3.3垂径定理 专项训练 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

垂径定理精选题42道 一．选择题（共16小题） 1．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 3．如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　） A．2cm B．cm C．2cm D．2cm 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（　　） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　） A． B．8 C． D． 6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　） A．9.6 B．4 C．5 D．10 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．（4）米 C．2米 D．（4）米 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　） A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 10．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．6 D．8 12．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　） A． B．4 C． D．5 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　） A．cm B．3cm C．3cm D．6cm 14．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D．4 15．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF，则BF的长为（　　） A． B．1 C． D． 16．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（　　） A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm 二．填空题（共17小题） 17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 　 　 ． 18．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为　 　 ． 19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为　 　 ． 20．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 　 　 ． 21．如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为 　 　 ． 22．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 　 　 ． 23．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 　 　 ． 24．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 　 　 ． 25．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为　 　 ． 26．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　 　 厘米． 27．⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 　 　 ． 28．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 　 　 ． 29．如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 　 　 ． 30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为　 　 cm． 31．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为　 　 ． 32．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm．则AB和CD之间的距离 　 　 ． 33．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 　 　 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 34．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC，OCOB． （1）求⊙O的半径； （2）求∠BAC的正切值． 35．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 36．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E． （1）求线段DE的长； （2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径． 37．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝30°，求CD． 38．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8． （1）求⊙O的半径长； （2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长． 39．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB． （1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径； （2）若∠M＝∠D，求∠D的度数． 40．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 41．如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若，OG＝2，求⊙O的半径． 42．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D． （1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长； （3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数． 垂径定理精选题42道 参考答案与试题解析 一．选择题（共16小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D B D A B C A A D 题号 12 13 14 15 16 答案 D A C A D 一．选择题（共16小题） 1．【解答】解：∵AD＝CD＝8， ∴OB⊥AC， 在Rt△AOD中，OA10， ∴OB＝10， ∴BD＝10﹣6＝4． 故选：B． 2．【解答】解：连接BE，如图， ∵OD⊥弦AB，AB＝8， ∴ACAB＝4， 设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中， r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， ∴AE＝2r＝10； ∵OD＝5，CD＝2， ∴OC＝3， ∵AE是直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE2． 故选：D． 3．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA， ∵OA＝2OD＝2cm， ∴AD（cm）， ∵OD⊥AB， ∴AB＝2AD＝2cm． 故选：D． 4．【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M， ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OM的最大值为5， ∵OM⊥AB于M， ∴AM＝BM， ∵AB＝6， ∴AM＝3， 在Rt△AOM中，OM4； 此时OM最短， 所以OM长的取值范围是4≤OM≤5． 故选：B． 5．【解答】解：连接BE， ∵AE为⊙O直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OD⊥AB，OD过O， ∴AC＝BCAB4， ∵AO＝OE， ∴BE＝2OC， ∵OC＝3， ∴BE＝6， 在Rt△CBE中，EC2， 故选：D． 6．【解答】解：∵OE⊥AC， ∴AE＝EC， ∵AB⊥CD， ∴∠AFC＝∠AEO＝90°， ∵OE＝3，OB＝5， ∴AE， ∴AC＝8， ∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC， ∴△AEO∽△AFC， ∴，即：， ∴， ∵CD⊥AB， ∴CD＝2CF9.6． 故选：A． 7．【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA， ∵点C为运行轨道的最低点， ∴OC⊥AB， ∴ADAB＝3（米）， 在Rt△OAD中，OD（米）， ∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4）米， 故选：B． 8．【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC＝HD， ∵AP＝2，BP＝6， ∴AB＝8， ∴OA＝4， ∴OP＝OA﹣AP＝2， 在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°， ∴∠POH＝60°， ∴OHOP＝1， 在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH， ∴CD＝2CH＝2． 故选：C． 9．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm， ∴CECD＝4cm． 在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm， ∴OE3cm， ∴AE＝AO+OE＝5+3＝8cm． 故选：A． 10．【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB8＝4， 在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4， ∴OD3， ∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2． 故选：A． 11．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°， ∵MO＝6，∠OMA＝30°， ∴OCMO＝3， 在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC4， ∵OC⊥AB，OC过O， ∴BC＝AC， 即AB＝2AC＝2×4＝8， 故选：D． 12．【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB， 则OB＝7， ∵PA＝4，PB＝6， ∴AB＝PA+PB＝10， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝5， ∴PC＝PB﹣BC＝1， 在Rt△OBC中，根据勾股定理得： OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24， 在Rt△OPC中，根据勾股定理得： OP5， 故选：D． 13．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴圆心O到弦CD的距离为OE； ∵∠COB＝2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°； 在Rt△OCE中， OC＝5cm，OE＝OC•cos∠COB， ∴OEcm． 故选：A． 14．【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵OD⊥AC， ∴点D是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC，且ODBC， 设OD＝x，则BC＝2x， ∵DE＝4， ∴OE＝4﹣x， ∴AB＝2OE＝8﹣2x， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2， ∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2， 解得x＝1． ∴BC＝2x＝2． 故选：C． 15．【解答】解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J． ∵， ∴AC＝BC，OC⊥AB， ∵AB是直径， ∴ACB＝90°， ∴∠ACJ＝∠CBF＝45°， ∵CF⊥AD， ∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠CAJ＝∠BCF， ∴△CAJ≌△BCF（ASA）， ∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1， ∵OC＝OB， ∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y， ∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB， ∴△ACE≌△CBH（AAS）， ∴EC＝BH＝1， ∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°， ∴△CEJ∽△COF， ∴， ∴， ∴EJ， ∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH， ∴△BHF≌△CEJ（AAS）， ∴FH＝EJ， ∵AE∥BH， ∴， ∴， 整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0， 解得xy或xy（舍弃）， ∴y＝2x， ∴， 解得x或（舍弃）． ∴BF， 故选：A． 16．【解答】解：连接AB，OB， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm， 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2， 即AB， ∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC， ∴BF＝FC， ∴OF． 故选：D． 二．填空题（共17小题） 17．【解答】解：∵OD⊥BC， ∴BD＝CDBC＝3， ∵OBAB＝5， ∴OD4． 故答案为4． 18．【解答】解：连接OC， ∵CD⊥AB， ∴CH＝DHCD8＝4， ∵直径AB＝10， ∴OC＝5， 在Rt△OCH中，OH3， 故答案为：3． 19．【解答】解：连接OC， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DECD6＝3， 设⊙O的半径为x， 则OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣1， 在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2， ∴x2＝32+（x﹣1）2， 解得：x＝5， ∴⊙O的半径为5， 故答案为：5． 20．【解答】解：连接BE，如图所示： ∵OD⊥AB，AB＝8， ∴ACAB＝4， 设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， ∴AE＝2r＝10； ∵OD＝5，CD＝2， ∴OC＝3， ∵AE是直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE2， 故答案为：2． 21．【解答】解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD． ∵CH是直径， ∴∠CBH＝∠CDH＝90°， ∴CB⊥BH， ∵CB⊥AD， ∴AD∥BH， ∴∠ADB＝∠DBH， ∴， ∴DH＝BA＝2， 而CD＝6， 根据勾股定理CH2， ∴⊙O半径长为． 故答案为． 22．【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点， ∴OD＝CD， ∵OC⊥AB， ∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD， 在△AOD和△BCD中， ∴△AOD≌△BCD（SAS）， ∴BC＝OA＝7． 故答案为：7． 23．【解答】解：连接PO， ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值， 连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝6、MQ＝8， ∴OM＝10， 又∵MP'＝r＝4， ∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14， ∴AB＝2OP'＝2×14＝28； ∴A点坐标为（﹣14，0）， 故答案为：（﹣14，0）． 24．【解答】解：延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD交于点E， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵AO＝DO， ∴△AOD是等边三角形， ∵OA＝4， ∴AD＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°， ∵EO⊥AD， ∴AE＝DE， ∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上， 在Rt△DEO中，DO＝4，DE＝2， ∴EO＝2， ∴CO的最小值为22， 故答案为：22． 25．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD＝DB＝DA， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）， 26．【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线， 由题意可得：OC⊥AB，ACAB＝10（厘米）， 设镜面半径为x厘米， 由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2， ∴x＝26， ∴镜面半径为26厘米， 故答案为：26． 27．【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB于M， ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB于M， ∴AM＝BM， ∵AB＝6， ∴AMAB＝3， 在Rt△AOM中，OM4， OM的长即为OP的最小值， ∴4≤OP≤5． 故答案为：4≤OP≤5． 28．【解答】解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H． 根据垂径定理，得到BEAB＝4，CFCD＝3， ∴OE3， OF4， ∴CH＝OE+OF＝3+4＝7， BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7， 在直角△BCH中根据勾股定理得到BC＝7， 则PA+PC的最小值为． 故答案为： 29．【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°， ∴∠BQC＝90°， ∴点Q在以BC为直径的圆上运动， ∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP， ∴△ADP≌△EDP（SAS）， ∴AP＝EP， ∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON22， ∴AP+PQ的最小值为， 故答案为：． 30．【解答】解：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE＝DECD＝4cm， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA＝22.5°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE＝45°， ∴△COE为等腰直角三角形， ∴OCCE＝4cm， 故答案为：4 31．【解答】解：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CECD＝2，∠OEC＝90°， 设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1， 根据勾股定理得：CE2+OE2＝OC2， 即22+（x﹣1）2＝x2， 解得：x； 故答案为：． 32．【解答】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BEAB＝12，CF＝DFCD＝5， 在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12， ∴OE5， 在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5， ∴OF12， 当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE＝12+5＝17； 当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7； 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm． 故答案为7cm或17cm． 33．【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG． ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB， 在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1， ∴AG＝2OG，OA， ∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2， ∴∠AGO＝60°， ∵GC＝GA， ∴∠GCA＝∠GAC， ∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC， ∴∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴AC＝2OA＝2，MGCG＝1， ∵∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的⊙M上， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM1． 故答案为2，1． 三．解答题（共9小题） 34．【解答】解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D， ∵AB＝8， ∴AD＝BDAB＝4， 在Rt△OBD中，cos∠ABC， ∴OB5， ∴⊙O的半径为5； （2）过点C作CE⊥AB，垂足为E， ∵OCOB，OB＝5， ∴BCOB＝7.5， ∵OD⊥AB， ∴OD∥CE， ∴， ∴， ∴BE＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2， 在Rt△BCE中，CE4.5， 在Rt△ACE中，tan∠BAC， ∴∠BAC的正切值为． 35．【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC， ∴BDBC， ∴OD； （2）如图（2），存在，DE是不变的． 连接AB，则AB2， ∵D和E分别是线段BC和AC的中点， ∴DEAB； （3）如图（3），连接OC， ∵BD＝x， ∴OD， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠3＝45°， 过D作DF⊥OE， ∴DF，由（2）已知DE， ∴在Rt△DEF中，EF， ∴OE＝OF+EF ∴yDF•OE•• （0＜x）． 36．【解答】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC， ∴AD＝DC， 同理：CE＝EB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵AB＝8， ∴DE＝4． （2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA， ∵OH经过圆心O， ∴AH＝BHAB， ∵AB＝8， ∴AH＝4， 在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2， ∴AO＝5，即圆O的半径为5． 37．【解答】解：∵AE＝6cm，EB＝2cm， ∴OA＝（6cm+2cm）÷2＝4cm， ∴OE＝4cm﹣2cm＝2cm， 过点O作OF⊥CD于F，可得∠OFE＝90°，即△OEF为直角三角形， ∵∠CEA＝30°， ∴OFOE＝1cm， 连接OC， 根据勾股定理可得， 在Rt△COF中，CD＝2CF＝222cm． 38．【解答】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r， ∵AB⊥CD， ∴∠OED＝90°，DE＝CECD8＝4， 在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得r＝5， 即⊙O的半径长为5； （2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8， ∴BC4， ∵OF⊥BC， ∴BF＝CFBC＝2，∠OFB＝90°， 在Rt△OBF中，OF， 即OF的长为． 39．【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16， ∴CE＝DE＝8， 设OB＝x， 又∵BE＝4， ∴x2＝（x﹣4）2+82， 解得：x＝10， ∴⊙O的直径是20． （2）∵∠M∠BOD，∠M＝∠D， ∴∠D∠BOD， ∵AB⊥CD， ∴∠D＝30°． 40．【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴CF＝DF， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴，∠OFC＝90°， ∴CO2＝CF2+OF2， 设⊙O的半径是r， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径是5． 41．【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F， ∴∠CFG＝∠GEB＝90° 又∵∠CGF＝∠BGE， ∴∠C＝∠GBE， ∵， ∴∠C＝∠DBE， ∴∠GBE＝∠DBE， ∵AB⊥CD， ∴∠GEB＝∠DEB＝90°， ∴∠BGE＝∠BDE， ∴BD＝BG， 又∵BE⊥DG， ∴ED＝EG； （2）解：如图，连接OA，设OA＝r，则DG＝r+2， ∴， ∴， ∵AB⊥CD于E，， ∴， 在Rt△OEA中，OE2+AE2＝OA2， 即， 解得或r＝﹣6（舍）． 即⊙O的半径为． 42．【解答】解：（1）BC∥MD． 理由：∵∠M＝∠D，∠M＝∠C，∠D＝∠CBM， ∴∠M＝∠D＝∠C＝∠CBM， ∴BC∥MD； （2）∵AE＝16，BE＝4， ∴OB10， ∴OE＝10﹣4＝6， 连接OC， ∵CD⊥AB， ∴CECD， 在Rt△OCE中， ∵OE2+CE2＝OC2，即62+CE2＝102，解得CE＝8， ∴CD＝2CE＝16； （3）如图2， ∵∠M∠BOD，∠M＝∠D， ∴∠D∠BOD，即∠BOD＝2∠D， ∵AB⊥CD， ∴∠BOD+∠D＝90°，即3∠D＝90°，解得∠D＝30°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/27 9:41:38；用户：真理实验学校；邮箱：zhenli@jyeoo.com；学号：55633728 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $