第三章 圆——切线的性质 专项训练 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

切线的性质精选题33道 一．选择题（共12小题） 1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．6 C．12 D．10 2．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若，则sinC的值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　） A．cm B．8cm C．6cm D．10cm 5．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．9 6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 7．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 8．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 9．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 10．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 11．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　） A．2 B． C． D． 12．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共12小题） 13．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 　 　 ． 14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝　 　 ． 15．如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝　 　 ． 17．如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 　 　 ． 18．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　 ． 19．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作，分别交AB，AC于点E，F．若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 20．如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　 　 ．（结果保留π） 21．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝　 　 度． 22．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 　 　 ． 23．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是　 　 °． 24．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　 　 cm． 三．解答题（共9小题） 25．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC． （1）求证：OD∥BC； （2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长． 26．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC． （1）求证：AC平分∠DAO． （2）若∠DAO＝105°，∠E＝30° ①求∠OCE的度数； ②若⊙O的半径为2，求线段EF的长． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE⊥AC； （2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度． 28．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C． （1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数； （2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长． 29．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F． （1）求∠OCB的度数； （2）若EF＝3，求⊙O直径的长． 30．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD． （1）求证：OP⊥CD； （2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长． 31．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． （1）求证：DP∥AB； （2）试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明； （3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长． 32．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC＝∠AOF； （2）若sinC，BD＝8，求EF的长． 33．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：CB平分∠ACE； （2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径． 切线的性质精选题33道 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B B A C D A B B B 题号 12 答案 D 一．选择题（共12小题） 1．【解答】解： ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12， 即△PCD的周长为12， 故选：C． 2．【解答】解：∵AC是⊙O的切线， ∴AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵∠C＝50°， ∴∠ABC＝40°， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC＝40°， ∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°； 故选：C． 3．【解答】解：连接DB、DE，设AB＝m， ∵， ∴CD＝3AB＝3m， ∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB， ∴AB是⊙D的切线， ∵⊙D与BC相切于点E， ∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD＝3m， ∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m， ∵∠CED＝90°， ∴DEm， ∴sinC， 故选：B． 4．【解答】解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H． ∵AD∥CB，∠BAD＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∵∠DHB＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm， ∵BC＝24cm， ∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm）， ∴CD25（cm）， 设OE＝OF＝OG＝rcm， 则有（9+24）×2020×r24×r25×r9×（20﹣r）， ∴r＝8， 故选：B． 5．【解答】解：连接OA， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∵∠P＝30°，OB＝3， ∴AO＝3，则OP＝6， 故BP＝6﹣3＝3． 故选：A． 6．【解答】解：如图，连接OA， ∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠OAB＝25°， ∴∠AOC＝50°， ∴∠C＝40°． 故选：C． 7．【解答】解：如图，连接OA， ∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠OAB＝20°， ∴∠AOC＝40°， ∴∠C＝50°． 故选：D． 8．【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G， 则PE⊥y轴，PF⊥x轴， ∵∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∵PE＝PF，PE∥OF， ∴四边形PEOF为正方形， ∴OE＝PF＝PE＝OF＝5， ∵A（0，8）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣5＝3， ∵四边形OACB为矩形， ∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB， ∴EG∥AC， ∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形， ∴CG＝AE＝3，EG＝OB， ∵PE⊥AO，AO∥CB， ∴PG⊥CD， ∴CD＝2CG＝6， ∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2， ∵PD＝5，DG＝CG＝3， ∴PG＝4， ∴OB＝EG＝5+4＝9， ∴D（9，2）． 故选：A． 9．【解答】解：连接OA，如图， ∵AB切⊙O于点A， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°， ∴∠ADC∠AOB＝20°， ∵AD∥OB， ∴∠OCD＝∠ADC＝20°． 故选：B． 10．【解答】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E， ∴，AE＝DE＝2， ∴∠COD＝2∠ABC＝45°， ∴△OED是等腰直角三角形， ∴OE＝ED＝2， ∴OD2， ∵直线l切⊙O于点C， ∴BC⊥CF， ∴△OCF是等腰直角三角形， ∴CF＝OC， ∵OC＝OD＝2， ∴CF＝2， 故选：B． 11．【解答】解：连接OA， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P， ∴∠OAP＝90°， ∵OA＝OC＝1， ∴AP＝OAtan60°＝1， 故选：B． 12．【解答】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图， ∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D， ∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD， ∴OP⊥CD， ∴， ∴∠COB＝∠DOB， ∵∠CAD∠COD， ∴∠COB＝∠CAD， 在Rt△OCP中，OP5， ∴sin∠COP， ∴sin∠CAD． 故选：D． 二．填空题（共12小题） 13．【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x． 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5， ∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3． 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形． ∴PM＝PK＝CD＝2BM， ∴BM＝4，PM＝8， 在Rt△PBM中，PB4． 综上所述，BP的长为3或4． 14．【解答】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H． 由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x， 由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM， ∵B、F关于EH对称， ∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x， 在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2， ∴42+x2＝（16﹣3x）2， 解得x＝6或6（舍弃）， ∴AE＝6， 故答案为：6． 15．【解答】解：如图，连接MP、MQ， ∵PQ是⊙M的切线， ∴MQ⊥PQ， ∴PQ， 当PM最小时，PQ最小， 当MP⊥AB时，MP最小， 直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴∠BAO＝45°，AM＝8， 当MP⊥AB时，MP＝AM•sin∠BAO＝84， ∴PQ的最小值为：2， 故答案为：2． 16．【解答】解：连接OC， ∵∠A＝32°， ∴∠DOC＝2∠A＝64°， ∵BC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥BC， ∵∠B＝90°， ∴∠B+∠OCB＝180°， ∴AB∥OC， ∴∠ADO＝∠DOC＝64°， 故答案为：64°． 17．【解答】解：∵AC∥BD， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∴AE＝BEAB， ∵A为定点，且AB⊥l2， ∴AE为定值， ∵BH⊥CD， ∴∠BHE＝90°， ∴点H在以BE为直径的圆上运动（如图，O为圆心）， 此时OEBEOA， ∵当AH与⊙O相切时∠BAH最大， ∴sin∠BAH． 故答案为：． 18．【解答】解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图， ∵等边三角形ABC的边长为4， ∴AB＝CB＝4，∠BCHACB60°＝30°， ∴BHAB＝2，CHBC4＝2， ∵PQ为⊙C的切线， ∴CQ⊥PQ， 在Rt△CPQ中，PQ， ∵点P是AB边上一动点， ∴当点P运动到H点时，CP最小， 即CP的最小值为2， ∴PQ的最小值为3， 故答案为：3． 19．【解答】解：连接OB， ∵AB是⊙O的切线，B为切点， ∴∠OBA＝90°， ∴∠BOA+∠A＝90°， 由题意得： OB＝OC＝AE＝AF＝2， ∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积） AB•OB 4×2﹣π ＝4﹣π， 故答案为：4﹣π． 20．【解答】解：连接OE，如图， ∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E， ∴OD＝2，OE⊥BC， 易得四边形OECD为正方形， ∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝224﹣π， ∴阴影部分的面积2×4﹣（4﹣π）＝π． 故答案为π． 21．【解答】解： ∵∠A＝20°， ∴∠BOC＝40°， ∵BC是⊙O的切线，B为切点， ∴∠OBC＝90°， ∴∠OCB＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50． 22．【解答】解：∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线， ∴∠A＝90°， ∵∠AOC＝45°，OA⊥BC， ∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形， ∴OD＝CD，OA＝AE， ∵OA⊥BC， ∴CD， ∴OD＝CD＝1， ∴OCOD， ∴AE＝OA＝OC， 故答案为：． 23．【解答】解：∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， 而∠AOC＝∠OBD+∠ODB， ∴∠OBD∠AOC＝25°， 即∠ABD的度数为25°， 故答案为：25． 24．【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图， ∵长边与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC， ∵AC⊥BC，AD⊥OB， ∴四边形ACBD为矩形， ∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm． 设⊙O的半径为rcm， 则OA＝OB＝rcm， ∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm， 在Rt△OAD中， ∵AD2+OD2＝OA2， ∴82+（r﹣6）2＝r2， 解得：r． 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 25．【解答】（1）证明：连接AC交OD于H， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD， ∴， ∴OD⊥AC， ∴OD∥BC； （2）解：∵OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴， ∴设OE＝5x，BC＝6x， ∵AO＝OB，OH∥BC， ∴AH＝CH， ∴OHBC＝3x， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠OBP＝90°， ∴∠PBO＝∠AHO， ∵∠BOP＝∠AOH， ∴△AOH∽△POB， ∴， ∴， ∴x， ∴OE， ∴⊙O半径的长为． 26．【解答】解：（1）∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC＝∠DAC， ∴AC平分∠DAO； （2）①∵AD∥OC， ∴∠EOC＝∠DAO＝105°， ∵∠E＝30°， ∴∠OCE＝45°； ②作OG⊥CE于点G， 则CG＝FG＝OG， ∵OC＝2，∠OCE＝45°， ∴CG＝OG＝2， ∴FG＝2， 在Rt△OGE中，∠E＝30°， ∴GE＝2， ∴． 27．【解答】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴OD∥AC． ∵DE是⊙O的切线，OD是半径， ∴DE⊥OD， ∴DE⊥AC； （2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD＝EH，OH＝DE． 设AH＝x． ∵DE+AE＝8，OD＝10， ∴AE＝10﹣x，OH＝DE＝8﹣（10﹣x）＝x﹣2． 在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即x2+（x﹣2）2＝102， 解得x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去）． ∴AH＝8． ∵OH⊥AF， ∴AH＝FHAF， ∴AF＝2AH＝2×8＝16． 28．【解答】解：（1）连接OA， ∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∵，∠ADE＝25°， ∴∠AOE＝2∠ADE＝50°， ∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵， ∴∠AOC＝2∠B， ∴∠AOC＝2∠C， ∵∠OAC＝90°， ∴∠AOC+∠C＝90°， ∴3∠C＝90°， ∴∠C＝30°， ∴OAOC， 设⊙O的半径为r， ∵CE＝2， ∴r， 解得：r＝2， ∴⊙O的半径为2． 29．【解答】解：（1）∵PC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥PC， ∴∠OCB+∠BCP＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠ABC＝2∠BCP， ∴∠OCB＝2∠BCP， ∴3∠BCP＝90°， ∴∠BCP＝30°， ∴∠OCB＝60°． （2）连接DE， ∵CD是直径， ∴∠DEC＝90°， ∵点E是的中点， ∴， ∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB∠DCB＝30°， ∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°， ∴DEFE＝3， ∵∠E＝90°，∠DCE＝30°， ∴， ∴⊙O的直径的长为． 30．【解答】解：（1）方法1、连接OC，OD， ∴OC＝OD， ∵PD，PC是⊙O的切线， ∵∠ODP＝∠OCP＝90°， 在Rt△ODP和Rt△OCP中，， ∴Rt△ODP≌Rt△OCP， ∴∠DOP＝∠COP， ∵OD＝OC， ∴OP⊥CD； 方法2、∵PD，PC是⊙O的切线， ∴PD＝PC， ∵OD＝OC， ∴P，O在CD的中垂线上， ∴OP⊥CD （2）如图，连接OD，OC， ∴OA＝OD＝OC＝OB＝2， ∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°， ∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°， ∴∠COD＝60°， ∵OD＝OC， ∴△COD是等边三角形， 由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°， 在Rt△ODP中，OP． 31．【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠DAB＝∠ABD＝45°， ∴△DAB为等腰直角三角形， ∴DO⊥AB， ∵PD为⊙O的切线， ∴OD⊥PD， ∴DP∥AB； （2）答：BF﹣AE＝EF，证明如下： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝90°， ∵AE⊥CD，BF⊥CD， ∴∠AED＝∠BFD＝90°， ∴∠FBD+∠BDF＝90°， ∴∠FBD＝∠ADE， ∵∠AOD＝∠BOD， ∴AD＝BD， 在△ADE和△DBF中 ∴△ADE≌△DBF（AAS）， ∴BF＝DE，AE＝DF， ∴BF﹣AE＝DE﹣DF， 即BF﹣AE＝EF． [问题二法2：∠ACD＝∠CAE＝45°，所以AE＝CE，∠DCB＝∠FBC＝45°，所以BF＝CF，CF＝CE+EF＝AE+EF 所以AE+FE＝BF] （3）解：在Rt△ACB中，AB10， ∵△DAB为等腰直角三角形， ∴AD5， ∵AE⊥CD， ∴△ACE为等腰直角三角形， ∴AE＝CE3， 在Rt△AED中，DE4， ∴CD＝CE+DE＝347， ∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P， ∴△PDA∽△PCD， ∴， ∴PAPD，PCPD， 而PC＝PA+AC， ∴PD+6PD， ∴PD． 32．【解答】解：（1）连接OD， ∵OF⊥AD， ∴∠AOF+∠DAO＝90°， ∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴∠CDO＝90°， ∴∠ADC+∠ADO＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠AOF＝∠ADC； （2）∵OF⊥AD，BD⊥AD， ∴OF∥BD， OF∥BD，AO＝OB， ∴AE＝DE， ∴OEBD8＝4， ∵sinC， ∴设OD＝x，OC＝3x， ∴OB＝x， ∴CB＝4x， ∵OF∥BD， ∴△COF∽△CBD， ∴， ∴， ∴OF＝6， ∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝2． 33．【解答】（1）证明：如图1，连接OB， ∵AB是⊙0的切线， ∴OB⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴OB∥CE， ∴∠1＝∠3， ∵OB＝OC， ∴∠1＝∠2 ∴∠2＝∠3， ∴CB平分∠ACE； （2）如图2，连接BD， ∵CE⊥AB， ∴∠E＝90°， ∴BC5， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∴∠E＝∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴， ∴BC2＝CD•CE， ∴CD， ∴OC， ∴⊙O的半径． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/27 9:45:53；用户：真理实验学校；邮箱：zhenli@jyeoo.com；学号：55633728 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $