第3章 圆——切线的判定与性质 专项训练 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

切线的判定与性质精选题21道 一．选择题（共7小题） 1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论： （1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°． 其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（　　） A．2.5 B．1.5 C．3 D．4 3．如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（　　） A．3 B．4 C． D． 4．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（　　） A． B．2 C． D． 5．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2．其中正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 6．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠AMN＝60°，则下列结论不正确的是（　　） A．l1和l2的距离为2 B．当MN与⊙O相切时，AM＝2 C．MN D．当∠MON＝90°时，MN与⊙O相切 7．下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共7小题） 8．如图，直线yx﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是　 　 ． 9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点．以点P为圆心、以1为半径作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，BP的长为 　 　 ． 10．如图，量角器的零刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝12cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 　 　 cm． 11．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则折痕EF的长为 　 　 ． 12．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线yx2+1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的横坐标为 　 　 ． 13．如图所示，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝6cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 　 　 cm． 14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，点P为线段BC上的一动点，连接DP，以DP为直径的圆M，当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，线段BP的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 15．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长． 16．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB＝5，sin∠CBF，求BC和BF的长． 17．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若BF＝2，DH，求⊙O的半径． 18．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长． 19．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：CE＝CF； （3）若BD＝1，CD，求弦AC的长． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，∠OBC＝∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E∠BOC． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC，求BD的长． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长． 切线的判定与性质精选题21道 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D B C A B D 一．选择题（共7小题） 1．【解答】解：（1）连接CO，DO， ∵PC与⊙O相切，切点为C， ∴∠PCO＝90°， 在△PCO和△PDO中， ， ∴△PCO≌△PDO（SSS）， ∴∠PCO＝∠PDO＝90°， ∴PD与⊙O相切， 故（1）正确； （2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD， 在△CPB和△DPB中， ， ∴△CPB≌△DPB（SAS）， ∴BC＝BD， ∴PC＝PD＝BC＝BD， ∴四边形PCBD是菱形， 故（2）正确； （3）连接AC， ∵PC＝CB， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， 在△PCO和△BCA中， ， ∴△PCO≌△BCA（ASA）， ∴PO＝AB， 故（3）正确； （4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°， ∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°， ∴∠PDB＝120°， 故（4）正确； 正确个数有4个， 故选：A． 2．【解答】解：如图，连接OE并延长交CF于点H， ∵矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'B'C'D'， ∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，A′B′∥CD′， BC＝B′C＝4， ∵边A'B'与⊙O相切，切点为E， ∴OE⊥A′B′， ∴四边形EB′CH是矩形， ∴EH＝B′C＝4， OH⊥CF， ∵AB＝5， ∴OE＝OCAB， ∴OH＝EH﹣OE， 在Rt△OCH中，根据勾股定理，得 CH2， ∴CF＝2CH＝4． 故选：D． 3．【解答】解：设⊙O与PB相切于点C，连接OC，如图所示： ∵⊙O与PB相切于点C， ∴PB⊥OC，OC＝2， ∵∠APB＝30°， ∴OP＝2OC＝2×2＝4； 故选：B． 4．【解答】解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，如图， ∵边A1B1与⊙O相切于点E， ∴OE⊥A1B1． ∵四边形A1B1C1D1是矩形， ∴A1B1⊥B1C，B1C⊥CD1． ∴四边形B1EFC为矩形． ∴EF＝B1C＝8． ∵CD为⊙O的直径， ∴OE＝DO＝OCAB＝5． ∴OF＝EF﹣OE＝3． ∵A1B1∥CD1，OE⊥A1B1， ∴OF⊥CD1． ∴CF4． 由旋转的性质可得：∠OCF＝∠B1CG． ∴sin∠OCF＝sin∠B1CG，cos∠OCF＝cos∠B1CG． ∵sin∠OCF，cos∠OCF， ∴，． ∴B1G，CG． ∴BG＝BC﹣CG． ∴BB1． 故选：C． 5．【解答】解：连接DC， ∵点E与点D关于AC对称， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴∠E+∠F＝90°， ∵∠CDE+∠CDF＝90°， ∴∠F＝∠CDF， ∴CD＝CF， ∴CE＝CD＝CF， 故①正确； ∵CE＝CD＝CF， ∴EF＝2CD， 当CD最小时，则EF最小， ∴当CD⊥AB时，CD最小， ∵AB是半⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝8，∠CBA＝30°， ∴ACAB＝4，∠CAB＝90°﹣∠CBA＝60°， 在Rt△ADC中，CD＝ACsin60°＝42， ∴EF＝2CD＝4， ∴线段EF的最小值为4， 故②不正确； 连接OC， ∵OA＝OC，∠A＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∵AD＝2，OA＝4， ∴OD＝OA﹣AD＝4﹣2＝2， ∴AD＝OD， ∴∠ACD∠ACO＝30°， ∵点E与点D关于AC对称， ∴∠ECA＝∠ACD＝30°， ∴∠OCE＝∠ECA+∠ACO＝90°， ∵OC是半⊙O的半径， ∴EF与半⊙O相切， ∴当AD＝2时，EF与半圆相切， 故③正确； 当点F恰好落在弧BC上时，连接AF、BF， ∵点E与点D关于AC对称， ∴AC⊥DE， ∴∠AGD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠AGD＝90°， ∴DE∥BC， ∵CF＝CE， ∴FH＝DH， ∵∠EDF＝90°，BC∥DE， ∴∠BHD＝∠EDF＝90°， ∴BC是DF的垂直平分线， ∴BF＝BD， ∴∠FBA＝2∠CBA＝60°， ∵AB是半⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴FB＝ABcos60°＝84， ∴BD＝BF＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝8﹣4＝4， 故④不正确， 所以，正确结论的序号是①③， 故选：A． 6．【解答】解：连接OA、OB，如图1， ∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B， ∴OA⊥l1，OB⊥l2， ∵l1∥l2， ∴点A、O、B共线， ∴AB为⊙O的直径， ∴l1和l2的距离为2； 作NH⊥AM于H，如图1， 则MN＝AB＝2， ∵∠AMN＝60°， ∴sin60°， ∴MN； 当MN与⊙O相切，如图2，连接OM，ON， 当MN在AB左侧时，∠AMO∠AMN60°＝30°， 在Rt△AMO中，tan∠AMO，即AM， 在Rt△OBN中，∠ONB＝∠BNM＝60°，tan∠ONB，即BN， 当MN在AB右侧时，AM， ∴AM的长为； 当∠MON＝90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2， ∵OA＝OB， ∴Rt△OAF≌Rt△OBN， ∴OF＝ON， ∴MO垂直平分NF， ∴OM平分∠NMF， ∴OE＝OA， ∴MN为⊙O的切线． 故选：B． 7．【解答】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确； ②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确； ③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确； ④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确． 故选：D． 二．填空题（共7小题） 8．【解答】解：∵直线yx﹣3交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD＝1， ∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP， ∴OP或OP， ∴P（，0）或P（，0）， 故答案为：（，0）或P（，0）． 9．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∵BC＝2， ∴DC2， ∴BD＝2DC＝4， ①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°， ∵PE＝1，∠PBE＝30°， ∴PB＝2， ∵BD平分∠ABC， 过点P作PF⊥AB， ∴PE＝PF， ∴此时⊙P与AB相切； ②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC， ∴PE∥BC， ∴∠DPE＝30°， ∵PE＝1， ∴DE， ∴PD＝2DE， ∴PB＝BD﹣PD＝4， 综合以上可得，当⊙P与△ACB的边相切时，BP长为2或4． 故答案为：2或4． 10．【解答】解：如图，设圆心为O， 连接OC，OD． ∵直尺一边与量角器相切于点C， ∴OC⊥AD， ∵AD＝12cm，∠DOB＝60°， ∴∠DAO＝30°， ∴OE＝2（cm），OA＝4（cm）， ∴CE＝OC﹣OE＝OA﹣OE＝2（cm）， 故答案为：2． 11．【解答】解：过点G作O′G⊥OB于点G，过点A作AO′⊥O′G于点O′，连接OO′交EF于H，连接OF，如图所示： ∴∠AO′G＝∠O′GO＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴四边形AOGO′为矩形， ∴O′G＝AO＝6， 根据题意，得点O′为所在圆的圆心， ∴点O与点O′关于EF对称， ∴OO′⊥EF，OH＝HO′， 设OH＝x，则OO′＝2x， ∵∠EOH＝∠O′OA，∠OHE＝∠OAO′， ∴Rt△OEH∽Rt△OO′A， ∴OE：OH＝OO′：OA， ∵OE＝5，OA＝6， ∴5：x＝（2x）：6， 解得x， ∴OH， ∵OE＝5，OF＝6， 根据勾股定理，得EH，FH， ∴EF， 故答案为：． 12．【解答】解：由⊙P的半径为1，⊙P与x轴相切可知圆心P的纵坐标为1或﹣1， 当圆心P的纵坐标为1时，即x2+1＝1， 解得x＝0， 当圆心P的纵坐标为﹣1时，即x2+1＝﹣1， 解得x＝2或x＝﹣2， 故答案为：2或﹣2或0． 13．【解答】解：如图，连接OC，OD，OC与AD相交于点E． ∵直尺一边与量角器相切于点C， ∴OC⊥AD， ∵AD＝6cm，∠DOB＝60°， ∴∠DAO＝30°，AE＝DE＝3（cm）， ∴OE（cm），OA＝2（cm）， ∴CE＝OC﹣OE＝OA﹣OE（cm）， 故答案为：． 14．【解答】解：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，设切点为Q，连接QM． ∵⊙M与AB相切，切点为Q， ∴MQ∥PB， ∵DM＝PM， ∴AQ＝QB＝6， ∵∠A＝∠B＝∠DQP＝90°， ∴∠AQD+∠BQP＝90°，∠BQP+∠QPB＝90°， ∴∠AQD＝∠BPQ， ∴△DAQ∽△QBP， ∴， ∴， ∴BP＝4． 如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，四边形ABPD是矩形， ∴BP＝AD＝9． 综上所述，满足条件的BP的值为4或9． 所以最小值为4， 故答案为：4． 三．解答题（共7小题） 15．【解答】解：（1）连接OC， ∵OD⊥AC，OD经过圆心O， ∴AD＝CD， ∴PA＝PC， 在△OAP和△OCP中， ∵， ∴△OAP≌△OCP（SSS）， ∴∠OCP＝∠OAP ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°． ∴∠OCP＝90°， 即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线． （2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∵AB＝10， ∴OC＝5， 由（1）知∠OCF＝90°， ∴CF＝OCtan∠COB＝5． 16．【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． ∵AB＝AC， ∴∠1∠CAB． ∵∠CBF∠CAB， ∴∠1＝∠CBF ∴∠CBF+∠2＝90° 即∠ABF＝90° ∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线． （2）解：过点C作CG⊥AB于G． ∵sin∠CBF，∠1＝∠CBF， ∴sin∠1， ∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5， ∴BE＝AB•sin∠1， ∵AB＝AC，∠AEB＝90°， ∴BC＝2BE＝2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2， ∴sin∠2，cos∠2， 在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2， ∴AG＝3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF， ∴ ∴BF 17．【解答】（1）证明：如图1，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C， ∵BF＝BE， ∴AB﹣BF＝BC﹣BE， 即AF＝CE， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接AH， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD＝∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°， ∵AD＝AB，DH， ∴DB＝2DH＝2， 在Rt△ADF和Rt△BDF中， ∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2， ∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2， ∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2， ∴， ∴AD＝5． ∴⊙O的半径为． 18．【解答】（1）证明：连接OF，如图1所示： ∵CD⊥AB， ∴∠DBC+∠C＝90°， ∵OB＝OF， ∴∠DBC＝∠OFB， ∵EF＝EC， ∴∠C＝∠EFC， ∴∠OFB+∠EFC＝90°， ∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°， ∴OF⊥EF， ∵OF为⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接AF，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵D是OA的中点， ∴OD＝DAOAAB4＝1， ∴BD＝3OD＝3， ∵CD⊥AB，CD＝AB＝4， ∴∠CDB＝90°， 由勾股定理得：BC5， ∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC， ∴△FBA∽△DBC， ∴， ∴BF， ∴CF＝BC﹣BF＝5． 19．【解答】解：（1）连接OC，如图所示， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ABC＝90°， ∵CE＝CB， ∴∠CAE＝∠CAB， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠CAB＝∠BCD， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB+∠BCD＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC， ∴△ABC≌△AFC（ASA）， ∴CB＝CF， 又∵CB＝CE， ∴CE＝CF； （3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB， ∴△DCB∽△DAC， ∴， ∴， ∴DA＝2， ∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1， 设BC＝a，ACa，由勾股定理可得：， 解得：a， ∴． 20．【解答】（1）证明：∵∠E∠DOF，∠E∠BOC， ∴∠DOF＝∠BOC， ∵∠C＝90°， ∴∠OBC+∠BOC＝90°， ∴∠OBC+∠DOF＝90°， ∵∠OBC＝∠A， ∴∠A+∠DOF＝90°， ∴∠ADO＝90°， ∴OD⊥AD， ∴AB为⊙O的切线； （2）解：∵∠OBC＝∠A， ∴tan∠OBC＝tan∠A， ∵OD＝3， ∴AD＝2OD＝6， ∴OA3， 设OC＝x，则BC＝2x， 在Rt△ABC中，tan∠A， ∴， 解得x， ∴OC，BC＝2， ∴OB5， ∴BD4． 21．【解答】解：（1）连接BD， ∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE， ∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠FDE＝90°， 即∠BDF＝90°， ∴DF⊥BD， 又∵BD是⊙O的直径， ∴DF是⊙O的切线． （2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝2×4＝8， ∴4， ∵点D是AC的中点， ∴， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°， ∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°， ∴， 在Rt△BCD中，2， 在Rt△BED中，BE5， ∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE， ∴∠FDE＝∠DBE， ∵∠DEF＝∠BED＝90°， ∴△FDE∽△DBE， ∴，即， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/27 9:46:10；用户：真理实验学校；邮箱：zhenli@jyeoo.com；学号：55633728 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $