第3章 培优专题13：圆中常见的辅助线&培优专题14：巧用三角形的中位线求解圆的问题-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

☑同行学案学练测九年级数学下BS 数 培优专题13：圆 学 素 养 类型一：遇弦加弦心距或半径 1.如图，在⊙O内有折线OABC,点B,C在圆 上，点A在⊙O内，其中OA=4cm,BC= ) 象 10cm,∠A=∠B=60°，则AB的长为( A.5 cm B.6 cm C.7cm D.8 cm 运算能 0 几何直观 A D 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3, 念 BC=4,以点C为圆心、CA长为半径的圆与 理 AB交于点D,则AD的长为( 力 18 B c D. 类型二：连半径，巧用同圆的半径相等 3.(连云港中考)如图，点A,B,C在⊙O上，BC= 6,∠BAC=30°，则⊙O的半径为 识 创新 DO C F 识 第3题图 第4题图 4.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆O,若 小正方形的面积为16cm,则该半圆O所在 圆的半径是 cm. 类型三：遇切线，连半径，构垂直 5.[运算能力]（包头中考）如图， D BD是⊙O的直径，A是⊙O 外一点，点C在⊙O上，AC 与⊙O相切于点C,∠CAB= 90°，若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则 弦BC的长为 88 做神龙题得好成绩 中常见的辅助线 类型四：证切线，连半径，证垂直 6.[推理能力]（宁夏中考）如图，在△ABC中， 点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O 经过点A,点M是弦AC上一点，过点M作 ME⊥BC,垂足为点E,交BA的延长线于点 F,且FA=FM. (1)求证：直线BF与半圆O相切. (2)若AB=3,求BD·BC的值 类型五：连弦，构造直径所对的圆周角 7.[一题多解]（包头中考）如图，AB是⊙O的直 径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长 线上一点，连接AD,DC,CP 备用图 (1)求证：∠ADC-∠BAC=90°.（请用两种 证法解答) (2)若∠ACP=∠ADC,⊙O的半径为3，CP= 4,求AP的长， 培优专题14：巧用三角形 1.如图，已知AB,AC都是⊙O的弦，OM⊥ AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,若MN= √5，则BC等于() A.5 B.√5 C.2√5 D.√10 D ò A 第1题图 第2题图 2.(鞍山中考)如图，AC,BC为⊙O的两条弦， D,G分别为AC,BC的中点，⊙O的半径为 2.若∠C=45°，则DG的长为( ) A.2 B.√3 c D.√2 3.如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动 点，PM=QM,连接OP,OM.若⊙O的半径 为2，OP=4,则线段OM的最小值是() A.0 B.1 C.2 D.3 0 第3题图 第4题图 4.如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的 ⊙O上滑动（点C,D与点A,B不重合），点 E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于点F, 若CD=3,AB=8,则EF的最大值是( ) A号 B.4 c D.6 5.如图，两个同心圆的圆心是O, AB,AE分别与小圆相切于C, D D两点，若BE=2,则DC= 第三章圆☑ 的中位线求解圆的问题 数 学 素 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且 养 AC⊥BD,OF⊥CD,垂足分别为E,F,若 OF= 2则AB= 象能力 0 运算能力 D 第6题图 第7题图 直观 7.如图，点I为△ABC的内心，连接AI交 空 △ABC的外接圆于点D,若AI=2CD,点E 间观 为弦AC的中点，连接EI,IC,若IC=6, 推 ID=5,则IE的长为 理 能力 8.(菏泽中考)如图，在△ABC中，以AB为直径 作⊙O分别交AC,BC于点D,E,且D是AC 的中点，过点D作DG⊥BC于点G,交BA 念 的延长线于点H. (1)求证：直线HG是⊙O的切线 求QG商长 (2)若HA=3,cosB= 用意识 新 识 做神龙题得好成绩89∴∠OCB=∠B,∠B=∠E,AE =AB.(2)解：AB为直径， 2BC.:0D=0B,0E=0E,△D0E≌△B0E ∴∠ACB=90°，.AC=√102-62= (SSS),∴∠ODE=∠ABC=90°，∴.OD⊥DE,.DE是 ⊙O的切线.(2)解：，∠ABC=90°，∴.∠ABD十 8..'AB=AE=10,ACLBE,..CE= ∠DBC=90°.由(1)知∠BDC=90°，BC=2DE,∴.∠C+ C=6:2CD·AE=专AC· ∠DBC=90°，BC=2DE=10,∴.∠C=∠ABD.在 CE,∴CD=8X6_24 10-5 R△Ac中Ac=C-里-要0A=0B,E= 5 15.(1)证明：连接OD,,CD是⊙O的切线，∠ODC=90°. AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.，OA=OD, CE,∴0E=2AC-5 ∴∠OAD=∠ODA.:∠DBC=∠ADB+∠OAD=90° 培优专题12：圆的切线的证明方法 +∠OAD.又，∠ADC=∠ODC+∠ODA=90°+ 1.证明：如图，连接OB.AC是⊙O的直径，∴∠ABC= ∠ODA,∴∠ADC=∠DBC.(2)解：由题意，得∠BDC 90°，∠C+∠BAC=90°.OA=OB,.∠BAC=∠OBA. =∠OAD,:tan∠BDC=4, an∠0AD=台0 :∠PBA=∠C,∴.∠PBA+∠OBA=∠C+∠BAC= 90°，即PB⊥OB.又：OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的 =台（可得△CBD△CDA,是-瓷-职 切线 CD=2.4m,AC-3m,BC=1.92m,AB-AC -BC=1.08m,.⊙0的半径长0.54m. 第2课时切线的判定 1.证明：，BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.OB=OC, ∠OBC=∠OCB,∴.∠OCB=∠DBC,.OC∥BD. 2.证明：如图，作直径AE,连接EC.AD是∠BAC的平分 BD⊥CD,∴.OC⊥CD.又点C为⊙O上一点，.CD 线，∠DAB=∠DAC.PA=PD,∴.∠PAD= 为⊙O的切线. ∠PDA,∴∠PDA=∠PAC+∠DAC.'∠PDA=∠B+ 2.证明：如图，连接OD,OA,过点O作 ∠DAB,∴∠PAC=∠B.∠B=∠E,∴∠PAC=∠E. OE⊥AC于点E.,AB切⊙O于点D, ,AE是⊙O的直径，.∠ACE=90°，.∠EAC十∠E= ∴.OD⊥AB,∴.∠ODB=∠OEC=90°. 90°.∴∠EAC+∠PAC=∠OAP=90°，.PA与⊙O 又，O是BC的中点，.OB=OC. 相切. .AB=AC,.∠B=∠C,△OBD≌ △OCE(AAS),'.OE=OD,OE是⊙O的半径，.AC与 ⊙O相切. 3.B4.C5.C6.A7.C8.B9.D10.< ‘D--1 E 11.(1)证明：如图，连接OD.:△ABC是等边三角形，∠C =∠A=60°.OC=OD,∴.△OCD是等边三角形， 3.(1)证明：如图，连接OD,OA,过点O作OE⊥AB于点E. :AB=AC,O为BC的中点，∴.∠CAO=∠BAO.OD ∴∠CDO=∠A=60°，∴.OD∥AB.DF⊥AB, ⊥AC,OE⊥AB,.OD=OE.∴.OE是⊙O的半径..AB ∴.∠FDO=∠AFD=90°，.OD⊥DF.OD为⊙O的 半径，.DF是⊙O的切线. 是半圆O所在圆的切线.(2)解：由cos∠ABC= 3.AB (2)解：：OD∥AB,OC=OB, =12,得OB=8.由勾股定理，得AO-√AB2-OB2= .OD是△ABC的中位线. ∠AFD=90°，∠A=60°， 45.SAm=合AB·0E=号OB·A0,0E= ∴∠ADF=30°.AF=1,.CD OB·AO85 =OD=AD=2AF=2.在 AB ,即半圆0所在圆的半径是85 31 D Rt△ADF中，由勾股定理，得DF =√AD一AFz=√5.在Rt△ODF中，由勾股定理，得 OF=√OD+DF=√2+3=√7，∴.线段OF的长为√7. 12.(1)证明：连接OD.,AB为⊙O的直径，.∠BDC= ∠ADB=90°.，点E为BC的中点，.DE=BE=CE=4.证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.,∠ACB=90°， ·20·同行学案学练测 .OC⊥AC.又.AO平分∠CAB,∴.OM=OC,.OM为 培优专题13：圆中常见的辅助线 半圆O的半径，∴.AB为半圆O的切线. 1.B2.A3.6 4.45[解析]如图，连接OA,OB,OE.,四边形ABCD是 正方形，∴AD=BC,∠ADO=∠BCO=90°.，在 (OA=OB R△AD0和R△BC0中，AD=BC,R△ADO≌ Rt△BCO(HL),∴.OD=OC.:四边形 0 B ABCD是正方形，.AD=DC.设AD *7切线长定理 1.(1)A(2)C2.A3.A4.405.57i -acm,则0D=0C=号C=号AD 6.证明：如图，连接AO,OB.PA,PB 为⊙O的切线，.PA=PB,∠OAP= 2acm在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA=OB=OE ∠OBP=90°.又.OA=OB, 6 .△OAP≌△OBP(SAS),∴.∠AOC Qcm.小正方形EF0G的面积为16cm2,EF= =∠BOC.又，OC=OC,OA=OB, PC=4m在R△0FE中，由勾股定理，得（气a)广=+ ∴.△ACO≌△BCO(SAS),∴.AC=BC. 7.B8.c9.B10.D11.212.3 (分a十4°，解得a=-4(舍去)或8，则5。 a=45,.该 13.解：(1)AB为⊙O的直径，∠DAB=∠ABC=90°， 半圆的半径是4v5cm. ∴.DA,CB都是⊙O的切线.，CD与⊙O相切于点E, 5.2√6 .'.DE=DA=2,CE=CB=6,..CD=DE+CE=8. 6.(1)证明：如图，连接AO.FE⊥BC,∠CEM=90°， (2)∠ABC=90°，EF⊥AB,.EG∥BC,∴.△DEG∽ .∠ECM+∠CME=90°.FA=FM,∴.∠FAM= △DCB,器-器即g-号解得G=是 ∠FMA=∠CME..'OA=OC,∴.∠ECM=∠OAC, (3)如图，过点D作DH⊥BC于H,则四边形DABH为 ∴∠FAM+∠OAC=90°，∠OAF=90°，.OA⊥AB. 矩形，∴.BH=AD=2,∴.CH=BC-BH=4,∴.DH= OA是半径，∴.直线BF与半圆O相切.(2)解：如图， √CD2-CH=4√5，∴.AB=DH=4√5.，∠DAB= 连接AD.CD是直径，∴∠DAC=90°，∠ACD+ ∠ABC=90,EFLAB,∴AD/EG/C器-器即 ∠ADC=90°.∠BAO=90°，∴.∠BAD+∠OAD=90°. OA=OD,∠OAD=∠ODA,∠BAD+∠ADC= 得-号e得0-38 90°，.∠BAD=∠ACD.∠B=∠B,.△BADn △BCA00BD:B-AB=8 B 7.(1)证明：方法一：如图①，连接BD,AB是⊙O的直径， 14.(1)证明：如图，连接OA,则OA⊥AP.,MN⊥AP, ∴∠ADB=90°.：∠ADC-∠BDC=∠ADB,∠BDC= ∴.MN∥OA.OM∥AP,∴.四边形ANMO是矩形， ∠BAC,∴.∠ADC-∠BAC=90°.方法二：如图②，连接 ∴.OM=AN.(2)解：如图，连接OB,则OB⊥BP. BC,,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°.∠PBC= .OA=MN,OA=OB,OM∥AP,∴.OB=MN,∠OMB ∠BAC+∠ACB,.∠PBC-∠BAC=90°.，四边形 =∠NPM,.△OBM≌△MNP(AAS),.OM=MP.设 ABCD为⊙O的内接四边形，∴.∠ADC+∠ABC=180° OM=x,则NP=9-x,在Rt△MNP中，有x2=32+(9 ,∠PBC+∠ABC=180°，.∠ADC=∠PBC,∴.∠ADC -x)2,.x=5,即OM=5. -∠BAC=90°.(2)解：如图②，由题(1)可得∠ADC= ∠PBC.:∠ACP=∠ADC,∠PBC=∠ACP. ∠BPC=∠CPA,APC△rCA,说-货 .PC2=PA·PB.⊙O的半径为3，AB=6,.PA= PB十6.，CP=4,∴.4=(PB+6)·PB,解得PB=2或 PB=-8(舍去)，则AP=2十6=8. 6.解：如图，⊙O及正六边形AEFBCD即为所求. ① ② 培优专题14：巧用三角形的中位线 7.A8.B9.C 求解圆的问题 10.10-2√511.22 1.C2.D3.B4.B5.1 12.解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x.易知 6.5[解析]如图，作直径DG,连接 ∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB= CG.DG为直径，∴.∠DCG=90°， .∠CDG+∠G=90°.，AC⊥BD, 72°，∴.AB=BG=AE=2.,∠AEG=∠BEA,∠EAG= ∠DAC+∠ADB=90°.：∠DAC ∠BA△ABG∽△BEA能-EAE=BG· =∠G,∴∠ADB=∠CDG,∴AB EB,∴.22=x(x+2),解得x=-1十√5或-1-√5（舍 CG,AB=CG.OF⊥CD,.DF =CF.,OD=OG,.OF为△DCG的中位线，.CG= 去)，∴.EG=√5-1. 20r=2X号-5，AB=-5. 13.解：(1)，五边形ABCDE是正五边形，.∠ABC= 7.4[解析]如图，延长ID到点M,使DM (5-2)×180°=108.(2)△AMN是正三角形，理由： 5 =ID,连接CM.,I是△ABC的内心， 连接ON,NF,如图，由题意可得FN=ON=OF, ∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB. ∴△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°，.∠NMA= ,∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI= 60°.同理可得∠ANM=60°，.∠MAN=60°，.△AMN ∠BCD+∠ICB,∠BCD=∠IAB, B 是正三角形.(3)连接OD,如图，：'∠AMN=60°， ∴∠DIC=∠DCI,.DI=DC=DM, D ∴∠ICM=90°，∴.CM=√IMP-IC= M ∠A0N=120.∠A0D-380X2=144,∠N0D 8..AI=2CD=10,..AI=IM..AE=EC,..IE =∠A0D-∠AON=144°-120°=24°.，360°÷24°= △ACM的中位线，∴IE=2CM=4 15,.n的值是15. 8.(1)证明：连接OD.AD=DC,AO=OB,.OD是 △ABC的中位线，OD/BC,OD=2BC.:DG⊥BC, ∴OD⊥HG.:OD是⊙O的半径，∴.直线HG是⊙O的 切线.(2)解：设⊙O的半径为x,则OH=x+3,BC= 2.:0D/BC,∠H0D=∠B,∴as∠H0D=号，即 8品与一号得-2BC-4,BH-27mB 14.解：(1)如图，连接BD.:四边形ABCD是⊙O的内接四 吾器-号即g号解得-兰0-C 边形，∠BAD+∠C=180°.∠C E 7 =120°，∠BAD=60°.AB= BG=4-146 AD,.△ABD是等边三角形， 55 .∠ABD=60°.四边形ABDE是 8圆内接正多边形 ⊙O的内接四边形，.∠AED十 1.D2.54°3.72°4.45 ∠ABD=180°，.∠AED=120° 5.解：如图，正方形ABCD即为所求， (2)∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°. :∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，∴.n =360° 30°=12. 培优专题15：正多边形的性质及其应用 1.A2.A3.A485.156.T7.15 8.解：如图所示. 8.解：如图，延长BO交CD于点F,连接OD.⊙O与 ∠MAN的边AN相切于点B,∴.OB⊥AB,∴.∠ABF= 90.∠A=0,∠AFB=0,BF-gAB-号X5E s56 .:OE1CD,DE=CE.在R△OEF中， 9弧长及扇形的面积 ∠EF0=60,i60-8器-复0F-20e OF 3 1.B2.20π3.4V2π4.B5.B6.A7.B 0B=50E50e+23oE-5 ,解得0E=2, 8.23-π ∴.OB=√3X2=√6，.OD=OB=√6.在Rt△DOE中， 9.B10.C11.D12.A DE=√OD2-OE=√(W6)2-(W2)2=2,∴.CD=2DE 3.灭[解析]如图，圆为心O,连接OA,OB,OC,0D, =4. 0 培优专题17：旋转或折叠中的面积计算 1.C2.A O 3.解：如图，连接OM交AB于点C,连接 :OA=OB=0D=5,∠B0C=2∠BAC=45°，：.BC的 OA,OB.由题意知OM⊥AB,且OC= 长为5-要 1 41 MC=2,在Rt△A0C中，OA=1, 14.解：AB=AC,∠BAC=50°，.∠ABC=∠ACB=65°. BD=CD=BC,△BDC为等边三角形.∴∠DBC= F2cos∠A0C=0C=1 OA-2AC-0A-OC- ∠DCB=60°.∴.∠DBE=∠DCF=55.BC=6,∴.BD =CD=6.l金=1e-5XmX6_:DE,DF的长 ,∠A0C=60°，AB=2AC=3,∠A0B=2∠A0C 3 180 61 度之和为1r+11x_1x =120°，则S号形ABM=S赌形0AB一S△A0B 120mX1-×5 360 6+6=3, 1 15.(1)证明：如图，连接OC,则OC⊥AB.CD=CE,∴∠AOC ×分=号-9，Se=5m-2Sw=方xX1- (∠AOC=∠BOC =∠BOC.在△AOC和△BOC中，3OC=OC 2(骨9)-吾 ∠OCA=∠OCB=90 4.A5.6π ∴.△AOC≌△BOC(ASA),∴.OA=OB.(2)解：由(1)可得 6.解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2, AC=BC=号AB=25,在R△A0C中，0C=2, AC=2√3，AB=4.,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转 90得到Rt△ADE,∴.△ABC的面积等于△ADE的面积， ZA0C=∠B0C=60,∴Sar=2BC.0C=2× 2 ∠CAB=∠DAE,AE=AC=2√3，AD=AB=4, 23X2=25,.S形a0E 60XxX2=名元 ∴.∠CAE=∠DAB=90°，.阴影部分的面积S=S扇形AD 360 3π，S阴影= 十S△ABC一S期形CAE一S△ADE=S扇形BAD一S扇形CAE =90π×42 S△xc-S期形E=2/3- 360 3π 90πX(2√3)2 360 培优专题18：圆中的分类讨论 1.6或3 2.解：如图①，当点P在⊙O内时，过点O作OC⊥AB于C, 培优专题16：在圆中构造直角三角形 解决问题的方法 则AC=BC=2AB=4,连接OB,则OC=VOB-BC 1.102.√7-13.√/134.B5.√26.857.2√/10 =√52-4=3.在Rt△OPC中，OP=√PC2+OC= 同行学案学练测·21·