专题04 圆中常见辅助线的作法（举一反三专项训练）数学北师大版九年级下册

专题04 圆中常见辅助线的作法（举一反三专项训练） 【北师大版】 【题型1 见弦连半径】 1 【题型2 见弦作垂线】 7 【题型3 见直径作圆周角】 12 【题型4 见切线作半径或垂线】 18 类型一 见弦连半径 遇到弦时，连半径．作用：①连接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形；②连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角． 类型二 见弦作垂线 解决有关弦的问题，常添加弦心距或作垂直于弦的半径（或直径）．作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系． 类型三 见直径作圆周角 遇到直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角．作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形． 类型四 见切线作半径或垂线 遇到某一直线是圆的切线时：连接切点与圆心，利用圆的切线的性质求解问题． 【题型1 见弦连半径】 【例1】如图，内接于，的半径为3，点是上的一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，再由，可得，可证得是等边三角形，从而得到，在中，可得到的长，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等，作出辅助性构建等边三角形是解题的关键． 【变式1-1】如图，已知在⊙O中，直径MN=20，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为(   ) A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ， ， ， 在中，， ∵AO=MN=10 ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造与AB相关的直角三角形． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点． (1)求证：； (2)和的长度相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)和的长度相等，理由见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）连接，只要证明即可解决问题； （2）欲证明，只要证明即可； 【详解】（1）证明：连接． 点是优弧的中点， ， ， ，， ，， ， ． （2）解：和的长度相等，理由如下， 分别连接，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ． 和的长度相等． 【变式1-3】（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 类型二 见弦作垂线 解决有关弦的问题，常添加弦心距或作垂直于弦的半径（或直径）．作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系 【题型2 见弦作垂线】 【例2】如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为（　　） A．16 B．20 C．18 D．22 【答案】B 【分析】延长交于，作于，根据三角函数的定义以及垂径定理求解即可． 【详解】延长交于，作于． ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角函数的定义，垂径定理以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 【变式2-1】如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=45°，则EM+FN= ． 【答案】2 【详解】试题解析：延长ME交⊙O于点G， ∵AE=FB,EG∥NF， ∴EG=NF，MG=ME+NF， 过点O作OH⊥MG于点H，连接OM， ∴AE=EF=FB=4，AO=OB=6， ∴OE=2， 又 ∵OM=6， 即 故答案为 【变式2-2】如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2）解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是．      【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点在的直径上，作正方形和正方形，其中点、在直径所在直线上，点、、、都在上，如果两个正方形的面积之和为，，则的半径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，作，连接，则，由正方形的性质可得是等腰直角三角形， 可得， 设，则，，根据面积列出方程可得，即得，最后根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设，则，， ∵两个正方形的面积之和为， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∴的半径长是， 故答案为：． 【题型3 见直径作圆周角】 【例3】如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是 ． 【答案】①②④． 【详解】连接AD， ∵AB是直径， ∴AD⊥BC， 又∵△ABC是等腰三角形， ∴点D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，即BD=CD，故②正确； ∴由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD， ∴劣弧是劣弧的2倍，故④正确， ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE， ∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边， ∴AE≠2BC，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④ 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式3-1】如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）证法一：连接，得到，因为，所以；证法二：连接，可得，则，根据，可得，即可得到结果； （2）连接，根据角度间的关系可以证得为直角三角形，根据勾股定理可得边的长，进而求得结果． 【详解】（1）证法一：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 证法二：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键． 【变式3-2】（2025·河南商丘·二模）如图，内接于，为的直径，点为上的点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明、是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，由直径所对的圆周角是得，结合圆内接四边形性质得，将绕点逆时针旋转得到，证得是等腰直角三角形，则，根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， 、是等腰直角三角形， ，， 即是等腰直角三角形， ， 为的直径， ， 则圆内接四边形中，， 将绕点逆时针旋转得到， 此时，，，， ，， 又， 点是在上，是等腰直角三角形， 结合勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是等腰直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是、圆内接四边形的性质、旋转性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 【变式3-3】如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使，连接FB，FC． 求证：四边形ABFC是菱形； 若，，求半圆和菱形ABFC的面积． 只用一把无刻度的直尺，作出菱形AB上的高CH． 【答案】（1）证明见解析；（2）．（3）见解析. 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一得出CE=BE，再根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题； （3）如图，设BD交AE于K，作直线CK交AB于H．根据三角形的高相交于一点可得线段CH即为所求． 【详解】证明：是直径， ， ， ， ， ， 四边形ABFC是平行四边形， ， 四边形ABFC是菱形． 设连接BD． 是直径， ， ， ， 解得或舍弃 ，， ． ． 如图，设BD交AE于K，作直线CK交AB于 是直径， ， 三角形的高相交于一点 线段CH即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，菱形的判定，勾股定理，三角形的垂心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【题型4 见切线作半径或垂线】 【例4】如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（　　） A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12） 【答案】C 【分析】利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB， ∵AD⊥y轴，AC⊥x轴， ∴四边形ADOC为矩形． ∴AC＝OD，OC＝AD． ∵ 与x轴相切， ∴AC为的半径． ∵点A坐标为（8，5）， ∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8， ∵PB是切线， ∴AB⊥PB， ∵∠APB＝30°， ∴PA＝2AB＝10， 在Rt△PAD中，根据勾股定理，得， ∴OP＝PD+DO＝11， ∵点P在y轴的正半轴上， ∴点P坐标为（0，11）． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径． 【变式4-1】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M， （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）过作于 由正方形ABCD，可得 证明 再证明 从而可得结论； （2）正方形ABCD，可得 求解 再证明 求解 利用 列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）过作于 正方形ABCD， 是的切线， 为的半径， BC与⊙O相切； （2） 正方形ABCD， 设的半径为 【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，二次根式的运算，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-2】在四边形中，，，以点为圆心，长为半径作，连接，交于， (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理： （1）过点作于点，先证，推出，可知点在上，是的半径，根据切线的判定可知与相切； （2）先证是等边三角形，求出的度数，再根据即可求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图：过点作于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 点在上，是的半径， 又 ， 与相切． （2）解：， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 【变式4-3】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，点是菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据菱形的性质，切线的判定定理证明即可． （2）根据菱形的性质，证明是等边三角形，利用勾股定理，解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， 与相切于点． ，是的半径， 四边形是菱形， 平分， ， ， 与相切． （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， 在菱形中，，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，切线的判定和性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中常见辅助线的作法（举一反三专项训练） 【北师大版】 【题型1 见弦连半径】 1 【题型2 见弦作垂线】 3 【题型3 见直径作圆周角】 4 【题型4 见切线作半径或垂线】 5 类型一 见弦连半径 遇到弦时，连半径．作用：①连接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形；②连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角． 类型二 见弦作垂线 解决有关弦的问题，常添加弦心距或作垂直于弦的半径（或直径）．作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系． 类型三 见直径作圆周角 遇到直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角．作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形． 类型四 见切线作半径或垂线 遇到某一直线是圆的切线时：连接切点与圆心，利用圆的切线的性质求解问题． 【题型1 见弦连半径】 【例1】如图，内接于，的半径为3，点是上的一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知在⊙O中，直径MN=20，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为(   ) A． B． C．5 D． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点． (1)求证：； (2)和的长度相等吗？请说明理由． 【变式1-3】（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 类型二 见弦作垂线 解决有关弦的问题，常添加弦心距或作垂直于弦的半径（或直径）．作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系 【题型2 见弦作垂线】 【例2】如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为（　　） A．16 B．20 C．18 D．22 【变式2-1】如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=45°，则EM+FN= ． 【变式2-2】如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点在的直径上，作正方形和正方形，其中点、在直径所在直线上，点、、、都在上，如果两个正方形的面积之和为，，则的半径长是 ． 【题型3 见直径作圆周角】 【例3】如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是 ． 【变式3-1】如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为3，，求的长． 【变式3-2】（2025·河南商丘·二模）如图，内接于，为的直径，点为上的点，且，则的值为 ． 【变式3-3】如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使，连接FB，FC． 求证：四边形ABFC是菱形； 若，，求半圆和菱形ABFC的面积． 只用一把无刻度的直尺，作出菱形AB上的高CH． 【题型4 见切线作半径或垂线】 【例4】如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（　　） A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12） 【变式4-1】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M， （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径． 【变式4-2】在四边形中，，，以点为圆心，长为半径作，连接，交于， (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式4-3】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，点是菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求菱形的边长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $