2026年中考数学第一轮复习 讲义 第26课时：《尺规作图》

该初中数学中考复习讲义聚焦“尺规作图”专题，覆盖中考核心的五种基本作图及应用，以“定义-步骤-性质-应用”构建知识体系，通过核心知识梳理、解题思路指导、真题演练等环节，帮助学生突破作图步骤、痕迹识别等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“痕迹分析-分步突破”教学策略，如通过对比角平分线与垂直平分线的作图痕迹培养几何直观，结合易错警示中的半径要求强化推理意识。真题演练分选择、填空、解答题分层训练，助力学生在有限时间内掌握作图依据与技巧，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 26 课时 尺规作图 一、核心知识 （一）尺规作图的定义 在几何作图中，只用 直尺和 来作图，这种作图方法叫做尺规作图。尺规作图不允许使用 、 等有刻度的工具，仅通过直尺作 ，圆规画 来完成作图。 （二）五种基本尺规作图（中考核心） 五种基本尺规作图是所有复杂尺规作图的基础，需熟练掌握作图步骤和痕迹保留要求，以下为步骤挖空版： 1. 作一条线段等于已知线段 已知：线段AB求作：线段CD，使CD=AB。 步骤：(1) 作 ；(2) 用圆规量取已知线段AB的长度，以点C为圆心， 为半径画弧，交射线CM于点D，则线段CD即为所求。 2. 作一个角等于已知角 已知：∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。 步骤：(1) 作 ；(2) 以点 为圆心， 为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(3) 以点 为圆心， 为半径画弧，交O′A′于点C′；(4) 以点 为圆心， 的长为半径画弧，与前弧交于点D′；(5) 过点 作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求。 3. 作已知角的平分线 已知：∠AOB求作：射线OC，使OC平分∠AOB 步骤：(1) 以点 为圆心， 为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；(2) 分别以 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；(3) 作射线OC，则射线OC即为∠AOB的平分线。 4. 作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB求作：直线，使垂直平分AB. 步骤：(1) 分别以点 为圆心，大于 的长为半径在AB两侧画弧，两弧分别交于点M、N；(2) 作直线MN，则直线MN即为线段AB的垂直平分线（垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等）。 5. 过一点作已知直线的垂线 分两种情况：过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线，核心步骤一致。 已知：直线，点P（P在上 /外）求作：直线PQ，使PQ⊥于点Q。 步骤：(1) 以点 为圆心， 为半径画弧，交直线于点M、N（P在上时，M、N在P两侧）；(2) 分别以点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点Q；(3) 作直线PQ，则直线PQ即为所求的垂线。 （三）利用基本作图作常见几何图形 作三角形： 已知三边作三角形：利用作一条线段等于已知线段依次作三边，拼接成三角形； 已知两边及其夹角作三角形：先作一个角等于已知角，再在角的两边上截取已知线段，连接端点得三角形； 已知两角及其夹边作三角形：先作已知线段，再在线段两端作两个角等于已知角，角的另一边交于一点得三角形； 已知斜边和一条直角边作直角三角形：先作垂线得直角，再截取已知直角边和斜边，连接得三角形。 作圆的相关图形： 作三角形的外接圆：作三角形三边的垂直平分线，交点为外心，以外心为圆心、外心到顶点的距离为半径画圆； 作三角形的内切圆：作三角形三个角的平分线，交点为内心，以内心为圆心、内心到边的距离为半径画圆。 （四）尺规作图的一般步骤 已知：明确作图的已知条件，用几何语言描述； 求作：明确作图的目标，写出要作的图形及满足的条件； 作法：分步描述作图过程，只写尺规操作的关键步骤，不写推理过程； 作图：在图中画出清晰的作图痕迹（弧、直线、射线等），保留所有画弧的痕迹，不能擦除； 结论：指出所作的图形即为所求。 （五）尺规作图的核心性质与依据 尺规作图的每一步都有几何定理作为依据，核心依据： 全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA）：作等角、等线段的核心依据； 线段垂直平分线的性质与判定：作垂直平分线、垂线的依据； 角平分线的性质与判定：作角平分线的依据； 圆的基本性质：同圆或等圆中，半径相等（圆规画弧的依据）。 二、核心能力 题型 1 基本尺规作图的识别与痕迹判断 解题思路 熟记五种基本尺规作图的核心步骤和作图痕迹特征：如作角平分线、垂直平分线均有 “两段弧交于一点” 的痕迹，作等角有 “三次画弧” 的痕迹； 结合作图依据判断：如看到 “以线段两端为圆心画弧”，大概率是作线段的垂直平分线；看到 “以角的顶点为圆心画弧，再以弧与角两边的交点为圆心画弧”，大概率是作角的平分线； 排除干扰项：区分 “作垂线” 和 “作垂直平分线”、“作等角” 和 “作角平分线” 的痕迹差异，排除用刻度尺、量角器作图的错误选项。 题型 2 利用基本作图作三角形（已知边、角条件） 解题思路 分析已知条件：判断是 “SSS、SAS、ASA、HL” 哪种作图类型，明确作图的先后顺序； 选择基础作图：根据条件选取对应的基本作图（如 SAS 先作等角，再作等线段；SSS 连续作等线段）； 规范作图步骤：先作基础图形（角、线段），再拼接成三角形，保留所有作图痕迹； 验证图形：根据三角形的判定定理，验证所作三角形满足已知条件。 题型 3 尺规作图的实际应用（最短路径、位置确定） 解题思路 转化几何问题：将实际问题转化为尺规作图的几何模型，如 “找到两直线距离相等的点” 转化为作角平分线，“找到线段两端点距离相等的点” 转化为作线段的垂直平分线，“最短路径问题” 转化为作对称点（利用轴对称的基本作图）； 确定作图方法：根据转化后的几何模型，选取对应的基本作图组合； 作出图形并作答：画出作图痕迹，指出所求的位置或图形，结合几何性质说明理由。 题型 4 尺规作图与几何证明 / 计算的综合 解题思路 先分析作图痕迹：根据题目给出的尺规作图步骤，判断所作的图形（如角平分线、垂直平分线），提取隐含条件（如线段相等、角相等、垂直关系）； 结合几何性质：将作图得到的隐含条件与三角形、四边形、圆的性质结合（如角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形）； 完成证明 / 计算：证明时利用隐含条件推导结论，计算时结合勾股定理、三角函数、三角形内角和等求解线段长度、角度。 题型 5 复杂尺规作图（组合作图） 解题思路 分解复杂图形：将复杂作图分解为若干个基本尺规作图，如 “作等腰三角形的高” 分解为 “作线段的垂直平分线”，“作三角形的外接圆” 分解为 “作线段的垂直平分线找外心 + 画圆”； 确定作图顺序：按照 “先基础后组合” 的顺序作图，如作三角形内切圆，先作两个角的平分线找内心，再作内心到边的垂线确定半径，最后画圆； 规范保留痕迹：所有基本作图的痕迹都要保留，不能遗漏某一步的弧或直线。 三、易错警示 误区 1 混淆尺规作图的工具要求 错误：作图时使用刻度尺量取长度、量角器量取角度，或用圆规量取后标注刻度；认为直尺可以测量线段长度。 提醒：尺规作图的直尺无刻度，仅能作直线、射线、线段；圆规仅能画弧、圆和量取已知线段的长度，全程不能用任何有刻度的工具，作图痕迹仅能是弧和直线 / 射线。 误区 2 基本作图的步骤错误，遗漏关键画弧 错误：1. 作角平分线、垂直平分线时，以交点为圆心画弧的半径小于21​MN，导致两弧无交点；2. 作等角时，第三步画弧的半径不是 “已知角中弧与两边交点的距离”；3. 作垂线时，仅在直线一侧画弧，找不到交点。 提醒：作角平分线、垂直平分线、垂线时，画弧的半径必须大于21​所截线段的长度，且需在图形两侧画弧；作等角的三步画弧中，前两步半径相同，第三步半径为已知角中两交点的距离，严格遵循步骤。 误区 3 未保留完整的作图痕迹 错误：作图后擦除画弧的痕迹，仅保留最终的直线 / 射线；痕迹画得过于潦草，无法判断作图步骤；用虚线画作图痕迹、实线画最终图形（痕迹与图形线条混淆）。 提醒：作图痕迹是尺规作图的得分关键，所有画弧的痕迹必须保留，不能擦除；建议用实线画作图痕迹和最终图形，或用虚线画痕迹、实线画最终图形，线条清晰可辨。 误区 4 复杂作图的条件分析错误，选取作图方法不当 错误：已知 “两边及其中一边的对角” 作三角形（SSA，无法唯一确定三角形），强行作图；作三角形外接圆时，作三角形的角平分线找外心（外心是垂直平分线的交点，内心是角平分线的交点）。 提醒：作图前先判断条件是否能唯一确定图形，SSA、AAA 无法唯一确定三角形，中考不作要求；熟记特殊图形的作图依据，如外接圆找垂直平分线的交点，内切圆找角平分线的交点，高、中线、角平分线的作图方法区分清楚。 误区 5 几何语言描述不规范，作法书写错误 错误：1. 作法中出现 “量取 AB=3cm”“作角 AOB=60°” 等涉及刻度的描述；2. 步骤描述混乱，如作垂直平分线时，先作直线再画弧；3. 漏写 “作射线 / 直线 / 线段” 等关键操作。 提醒：作法书写仅用尺规作图的规范语言，如 “以 × 为圆心，× 为半径画弧”“作射线 ××”“连接 ××”；步骤按作图的先后顺序书写，先画弧再作直线 / 射线，不跳步、不颠倒；关键的操作步骤不能省略。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·四川模拟）下列选项中的尺规作图（各图中的点都在的边上），能推出的是（      ） A. B. C. D. 2.（24-25·云南模拟）用直尺和圆规作斜边上的高线，以下四个作图中，正确的作法有（      ） A.种 B.种 C.种 D.种 3.（23-24·贵州中考）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤∶以为圆心，为半径画弧①； 步骤∶以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤∶连接，交延长线于点． 下列叙述正确的是（      ） A.垂直平分线段 B.平分 C. D. 4.（24-25·达州模拟）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（      ） A.作一个角等于已知角 B.作一个角的平分线 C.作一条线段的垂直平分线 D.过直线外一点作已知直线的垂线 5.（24-25·江苏模拟）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（    ） A.个 B. 个 C.个 D.个 6.（22-23·湖北中考）如图，使用尺规经过直线外的点作已知直线的平行线，作图痕迹如图： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A.弧②、③的半径长度可以不相等 B.弧①的半径长度不能大于的长度 C.弧④以的长度为半径 D.弧③的半径可以是任意长度 7.（24-25·福建模拟）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A. B. C. D. 8.（24-25·吉林中考）如图，在中，．尺规作图操作如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点，；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点为圆心的弧相交于三角形内部的点；过点画射线交边于点．下列结论错误的为（    ） A. B. C. D. 9.（24-25·山西模拟）如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点．下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 10.（23-24湖南模拟）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（       ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A.①-②-③-④ B.③-②-④-① C.④-③-①-② D.④-①-③-② 11.（24-25四川模拟）如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）     A. B. C. D. 12.（24-25·全国模拟）下列尺规作图的语句错误的是（      ） A.作，使 B.以点 为圆心作线段 C.以点为圆心，线段的长为半径作弧 D.作，使 13.（24-25浙江模拟）已知（如图），按图图所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（      ） A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 14.（22-23山西中考）已知线段，，小明用如图所示的方法作，他的具体作法是①作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点；③作直线，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接，．下列关于小明作的的说法，错误的是（      ） A. B. C. D. 15.（24-25·山东中考）已知，点为上一点，用尺规作图，过点作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A. B. C. D.  （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·云南模拟）如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接．若，则的长为      ． 17.（22-23·山东模拟）下列说法：①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图；②射线与射线表示同一条射线；③若，则点是线段的中点；④钟表在时，时针与分针的夹角是，其中正确的是          ．（填序号） 18（23-24·四川模拟）.阅读下面材料： 尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段．求作：线段，使．在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段等于已知线段. 已知：线段． 求作：线段，使 小亮的作法如下： 如图： 射线； 以为圆心，长为半径作弧交于． 则线段就是所求作的线段. 老师说：“小亮的作法正确” 请回答：小亮的作图依据是       ． 19.（22-23·贵州模拟）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果，那么         ； 20.（24-25·山东模拟）如图，在平行四边形中，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，则的周长是   ．   21.（25-26·全国模拟）如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点、点、点；画射线，反向延长至点；画出的角平分线．则____________．（结果用含的代数式表示） 22.（24-25·湖南模拟）在中，在边上取一点，如图，根据下列作图过程：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点，；②以点为圆心、长为半径向内作弧，交于点；③以点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点；④过点作射线交于点．若，则_______________． 23.（24-25·福建模拟）“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：____________________． 24.（23-24山西模拟）问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 25.（24-25·河南模拟）如图，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是______________．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·达州模拟）如图，已知线段，，用圆规和直尺作线段，使它等于． 27.（25-26·陕西模拟）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 28.（25-26·陕西模拟）如图，已知线段，线段，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． （1）用尺规在图中补全图形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若．①是的中点吗？请说明理由； ②点在线段上，若，求的长． 29.（24-25·贵州模拟）如图，已知中，，． （1）求作，使得且点在上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在的条件下，若，，求的长度． 30.（23-24·陕西模拟）如图，点，，分别是线段上的点，． （1）猜想与的数量关系，并证明． （2）用画图工具在备用图中作的平分线交于点，过点作交的延长线于点．①补全备用图； ②若，求的大小． 31.（22-23·广东模拟）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知，且． （1）在边上求作点，使； （2）在边上求作点，使． 32.（24-25四川模拟）如图，已知射线和射线外两点，按下列要求作图： （1）画射线； （2）画线段，并延长交射线于点； （3）以为一边，用尺规作图作，使在射线的同侧（保留作图痕迹，写结论，不写作法）； （4）在（3）的条件下，若，且与互余，则_________（直接填写）． 33.（24-25·河南模拟）【问题情境】 如图1，把一副直角三角板的直角边和分别放在直线上，两个三角板在直线两侧，已知，． 【问题解决】 （1）图1中， ， ． 【深入探究】 （2）如图2，为射线，将三角板绕点O旋转，使三角板的一边恰好平分，问：此时是否平分？说明理由． （3）将图2中的三角板绕点旋转至图3的位置，使在的内部． ①求的度数； ②在图3中利用尺规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 34.（22-23江西模拟）综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决： （1）尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）已知：如图3，在筝形中，．证明：． （3）如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是          ． 35.（23-24·江苏模拟）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在中，点D在边上，，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在和中，D，分别边BC，上一点，，，，求证． 【应用拓展】 （3）如图③，已知，直线． ①在图③中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的最小值是______． 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 26 课时 尺规作图 一、核心知识 （一）尺规作图的定义 在几何作图中，只用 没有刻度的 直尺和 圆规 来作图，这种作图方法叫做尺规作图。尺规作图不允许使用 刻度尺 、 量角器 等有刻度的工具，仅通过直尺作 直线、射线、线段 ，圆规画 弧、圆 来完成作图。 （二）五种基本尺规作图（中考核心） 五种基本尺规作图是所有复杂尺规作图的基础，需熟练掌握作图步骤和痕迹保留要求，以下为步骤挖空版： 1. 作一条线段等于已知线段 已知：线段AB求作：线段CD，使CD=AB。 步骤：(1) 作 射线CM ；(2) 用圆规量取已知线段AB的长度，以点C为圆心， AB的长 为半径画弧，交射线CM于点D，则线段CD即为所求。 2. 作一个角等于已知角 已知：∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。 步骤：(1) 作 射线O′A′ ；(2) 以点 O 为圆心， 任意长 为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(3) 以点 O′ 为圆心， 同样的长度 为半径画弧，交O′A′于点C′；(4) 以点 C′ 为圆心， CD 的长为半径画弧，与前弧交于点D′；(5) 过点 O′、D′ 作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求。 3. 作已知角的平分线 已知：∠AOB求作：射线OC，使OC平分∠AOB 步骤：(1) 以点 O 为圆心， 任意长 为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；(2) 分别以 点M、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；(3) 作射线OC，则射线OC即为∠AOB的平分线。 4. 作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB求作：直线，使垂直平分AB. 步骤：(1) 分别以点 A、B 为圆心，大于 AB 的长为半径在AB两侧画弧，两弧分别交于点M、N；(2) 作直线MN，则直线MN即为线段AB的垂直平分线（垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等）。 5. 过一点作已知直线的垂线 分两种情况：过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线，核心步骤一致。 已知：直线，点P（P在上 /外）求作：直线PQ，使PQ⊥于点Q。 步骤：(1) 以点 P 为圆心， 适当长 为半径画弧，交直线于点M、N（P在上时，M、N在P两侧）；(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于 MN的长 为半径画弧，两弧交于点Q；(3) 作直线PQ，则直线PQ即为所求的垂线。 （三）利用基本作图作常见几何图形 作三角形： 已知三边作三角形：利用作一条线段等于已知线段依次作三边，拼接成三角形； 已知两边及其夹角作三角形：先作一个角等于已知角，再在角的两边上截取已知线段，连接端点得三角形； 已知两角及其夹边作三角形：先作已知线段，再在线段两端作两个角等于已知角，角的另一边交于一点得三角形； 已知斜边和一条直角边作直角三角形：先作垂线得直角，再截取已知直角边和斜边，连接得三角形。 作圆的相关图形： 作三角形的外接圆：作三角形三边的垂直平分线，交点为外心，以外心为圆心、外心到顶点的距离为半径画圆； 作三角形的内切圆：作三角形三个角的平分线，交点为内心，以内心为圆心、内心到边的距离为半径画圆。 （四）尺规作图的一般步骤 已知：明确作图的已知条件，用几何语言描述； 求作：明确作图的目标，写出要作的图形及满足的条件； 作法：分步描述作图过程，只写尺规操作的关键步骤，不写推理过程； 作图：在图中画出清晰的作图痕迹（弧、直线、射线等），保留所有画弧的痕迹，不能擦除； 结论：指出所作的图形即为所求。 （五）尺规作图的核心性质与依据 尺规作图的每一步都有几何定理作为依据，核心依据： 全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA）：作等角、等线段的核心依据； 线段垂直平分线的性质与判定：作垂直平分线、垂线的依据； 角平分线的性质与判定：作角平分线的依据； 圆的基本性质：同圆或等圆中，半径相等（圆规画弧的依据）。 二、核心能力 题型 1 基本尺规作图的识别与痕迹判断 解题思路 熟记五种基本尺规作图的核心步骤和作图痕迹特征：如作角平分线、垂直平分线均有 “两段弧交于一点” 的痕迹，作等角有 “三次画弧” 的痕迹； 结合作图依据判断：如看到 “以线段两端为圆心画弧”，大概率是作线段的垂直平分线；看到 “以角的顶点为圆心画弧，再以弧与角两边的交点为圆心画弧”，大概率是作角的平分线； 排除干扰项：区分 “作垂线” 和 “作垂直平分线”、“作等角” 和 “作角平分线” 的痕迹差异，排除用刻度尺、量角器作图的错误选项。 题型 2 利用基本作图作三角形（已知边、角条件） 解题思路 分析已知条件：判断是 “SSS、SAS、ASA、HL” 哪种作图类型，明确作图的先后顺序； 选择基础作图：根据条件选取对应的基本作图（如 SAS 先作等角，再作等线段；SSS 连续作等线段）； 规范作图步骤：先作基础图形（角、线段），再拼接成三角形，保留所有作图痕迹； 验证图形：根据三角形的判定定理，验证所作三角形满足已知条件。 题型 3 尺规作图的实际应用（最短路径、位置确定） 解题思路 转化几何问题：将实际问题转化为尺规作图的几何模型，如 “找到两直线距离相等的点” 转化为作角平分线，“找到线段两端点距离相等的点” 转化为作线段的垂直平分线，“最短路径问题” 转化为作对称点（利用轴对称的基本作图）； 确定作图方法：根据转化后的几何模型，选取对应的基本作图组合； 作出图形并作答：画出作图痕迹，指出所求的位置或图形，结合几何性质说明理由。 题型 4 尺规作图与几何证明 / 计算的综合 解题思路 先分析作图痕迹：根据题目给出的尺规作图步骤，判断所作的图形（如角平分线、垂直平分线），提取隐含条件（如线段相等、角相等、垂直关系）； 结合几何性质：将作图得到的隐含条件与三角形、四边形、圆的性质结合（如角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形）； 完成证明 / 计算：证明时利用隐含条件推导结论，计算时结合勾股定理、三角函数、三角形内角和等求解线段长度、角度。 题型 5 复杂尺规作图（组合作图） 解题思路 分解复杂图形：将复杂作图分解为若干个基本尺规作图，如 “作等腰三角形的高” 分解为 “作线段的垂直平分线”，“作三角形的外接圆” 分解为 “作线段的垂直平分线找外心 + 画圆”； 确定作图顺序：按照 “先基础后组合” 的顺序作图，如作三角形内切圆，先作两个角的平分线找内心，再作内心到边的垂线确定半径，最后画圆； 规范保留痕迹：所有基本作图的痕迹都要保留，不能遗漏某一步的弧或直线。 三、易错警示 误区 1 混淆尺规作图的工具要求 错误：作图时使用刻度尺量取长度、量角器量取角度，或用圆规量取后标注刻度；认为直尺可以测量线段长度。 提醒：尺规作图的直尺无刻度，仅能作直线、射线、线段；圆规仅能画弧、圆和量取已知线段的长度，全程不能用任何有刻度的工具，作图痕迹仅能是弧和直线 / 射线。 误区 2 基本作图的步骤错误，遗漏关键画弧 错误：1. 作角平分线、垂直平分线时，以交点为圆心画弧的半径小于21​MN，导致两弧无交点；2. 作等角时，第三步画弧的半径不是 “已知角中弧与两边交点的距离”；3. 作垂线时，仅在直线一侧画弧，找不到交点。 提醒：作角平分线、垂直平分线、垂线时，画弧的半径必须大于21​所截线段的长度，且需在图形两侧画弧；作等角的三步画弧中，前两步半径相同，第三步半径为已知角中两交点的距离，严格遵循步骤。 误区 3 未保留完整的作图痕迹 错误：作图后擦除画弧的痕迹，仅保留最终的直线 / 射线；痕迹画得过于潦草，无法判断作图步骤；用虚线画作图痕迹、实线画最终图形（痕迹与图形线条混淆）。 提醒：作图痕迹是尺规作图的得分关键，所有画弧的痕迹必须保留，不能擦除；建议用实线画作图痕迹和最终图形，或用虚线画痕迹、实线画最终图形，线条清晰可辨。 误区 4 复杂作图的条件分析错误，选取作图方法不当 错误：已知 “两边及其中一边的对角” 作三角形（SSA，无法唯一确定三角形），强行作图；作三角形外接圆时，作三角形的角平分线找外心（外心是垂直平分线的交点，内心是角平分线的交点）。 提醒：作图前先判断条件是否能唯一确定图形，SSA、AAA 无法唯一确定三角形，中考不作要求；熟记特殊图形的作图依据，如外接圆找垂直平分线的交点，内切圆找角平分线的交点，高、中线、角平分线的作图方法区分清楚。 误区 5 几何语言描述不规范，作法书写错误 错误：1. 作法中出现 “量取 AB=3cm”“作角 AOB=60°” 等涉及刻度的描述；2. 步骤描述混乱，如作垂直平分线时，先作直线再画弧；3. 漏写 “作射线 / 直线 / 线段” 等关键操作。 提醒：作法书写仅用尺规作图的规范语言，如 “以 × 为圆心，× 为半径画弧”“作射线 ××”“连接 ××”；步骤按作图的先后顺序书写，先画弧再作直线 / 射线，不跳步、不颠倒；关键的操作步骤不能省略。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·四川模拟）下列选项中的尺规作图（各图中的点都在的边上），能推出的是（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据尺规作图痕迹进行判断，即可得到图形中相等的线段． 【解答】解：．由此作图知，不符合题意；．由此作图知，不符合题意； ．由此作图知，不能得到，不符合题意； ．由此作图知，符合题意； 故选：． 2.（24-25·云南模拟）用直尺和圆规作斜边上的高线，以下四个作图中，正确的作法有（      ） A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】C 【解析】根据过直线外一点做已知直线的垂线作图即可求解； 【解答】根据垂径定理作图的方法可知：是斜边上的高线，故作法正确； 根据直径所对圆周角是直角的方法可知： 是斜边上的高线，故作法正确； 根据相交两圆的公共弦的性质可知： 是斜边上的高线，故作法正确； 无法证明是斜边上的高线，故作法不正确； 综上所述：正确的作法有种． 故选：．  3.（23-24·贵州中考）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤∶以为圆心，为半径画弧①； 步骤∶以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤∶连接，交延长线于点． 下列叙述正确的是（      ） A.垂直平分线段 B.平分 C. D. 【答案】A 【解析】此题暂无解析 【解答】解：．如图连接、， ，， 点、点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 故正确，符合题意； ．不一定平分， 故错误，不符合题意； ．应该是，故错误，不符合题意； ．根据条件不一定等于， 故错误，不符合题意． 故选．   4.（24-25·达州模拟）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（      ） A.作一个角等于已知角 B.作一个角的平分线 C.作一条线段的垂直平分线 D.过直线外一点作已知直线的垂线 【答案】C 【解析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 【解答】解：作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；作一个角的平分线的作法正确，不符合题意； 作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意； 过直线外一点作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意． 故选：． 5.（24-25·江苏模拟）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（    ） A.个 B. 个 C.个 D.个 【答案】D 【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的尺规作图，线段的尺规作图，等边对等角等等，根据对应的作图痕迹结合全等三角形的性质与判定条件证明即可． 【解答】解：小明的作图中， ， ， 平分，故小明的作法正确； 小颖的作图中， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 平分，故小颖的作法正确； 小亮的作图中，， ， 平分，故小亮的作法正确； 故选：．  6.（22-23·湖北中考）如图，使用尺规经过直线外的点作已知直线的平行线，作图痕迹如图： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A.弧②、③的半径长度可以不相等 B.弧①的半径长度不能大于的长度 C.弧④以的长度为半径 D.弧③的半径可以是任意长度 【答案】C 【解析】本题考查尺规作图的原理，考查推理能力、几何直观，熟练掌握过直线外一点作已知直线的平行线的作法是解题关键．根据作图原理逐一分析即可． 【解答】解：该作图过程中，弧①的半径长度为任意长；弧②、③的半径长度相等，且大于的长；弧④以的长度为半径．只有选项正确， 故选：．  7.（24-25·福建模拟）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【解答】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故选项错误； 是的角平分线， ， ， ， ，故选项正确； 题干中没有说明的大小关系， 无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故选项错误； 故选： 8.（24-25·吉林中考）如图，在中，．尺规作图操作如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点，；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点为圆心的弧相交于三角形内部的点；过点画射线交边于点．下列结论错误的为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【解答】解：由作图方法可得，故结论正确，不符合题意； ，，故、结论都正确，不符合题意； ， ， ， ，故结论错误，符合题意； 故选：． 9.（24-25·山西模拟）如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点．下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【解答】解：根据作图可知， 、不能判断，故该选项不正确，符合题意； 、，即，故该选项正确，不符合题意； 、，故该选项正确，不符合题意； 、，故该选项正确，不符合题意； 故选：． 10.（23-24湖南模拟）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（       ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A.①-②-③-④ B.③-②-④-① C.④-③-①-② D.④-①-③-② 【答案】D 【解析】本题考查了作图一基本作图,根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论. 熟记作一个角等于已知角的作法是解题的关键. 【解答】解：作图过程正确的顺序是：④以 为圆心,任意长为半径画 ,分别交 , 于点 , ; ①以 为圆心, 长为半径画 的力 ,交 于点 ； ③以 为圆心, 长为半径画弧, 交 于点 ; ②作射线 ,则 , 故正确的顺序是④①③②, 故选：D. 11.（24-25四川模拟）如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】证明 ，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论. 【解答】解：如图，连接 在 和 中， 故A、B、D都可得到，无法得到C. 故选：C. 12.（24-25·全国模拟）下列尺规作图的语句错误的是（      ） A.作，使 B.以点 为圆心作线段 C.以点为圆心，线段的长为半径作弧 D.作，使 【答案】B 【解析】本题主要考查了基本的尺规作图，根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论． 【解答】解：、作，使，原说法正确，不符合题意； 、以点 为圆心作线段，未说明半径，原说法错误，符合题意； 、以点为圆心，线段的长为半径作弧，原说法正确，不符合题意； 、作，使，原说法正确，不符合题意； 故选：．   13.（24-25浙江模拟）已知（如图），按图图所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（      ） A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可． 【解答】解：由图可知先作的垂直平分线，则点为的中点，由作图可知， 可得：，， 进而得出四边形是平行四边形， 故此题答案为．  14.（22-23山西中考）已知线段，，小明用如图所示的方法作，他的具体作法是①作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点；③作直线，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接，．下列关于小明作的的说法，错误的是（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据垂直平分线的判定、等腰三角形的性质即可得到答案． 【解答】解：由题意得：垂直平分，（故选项正确），， ， ，（故选项正确） ，， ，（故项正确） 不能证明，故错误； 故选：． 15.（24-25·山东中考）已知，点为上一点，用尺规作图，过点作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【解答】解：、由作图知，是的平分线，且， ，， ， ，故本选项不符合题意； 、由作图知，是的平分线，且， ，，不能说明与相等， 与不平行，故本选项符合题意； 、由作图知，， 四边形是菱形， ，故本选项不符合题意； 、由作图知，， ，故本选项不符合题意； 故选：．  （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·云南模拟）如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接．若，则的长为   5   ． 【答案】 【解析】根据作一条线段等于已知线段的作法可得出，即可求解． 【解答】解∶由作图可知,，， ．  17.（22-23·山东模拟）下列说法：①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图；②射线与射线表示同一条射线；③若，则点是线段的中点；④钟表在时，时针与分针的夹角是，其中正确的是     ①     ．（填序号） 【答案】① 【解析】根据尺规作图，射线的表示方法，线段中点的概念以及钟面角的知识依次判断即可． 【解答】解：①尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，故①正确；②射线与射线表示的是不同的射线，故错误；③若点在线段上且，则点是线段的中点，故错误；④钟表在时，时针与分针的夹角是，故只有①正确．故答案为：①． 18（23-24·四川模拟）.阅读下面材料： 尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段．求作：线段，使．在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段等于已知线段. 已知：线段． 求作：线段，使 小亮的作法如下： 如图： 射线； 以为圆心，长为半径作弧交于． 则线段就是所求作的线段. 老师说：“小亮的作法正确” 请回答：小亮的作图依据是       ． 【答案】圆的半径相等 【解析】利用圆的半径相等可判断． 【解答】小亮的作图依据为圆的半径相等．故答案为圆的半径相等． 19.（22-23·贵州模拟）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果，那么    3     ； 【答案】 【解析】直接利用基本作图方法得出垂直平分，进而得出答案． 【解答】由作图步骤可得：垂直平分，则，，， ． 故答案为．  20.（24-25·山东模拟）如图，在平行四边形中，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，则的周长是 10  ． 【答案】 【解析】利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长＝，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【解答】解：利用作图得垂直平分，， 的周长＝ ＝ ＝， 四边形为平行四边形， ，， 的周长＝． 故答案为．   21.（25-26·全国模拟）如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点、点、点；画射线，反向延长至点；画出的角平分线．则____________．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【解析】本题考查作一个角等于已知角，角平分线的定义，先根据作图求出，即可求出邻补角的度数，然后根据角平分线的定义解题即可． 【解答】解：由作图可得， ， 又平分 ， 故答案为：． 22.（24-25·湖南模拟）在中，在边上取一点，如图，根据下列作图过程：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点，；②以点为圆心、长为半径向内作弧，交于点；③以点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点；④过点作射线交于点．若，则_________________． 【答案】 【解析】本题考查了作图——作等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由作法可知，，证明出，进而得到，即可求解． 【解答】解：由作法可知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23.（24-25·福建模拟）“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：_______等腰三角形的三线合一_____________． 【答案】等腰三角形的三线合一 【解析】根据等腰三角形的三线合一即可得． 【解答】由作图可知， 是等腰三角形 是等腰斜边上的中线 （等腰三角形的三线合一） ，即 故答案为：等腰三角形的三线合一．   24.（23-24山西模拟）问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是___三线合一_____． 【解析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质, 由尺规作图可知 是等边三角形, 由等边三角形的性质可知 , 可证 平分 , 根据等腰三角形的三线合一定理可证 为 的高. 【解答】解：分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点 ∴ 是等边三角形， 平分 (三线合一), 是 的高. 故答案为：三线合一.  25.（24-25·河南模拟）如图，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是______________． 【答案】甲、乙 【解析】本题考查了平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图是解题关键．甲：根据同位角相等，两直线平行即可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可得，从而可得，然后根据同位角相等，两直线平行即可判断乙所用方法正确． 【解答】解：如图，甲所用方法正确． 由作图可知，， 则． 如图，乙所用方法正确． 由作图可知，，是角平分线， ，， 又， ， ， 综上，所用方法正确的是甲、乙， 故答案为：甲、乙．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·达州模拟）如图，已知线段，，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【答案】见解答 【解析】首先作射线，在射线上依次截取，再反向截取，，则线段就是所求的线段． 【解答】解：如图所示，线段即为所求．   27.（25-26·陕西模拟）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解答 【解析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于即可． 【解答】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ， ， ， 点即为所求． 28.（25-26·陕西模拟）如图，已知线段，线段，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． （1）用尺规在图中补全图形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若．①是的中点吗？请说明理由； ②点在线段上，若，求的长． 【答案】见解答 ①是的中点，理由见解答；②． 【解析】（1）此题考查了线段的尺规作图，线段的计算，解题的关键是找准线段之间的数量关系．根据题意作出图形即可； （2）①先求得，再根据线段的和与差求得；②先求得，由列式计算即可求解． 【解答】（1）解：补全图形如图； （2）解：①是的中点，理由如下，，， ，， 是的中点， ②如图， 由①得，， ， ， ， ． 29.（24-25·贵州模拟）如图，已知中，，． （1）求作，使得且点在上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在的条件下，若，，求的长度． 【答案】作图见解答； ． 【解析】（1）过点作于即可． （2）解直角三角形求出，即可． 【解答】（1）解：如图，即为所求（过点作） （2）如图，由得，， ， 在中，， 在中，，， ． 30.（23-24·陕西模拟）如图，点，，分别是线段上的点，． （1）猜想与的数量关系，并证明． （2）用画图工具在备用图中作的平分线交于点，过点作交的延长线于点．①补全备用图； ②若，求的大小． 【答案】，证明见解答； ①见解答；② 【解析】此题暂无解析 【解答】（1），证明如下：，，， （2） ①补全备用图如下： ②，，， ，，， 的平分线交于点，， 31.（22-23·广东模拟）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知，且． （1）在边上求作点，使； （2）在边上求作点，使． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可． （2）作，射线交于点，点即为所求． 【解答】（1）解：如图，点即为所求． （2）如图，点即为所求． 32.（24-25四川模拟）如图，已知射线和射线外两点，按下列要求作图： （1）画射线； （2）画线段，并延长交射线于点； （3）以为一边，用尺规作图作，使在射线的同侧（保留作图痕迹，写结论，不写作法）； （4）在（3）的条件下，若，且与互余，则____35°______（直接填写）． 【答案】见解答 见解答 见解答 【解析】（1）根据射线的定义画图即可; （2）根据作图语言画图即可; （3）根据尺规作角的方法作图即可； （4）根据角的和差进行计算即可. 【解答】 （1）解：如图所示：射线BA即为所求； （2）解：如图所示：线段 即为所求； （3）解：如图所示： 即为所求； （4）解: , 故答案为： ： 33.（24-25·河南模拟）【问题情境】 如图1，把一副直角三角板的直角边和分别放在直线上，两个三角板在直线两侧，已知，． 【问题解决】 （1）图1中， ， ． 【深入探究】 （2）如图2，为射线，将三角板绕点O旋转，使三角板的一边恰好平分，问：此时是否平分？说明理由． （3）将图2中的三角板绕点旋转至图3的位置，使在的内部． ①求的度数； ②在图3中利用尺规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 ; 平分 ,理由见解析； ① ,②画图见解析 【解析】（1）根据角的和差解答即可; （2）根据角平分线定义得 , 再根据等角的余角相等得 , 进而得出答案; （3）①由题意得出 , 再代入计算即可, ②根据尺规作图一个角等于已知角的步骤作图即可. 【解答】（1） , . 故答案为： ， （2） 平分 ,理由如下： 平分 , 则 ，即 平分 （3）① (2)如图所示, 即为所求;   34.（22-23江西模拟）综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决： （1）尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）已知：如图3，在筝形中，．证明：． （3）如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是          ． 【答案】见解答 见解答 ① ，见解析；② 【解析】（1）根据筝形四边形的定义进行画图即可; （2）根据SSS证明 即可得到结论； （3）证明 , 即可得到 与 的数量关系, 再由 得到位置关系; 【解答】（1）如图,四边形 即为所求 （3） 如图,连接 在 与 中， （4） （3）① ; , 理由如下 由（2）可得 在 和 中， ② 四边形ABCD是筝形， 35.（23-24·江苏模拟）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在中，点D在边上，，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在和中，D，分别边BC，上一点，，，，求证． 【应用拓展】 （3）如图③，已知，直线． ①在图③中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的最小值是______． 【答案】见解答； 见解答； 见解答， 【解析】（1）作 ，与 交于点 ，点 即为所求； （2）过点 作 交AB于点 ，过点 作 交AB于点 ，证明 列出对应的比例式，得到 根据角的等量代换得到 ，即可得证； （3）①作直线分别交 于点 ; 过点 作一条射线 , 在 上截取 , ; 连接 , 过点 作 交 于点 , 连接 ; 在 任取一点 , 作 交 于点 ; 作 交 于点 , 则 即为求. ② 延长 交 于点 ，则 ，根据题意得到 ，进而 ，则求出 即可求得 ，当 为等边三角形时， 取得最小值，过点 作 于点 ，即可解答. 本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 【解答】 （1）解：如图，作 ，与AB交于点 ，点E即为所求. 则点 即为所求. （2）证明：如图，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ， （3）解： 如图， 即为所求； 作法：第1步：作直线分别交 ， ， 于点 ， ， 第2步：过点 作一条射线 ，在 上截取 ， 第3步：连接 ，过点E作 交 于点 ，连接 第4步：在 任取一点 ，作 交 于点 第5步：作 交 于点 ，则 即为求 ②如①右图，延长 交 于点 ，则 求出 即可求得 当 为等边三角形时， 取得最小值， 过点 作 于点 , 之间的距离为4， 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $