ∴∠OED＝∠ODE，∠OFE＝∠OEF， ∴∠OED+∠OEF＝∠ODE+∠OFE＝70°， ∴∠DEF＝70°， ∴∠DOF＝2∠DEF＝140°， ∴∠A＝360°﹣∠ADO﹣∠AFO﹣∠DOF＝40°， 故答案为：40． 30．【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝110°， ∵点O为△ABC的内切圆的圆心， ∴∠OAB+∠OBA＝55°， ∴∠AOB＝125°， ∵OE＝OD，BD＝BE， ∴OB垂直平分DE， ∴∠OGE＝90°， ∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°， 故答案为：35°． 31．【解答】解： ∵32+42＝52， ∴△ABC为直角三角形， ∴斜边＝5． ∴Rt△ABC的外接圆的半径为5＝2.5． ∵三角形ABC的面积三角形ABC的周长×内切圆半径， ∴3×4（3+4+5）r． 解得：r＝1． ∴△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差＝2.5﹣1 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 32．【解答】（1）证明：连接OG， ∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G， ∴∠BAG＝∠CAG， ∴， ∴OG⊥BC， ∵DE∥BC ∴OG⊥EF， ∵OG是⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）解：连接BI，BG， ∵点I为△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC， ∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI， ∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC， ∴∠BAI＝∠CBG， ∴∠BIG＝∠GBI， ∴BG＝IG， ∵BC∥DE， ∴△ABF∽△ADG， ∴， ∵AG＝8， ∴AF＝6， ∴FG＝2， ∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG， ∴△BGF∽△AGB， ∴， ∴， ∴BG＝4（负值舍去）， ∴GI的长为4． 33．【解答】（1）证明：连接OE，交BC于点G， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， 又∵D为△ABC 的内心， ∴∠OAE＝∠CAE， ∴∠OEA＝∠CAE， ∴OE∥AC， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BGO＝90°， 又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径， ∴∠FEO＝90°， ∴∠BGO＝∠FEO， ∴BC∥EF； （2）解：∵， ∴∠AEC＝30°， ∴∠ABC＝∠AEC＝30°， ∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°， ∴EF＝OE•tan60°＝2， ∴S阴影部分＝S△EFO﹣S扇形BOE ． 34．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， 又∵∠ABC＝25°， ∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°， ∵四边形ABEC是⊙O内接四边形， ∴∠CEB+∠CAB＝180°， ∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°； （2）DI＝AD＝BD， 连接AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI，， ∴， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD， ∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA， ∴DI＝AD＝BD； （3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心， ∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， ∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP， ∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°， ∴CF＝CI•cos45°＝2＝CP， ∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°， ∴， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC ＝AB+AF+CF+CP+BP ＝AB+AQ+BQ+2CF ＝2AB+2CF ＝2×13+2×2＝30． 35．【解答】解：∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， ∵点O是△ABC的内切圆的圆心， ∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB＝50°， ∴∠BOC＝130°． 36．【解答】解：（1）证明：如图， 连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠ACO+∠ECD＝90°， ∵ED⊥AD， ∴∠A+∠E＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠E＝∠DCE， ∴CD＝DE． （2）方法一： ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝OC＝1， ∵OC⊥CD， ∴由勾股定理可得，CD2＝（1+BD）2﹣12， ∵ED⊥AD， ∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2， ∵CD＝DE， ∴（1+BD）2﹣12＝32﹣（2+BD）2， ∴或（舍去）． 方法二： 由弦切角定理得∠DCB＝∠DAC， ∵∠CDB＝∠ADC， ∴△CDB∽△ADC， ∴，即CD2＝AD•BD＝（2+BD）•BD， ∵ED⊥AD， ∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2， ∵CD＝DE， ∴（2+BD）•BD＝32﹣（2+BD）2， 解得或（舍去）． （3）如图，连接BF，PB，AF， ∵CF平分∠ACB， ∴， ∴AF＝BF， ∵AB为直径，AB＝2， ∴， ∵P为△ABC的内心， ∴∠1＝∠2，∠CBP＝∠ABP， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴∠2+∠CBP＝∠3+∠ABP， ∴∠FPB＝∠FBP， ∴． 方法二： 如图，连接AF，BF，AP， ∵CF平分∠ACB， ∴， ∴∠ACF＝∠ABF＝∠BAF， ∴AF＝BF， ∵AB为直径，AB＝2，∴， ∵P为△ABC的内心，∴AP平分∠CAB， ∴∠CAP＝∠BAP， ∵∠PAF＝∠BAP+∠BAF，∠APF＝∠CAP+∠ACF， ∴∠PAF＝∠APF， ∴． 37．【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE， 又∵∠CAD与∠CBD所对弧为， ∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD． ∵∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD， ∴∠BED＝∠DBE， 故DB＝DE． （2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD， ∴△ABD∽△BFD， ∴①， ∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x， 由（1）可得DB＝DE＝4+x， 则①式化为， 解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符题意，舍去）， 则DB＝4+x＝4+2＝6． 38．【解答】解：（1）∵∠CID＝∠IAD+∠IDA，∠CDI＝∠CDB+∠BDI＝∠BAC+∠IDA＝∠IAD+∠IDA ∴∠CID＝∠CDI， ∴CI＝CD． 同理，CI＝CB． 故点C是△IBD的外心． 连接OA，OC， ∵I是AC的中点，且OA＝OC， ∴OI⊥AC，即OI⊥CI． ∴OI是△IBD外接圆的切线． （2）由（1）可得： ∵AC的中点I是△ABD的内心， ∴∠BAC＝∠CAD ∴∠BDC＝∠DAC＝∠BAC， 又∵∠ACD＝∠DCF， ∴△ADC∽△DFC， ∴， ∵AC＝2CI ∴AC＝2CD ∴AD＝2DF 同理可得：AB＝2BF ∴AB+AD＝2BF+2DF＝2BD． 39．【解答】（1）证明：连接OG， ∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G， ∴∠BAG＝∠CAG， ∴， ∴OG⊥BC， ∵DE∥BC ∴OG⊥EF， ∵OG是⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）解：连接BI，BG， ∵点I为△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC， ∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI， ∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC， ∴∠BAI＝∠CBG， ∴∠BIG＝∠GBI， ∴BG＝IG， ∵BC∥DE， ∴△ABF∽△ADG， ∴， ∵AG＝6， ∴AF＝4， ∴FG＝2， ∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG， ∴△BGF∽△AGB， ∴， ∴， ∴BG＝2（负值舍去）， ∴GI的长为2． 40．【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图， ∵点E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD， ∴∠BOD＝∠COD， ∴， ∴OD⊥BC，BH＝CH， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， ∴DG是⊙O的切线； （2）解：连接BD、OB，如图， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DBC＝∠BAD， ∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE， ∴DB＝DE＝6， ∵BHBC＝3， 在Rt△BDH中，sin∠BDH， ∴∠BDH＝60°， 而OB＝OD， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6， ∴∠BOC＝120°， ∴优弧的长8π． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/27 9:46:30；用户：真理实验学校；邮箱：zhenli@jyeoo.com；学号：55633728 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $