山东省泰安市2026年中考数学一轮复习图形的性质专题----相交线与平行线专题训练

山东省泰安市2026年中考一轮复习图形的性质专题----相交线与平行线专题训练 一、单选题 1．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（    ）      A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 2．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知矩形，用一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点E是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，C，D的对应点分别为，，连接交于点F，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知中，，，过的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 11．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，则∠COE的度数是（ ） A．45° B．70° C．55° D．110° 12．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，已知，，则 度． 14．如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为 ． 15．如图，已知三点在同一直线上，若平分，则 °． 16．如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定的条件有 （填写所有正确的序号）． 17．如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ． 18．如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 ． 三、解答题 19．如图中，的平分线交于点P，过点P作，分别交于D，E．求证：． 20．如图，直线，等边的顶点、分别在直线和上，边与直线所夹的角记为，边与直线所夹的角记为．（友情提示：等边三角形每个内角都等于） (1)当，求的大小； (2)写出、满足的等式关系，并说明你写出的等式关系正确． 21．如图，是四边形的对角线，，点E、F分别在、上，，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D，C分别在，的位置上，如图所示，若，求与的度数．    23．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 24．如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 25．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图       说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据回答以下问题： (1)______°，______°； (2)计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等、两直线平行解答即可． 【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行． 故选C． 2．B 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，即可求出答案． 【详解】解：如图，∵直线，，， ∴，                                                                                                                                                      ∴．                                                      故选：B． 3．C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查矩形的性质，平行线公理推论，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图，过点M作，根据平行线的性质与矩形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点M作， ∵矩形， ∴， ∵， , ∴， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的性质．先求得，利用角平分线的定义求得，再利用平角的性质即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，再结合即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：C． 9．D 【分析】由折叠的性质可得，，根据等边对等角，得出，再利用三角形外角的性质得出，从而可得，于是可判定． 【详解】解：如图， ∵点E是的中点， ∴， ∵将矩形沿所在的直线折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角相等两直线平行，三角形的外角的性质，等边对等角，根据矩形的性质求线段长，矩形与折叠问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 10．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，点到直线的距离，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作于点，过点作于点，根据点到直线的距离，得到，，证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：A． 11．C 【分析】根据邻补角的性质可得∠COB=110°，再根据角平分线的性质课可得∠COE=∠COB，进而得到答案． 【详解】解：∵∠BOD=70°， ∴∠COB=110°， ∵OE平分∠COB， ∴∠COE=∠COB=55°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了对顶角，邻补角，关键是掌握邻补角互补． 12．C 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选：C． 13． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得，进而根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据直角三角形锐角互余得到，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵直线c，， ∴， ∵直线， ∴， 故答案为：． 15．60 【分析】此题考查了邻补角定义，角平分线的定义，求几何图形中角的度数，正确理解邻补角定义是解题的关键． 根据邻补角定义，角平分线定义进行推理论证即可． 【详解】解：∵三点在同一直线上， ， ， ， 平分， ， 故答案为：60． 16．①③④ 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．根据平行线的判定方法逐个判断即可解答． 【详解】解：①，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得，故①正确； ②，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，故②错误； ③，根据“内错角相等，两直线平行”可得，故③正确； ④，根据“同位角相等，两直线平行”可得，故④正确； ⑤，不能判定，故⑤错误． 故答案为：①③④． 17． 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作，根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离．延长交于点，根据相似求出，根据，可得，过点、作，，垂足分别为、，再证明，可得，距离最大，也就是最大，取中点，连接，，即可得． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， ， ， ， 过点，作，，垂足分别为，， ， ， ， 距离最大，也就是最大， 取中点，连接，则， ， ， 最大为， ， 与之间的最大距离为． 故答案为：． 19．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线，解题的关键是掌握等腰三角形中的相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ． 20．(1) (2)，证明过程见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质． （1）由等边三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可得的大小； （2）由平行线的性质，等量代换可得、满足的等式关系，由平行线的性质，结合等边三角形的性质，证明即可． 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用证明，即可得结论； （2）根据全等得到，根据得到，即可得结果． 【详解】（1）解：在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 22．， 【分析】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、翻折变换等知识，解题的关键是利用折叠不变性找到相等的角，先证明，根据邻补角的定义，平行线的性质即可解决． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， ． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，再由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线定义，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据角平分线定义得，又，则，故有，然后通过平行线的判定方法即可求证； （）由平行线的性质可得，通过三角形内角和定理得到，最后通过角平分线定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 25．(1)22，35 (2) 【分析】本题主要考查了对顶角，利用锐角三角函数解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质和锐角三角函数解直角三角形的步骤． （1）利用对顶角的性质求解即可； （2）过点A作于点F，利用锐角三角函数求出，再利用锐角三角函数求出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与是对顶角， ； ∵与是对顶角， ； 故答案为：22，35； （2）解：过点A作于点F，    在中，，， 即， 在中，，， 即， ∴， 解得． 答：新生物A处到皮肤的距离为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $