专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（第一～三章）·2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（第一~三章） （知识梳理+典例+练习）·2026年鲁教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理锐角三角函数定义、特殊角三角函数值与解直角三角形的方法，会处理仰角俯角、坡度、方位角等实际应用问题 · 掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质，能由开口、对称轴、交点判断 a、b、c 符号及代数式正负 · 会用待定系数法求二次函数解析式，能结合图象求交点、面积、最值并解决动点与存在性压轴题 · 掌握反比例函数 y= 的图象与性质，理解比例系数 k 的几何意义，能解决反比例函数与几何综合题 · 能综合运用函数与几何知识解决新定义、规律探索类满分压轴题，规范书写解答过程 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数与解直角三角形 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的正弦 sinA=对边/斜边、余弦 cosA=邻边/斜边、正切 tanA=对边/邻边 特殊角：sin30°=，cos30°=，tan30°=；sin45°=cos45°=，tan45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°= 解直角三角形：已知两边或一边一角，利用勾股定理、两锐角互余、边角关系求其余元素 实际应用：仰角俯角是视线与水平线的夹角；坡度 i=铅直高度/水平宽度=tanα；方位角如北偏东 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sinA=，BC=6，求 AB 与 tanB 的值 答案：AB=10，tanB= 解析：由 sinA==，BC=6 得 AB=10；再由勾股定理 AC=8，故 tanB=== ☆ 2.二次函数的图象与性质 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，a 定开口方向与大小，|a| 越大开口越小 对称轴 x=-，顶点坐标 (-, ) a、b 同号对称轴在 y 轴左侧，异号在右侧；c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 增减性：a>0 时左降右升，a<0 时左升右降；抛物线上关于对称轴对称的两点函数值相等 概念辨析例题：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，与 y 轴交于负半轴，试判断 abc 的符号 答案：a>0，b<0，c<0，故 abc>0 解析：开口向上 a>0；对称轴 x=-=1 得 b=-2a<0；与 y 轴交于负半轴 c<0，所以 abc>0 ☆ 3.二次函数的解析式与综合应用 一般式 y=ax2+bx+c；顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k)；交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 待定系数法：已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与 x 轴两交点设交点式 面积问题用割补法：把不规则图形拆成三角形或梯形，用坐标表示底和高 动点与存在性问题：先设点坐标，根据特殊三角形、平行四边形、面积条件列方程，注意分类讨论 概念辨析例题：已知抛物线过点 A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)，求抛物线解析式 答案：y=x2−2x−3 解析：设交点式 y=a(x+1)(x−3)，代入 C(0,−3) 得 −3=a·1·(−3)，a=1，故 y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3 ☆ 4.反比例函数的图象、性质与几何综合 反比例函数 y=（k≠0）的图象是双曲线，k>0 时在一、三象限，k<0 时在二、四象限 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 |k|；三角形面积等于 在每个象限内，k>0 时 y 随 x 增大而减小，k<0 时 y 随 x 增大而增大 反比例函数与一次函数交点：联立两解析式解方程组；与几何图形综合时常结合相似、全等求线段长 概念辨析例题：点 A 在反比例函数 y=（x>0）的图象上，AB⊥x 轴于 B，△AOB 的面积为 4，求 k 答案：k=8 解析：S△AOB=|k|=4，又图象在第一象限 k>0，故 k=8 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 锐角三角函数 sinA=，cosA=，tanA= 只在直角三角形中定义，注意角与对边的对应 特殊角函数值 sin30°=，tan45°=1，sin60°= 0°~90° 间 sin 递增、cos 递减 二次函数图象 对称轴 x=-，顶点 (-, ) 左同右异判断 b 的符号，c 看 y 轴交点 二次函数解析式 一般式/顶点式 y=a(x-h)2+k/交点式 按已知条件选最简形式，三点用一般式 反比例函数 y=，图象上点与坐标轴围成矩形面积=|k| k 的符号决定象限，面积只与 |k| 有关 函数综合 联立方程组求交点，割补法求面积 动点问题设坐标列方程，注意分类讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】锐角三角函数与解直角三角形（第1-9题） · 先在直角三角形中找准对边、邻边、斜边，再代入 sin/cos/tan 定义式 · 含 30°、45°、60° 角时直接用特殊角函数值，遇折叠旋转先标出相等角和等边 · 求线段长优先用勾股定理，角度关系用两锐角互余与三角形内角和转移 1．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】等边对等角、三线合一、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形，熟知以上知识是解题的关键． 设等腰的底角为x，分类讨论当顶角为时和当顶角为时两种情况即可求解． 【详解】解：设等腰的底角为x， 当顶角为时，有，解得：； 此时，底角的余弦值为； 当顶角为时，有，解得：； 如图所示：作，平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； 综上所述：底角的余弦值为或． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、求角的正切值 【分析】取格点，连额吉，不妨设小菱形的边长为1，先证明是的中位线，得到，接着利用菱形的性质，证明为等腰三角形，为等边三角形，接着证明为直角，过点作于点，利用勾股定理求得，最后求得答案． 【详解】解：取格点，连接，设小菱形的边长为1，如图所示： ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵菱形的一个内角为， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，把沿折叠，点落在上的点处，若的延长线恰好经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】本题考查矩形的性质，折叠，勾股定理，平行线的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据矩形的性质，设，，，再根据折叠和平行线的性质等，可求出，，最后利用勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：矩形， 设，，， 由折叠可得，，，，，， ， ，， ， ， 同理可得，，则， ， ， 的延长线恰好经过点， ， ，， ， ， ， 在中，， 则，化简得， 、均大于0， ， 在中，． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点A、B是水平地面上两点，且与点E、F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，要达成目的，还需测量其他数据，下列方案可行的是______（填序号）．    ①的长，的度数； ②的长，的度数； ③的长，的度数； ④的长，，的度数． 【答案】④ 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到． 【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米， 因此，要求只需先求． 设，． 在中，， 则． 在中，， 则． 所以． 又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同， 所以， 若已知的长，设，则，代入可解得， 进而求得，最终得到． 综上，需要测量、 ，这样就能通过解方程组求出，从而得到． ①中的长和的度数，无法直接求，也无法建立两个方程求解： ②中缺少，无法联立方程组： ③实际测量中无法直接得到； ④中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到． 故答案为：④． 5．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点作于点，根据题意可得、、三点共线，由三角形的内角和定理可得，再根据三角函数求出，进而利用三角函数求出、，再求出，根据勾股定理求出，利用线段和差求出，然后求出走私船从到所用时间，最后根据速度路程时间，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，海里，方向为正东，方向为正北， ，， 、、三点共线， 海里， 海里，海里， 海里， 海里，海里， 走私船从到所用时间为小时，缉私艇的速度为海里／小时． 6．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、已知图形的平移，求点的坐标、解直角三角形的相关计算 【分析】过点作轴于C，过点作轴于A，由直线求出，在中结合，求出，得出每次平移横、纵坐标增量为和3，推导出，代入得结果． 【详解】解：当时，， ∴设该点即为点B， 过点B作轴于C，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， 过点作轴于A，如图， 在中，，且， ∴， ∴， ∴， 由题意得，第一次平移：平移得到，对应点平移到了， 点平移到，横坐标增加了，纵坐标增加了， ∴每一次平移，图形上所有点的横坐标都增加，纵坐标都增加， ∵初始点的坐标：， 又∵是经过1次平移得到， ∴横坐标：；纵坐标：，即， ∵是经过2次平移得到， ∴横坐标：，纵坐标：，即， 以此类推，是经过次平移得到， ∴，即， 将代入得：横坐标：，纵坐标：， ∴点的坐标为． 【点睛】解题关键是通过直线斜率确定倾斜角，结合直角三角形性质求出平移距离，再通过归纳法推导点的坐标通项公式，是一次函数与平移规律结合的典型题型． 7．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为____________．（参考数据：） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点 解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【详解】如图所示，设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点 ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等角对等边，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，点在等边的边上，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点，的延长线与的延长线相交于点，则的值为________． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作于点，由旋转的性质得到，，，由直角三角形的性质求得的长，再由相似三角形的判定和性质求得的长即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 为等边三角形，， ， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，先得出，可得，利用，得出，结合，可得，即可证明； （2）证明，得出，即可求出，即可求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 【考点2】二次函数的图象与性质（第10-20题） · 由开口定 a 的符号，由对称轴位置与 a 同号异号定 b，由 y 轴交点定 c · 判断代数式正负时把所求式子用对称轴与交点坐标代换，特殊值法代入 x=±1、x=2 · 抛物线上两点函数值相等时关于对称轴对称，先求对称轴再比较 10．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点 ，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（     ） ①； ②； ③若点在抛物线上，则； ④对任意实数t，总成立； ⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】由抛物线开口向上，对称轴，抛物线与轴的交点位置可得，所以①错误；求解抛物线与轴的另一个交点为，可得，所以②错误；判断点关于直线的对称点坐标是，可得，故③正确；求解函数的最小值为，可得不一定成立；故④错误；联立，解得，可得，进一步判断⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上，则，对称轴， 则， ∵， ∴，所以①错误； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为， ∴当时，，即，所以②错误； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大，点关于直线的对称点坐标是， ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴函数的最小值为， 当时，， ∴对任意实数t，总成立， ∴不一定成立；故④错误； 联立，解得， ∵点 ， ∴，， ∴．故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤，有个结论正确． 11．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图象上，则；⑥若t为任意实数，则有．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据二次函数图象的开口方向、与坐标轴的交点、对称轴等即可判断①②；根据时的函数值即可判断③；抛物线与直线有两个交点，即可判断④；抛物线上的点离对称轴越远，对应的纵坐标越大，据此即可判断⑤；当时，二次函数取得最小值，即函数的最小值为，据此即可判断⑥． 【详解】解：∵如图，抛物线开口向上，与y轴交于点． ∴，， ∵二次函数与x轴交于点、， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∴，； 故①②正确； ∵当时，； ∴③错误， ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 故④错误； ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的纵坐标越大， ∵， ∴， 故⑤错误， ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，二次函数取得最小值，即函数的最小值为， ∴若t为任意实数，则有． 即． 故⑥正确， ①②⑥正确，共 3个． 12．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论中：①；②；③；④对于任意的实数，总有；⑤方程（，为常数）的所有根的和为2或3或4．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】由图象可得，当时，，即可判断①正确；由图象可得抛物线与轴有两个交点，则，即可判断②错误；根据抛物线的对称轴为直线即可判断③正确；由图象可得，当时，函数取得最小值为，从而可判断④正确；画出函数的图象，分情况讨论的取值，从而判断⑤错误． 【详解】解：由图象可得，当时，，故①正确； 由图象可得抛物线与轴有两个交点，则， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由图象可得，当时，函数取得最小值为， 故对于任意的实数，有，即，故④正确； 画出函数的图象如图所示： 结合函数图象可得，当时，函数与有两个交点，此时两根之和为； 当等于二次函数顶点纵坐标的绝对值时，函数与有三个交点，方程共有个根（其中与顶点的相交时，为重根），总和为； 当的值在和二次函数顶点纵坐标的绝对值之间时，函数与有四个交点，方程有个根，总和为； 当大于二次函数顶点纵坐标的绝对值时，函数与有两个交点，方程有个根，此时两根之和为； 综上所述，方程（，为常数）的所有根的和为2或4，故⑤错误； 综上所述，正确的有①③④，共个． 13．（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的最值 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 14．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论；④根据时，可得结论． 【详解】解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 15．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；②先说明当时，函数值小于0，即，再结合①的相关结论即可判断②；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴直线， ∴，即， ∴，即①错误； 由函数图像可知：对称轴直线，当时，函数值小于0， ∵与关于对称轴直线对称， ∴当时，函数值小于0，即， ∵， ∴， ∴，即②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，即③正确； 对于直线，当时，，即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴，解得： ，④正确. 综上，正确的有③④，共2个． 16．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【详解】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 17．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是__________（填写序号）． 【答案】②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 18．（2024·湖北·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__________． 【答案】②④/④② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题．由图象的开口方向与对称轴方程可判断①，由图象与x轴有两个交点可判断②③；根据抛物线顶点位置可判断④；根据抛物线图象过点结合对称轴方程可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵， ∴，故①错误， ∴，故③错误， 图象与x轴有两个交点， ， 即，故②正确； 当时，，故④正确， ∵图象过点， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤错误， 综上：正确的有：②④． 故答案为：②④ 19．（24-25九年级上·山东青岛·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】①③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线图象的开口方向，对称轴，与轴的交点，与轴的交点逐一判断各选项，即可得到结果．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， 二次函数的对称轴， ， 的图象与轴的负半轴相交， ， ， 故结论①正确，符合题意； 二次函数的对称轴直线， ， ， ， 故结论②错误，不符合题意； 二次函数的对称轴直线，图象开口向上， 当时，有最小值为， 为任意实数， 当时，值为， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； 二次函数的对称轴直线，图象与轴的一个交点在2和3之间， 图象与轴的一个交点在和0之间， 当时，， 即， 故结论④正确，符合题意； 若，且， ， ， 故结论⑤错误，不符合题意， 故答案为：①③④． 20．（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 【考点3】二次函数的解析式与综合应用（第21-31题） · 已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与 x 轴交点设交点式 · 面积问题用割补法，以坐标轴上的线段为底，用点坐标表示高 · 实际应用题先建坐标系，把几何量翻译成坐标与函数关系 21．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交或于点M，交或于点N，设的面积为（当直线l过点A或点C时，规定），运动时间为t，则关于t的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】设交于点，分和，两种情况求出关于的函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∵直线从点出发，以每秒1个单位的速度由点向点匀速平移，直线， ∴；运动时间为t时，， 当时， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴图象是开口向上的抛物线的一段； 当时，，则：， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 图象为开口向下的抛物线的一段； 综上：符合题意的只有D选项． 22．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合、最短路径问题、已知两点坐标求两点距离、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 23．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 24．（26-27九年级上·山东·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度，如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液体最大深度为___________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、其他问题(实际问题与二次函数)、解直角三角形的相关计算 【分析】以为原点，点所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，则，推出，根据勾股定理求出，进而求出，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式为，把直线向下平移个单位可得，当与抛物线有个交点时，两直线之间的距离为最大深度，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于，再利用三角函数即可得出答案． 【详解】解：如图，以为原点，点所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，记与轴的交点为， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， 碗口宽，此时面汤最大深度， ，， 将代入抛物线解析式得， 解得， 抛物线的解析式为， 把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， 旋转前与水平方向夹角为， 则， ， ， ，即， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 把直线向下平移个单位可得， 当与抛物线有个交点时，两直线之间的距离为最大深度， ， 即， ， 解得， 平移后的直线为， 如图，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于， 同理可得，， ， 碗中液体最大深度为． 25．（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 26．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点F的横坐标是1或4 (3)满足条件的M点的坐标为或或或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 27．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 28．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线表达式； (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过点D作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)抛物线上是否存在点P，使得．若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 如图1，当点P在x轴的下方时， ∵，且点A，B关于直线对称， ∴点C和点P也关于直线对称， ∴点P的坐标为； 如图2，当点P在x轴的上方时， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）求出点C的坐标，再根据，可求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出直线的解析式，设点，则点，可得，，再根据，列出方程，即可求解； （3）分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点D的坐标为； （3）略 29．（2022·山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 30．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中，． (1)求的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接，，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）理解题意，利用待定系数法，即可作答． （2）先得，，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出的解析式为，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，；，即可作答． （3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，，求解可得． 【详解】（1）解：依题意，分别把，代入， 得， 解得． （2）解：由（1）得， 则， 令，则， ∴，， 故，， 分别过点作，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴，； 此时的， 故，是符合题意的； 当时，则，，此时， 当时，则，，此时， 综上：或． （3）解：由（2）得，整理， ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接、，．如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 则，即， ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴，令， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴或， ∴（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 31．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 【答案】(1) (2)；面积为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先将求的周长最小就转化为求的最小值，确定出最小时的点P的位置，再确定出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴，； ∴， ∴； （3）解： 中， 令，则， ∴或， ∴，； ∵是定值，， 由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称轴直线对称， ∴，当点B，P，D三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点P，此时的值最小，的周长最小． 设直线的解析式为， ， ， ． 当 时，． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)，线段周长问题(二次函数综合)，解题关键是用待定系数法求二次函数的解析式． 【考点4】二次函数压轴综合（新定义·动点·存在性）（第32-37题） · 新定义题先把定义翻译成代数式或图象特征，紧扣定义逐点验证 · 动点问题分段讨论，每段内写出函数关系式，注意转折点坐标与取值范围 · 存在性问题假设存在，按特殊三角形、平行四边形条件列方程，解后检验 32．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、列二次函数关系式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：， （2）解：设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  34．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②设抛物线的关系式为， 把代入可得，解得， 抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得， 解得（舍）， ， 答：此人腾空飞出后的落地点在安全范围内． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、中心对称图形规律问题 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，再把代入求解即可； （2）①根据对称性可得抛物线的顶点为，据此即可求解； ②由①可设抛物线为，把代入即可得到抛物线的关系式为，再令进行求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，水滑道所在的抛物线的顶点坐标为 设抛物线的关系式为 把代入可得解得，， 答：水滑道所在的抛物线的关系式为． （2）解：①由题意得，抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ， 抛物线的顶点坐标为 答：此人腾空飞出后距水面的最大高度为； ② 略 35．（2022·山东济南·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：四边形为平行四边形 理由如下 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，的长度最大，且最大值为，此时，，． ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形 (3)存在，点F的坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．设点P的坐标为，则点Q的坐标为，继而得到，配方后得到，根据二次函数的性质解答即可． （3）先确定点，直线的表达式为；过点Q作轴于点H，得到直线和直线关于直线对称，确定直线的表达式为；根据题意，得  得到点E的坐标为，设点F的坐标为，根据题意，得，，，分，，求解即可； 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． 解得 抛物线的解析式为． （2）略 （3）解：∵D是的中点，且，则点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 当时，， ∴点A在直线上， 过点Q作轴于点H， 则， 故， 而，， ∴， ∴直线和直线关于直线对称， ∵点，， ∴点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 根据题意，得   解得，， ∴点E的坐标为，另一组解与点Q重合， 设点F的坐标为， 根据题意，得，， ， 当时，此时有，故，，故，此时方程无实数解； 当时，此时有，故，故， 解得； 当时，此时有，故， 解得； 故在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，并且点F的坐标为或或． 36．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、利用平行四边形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 37．（2026·山东青岛·三模）如图①，在矩形中，，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒（）． (1)当t为何值时，？ (2)当时，设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． (3)存不存在某一时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，M是的中点，N是的中点，是否存在某一时刻t，使得M，N，P三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时， (2) (3)存在， (4)存在， 【知识点】列二次函数关系式、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形——动点问题 【分析】（1）利用矩形性质，以及勾股定理求出，根据题意得到,,证明，利用相似三角形性质求出，再根据建立方程求解，即可解题； （2）根据矩形性质证明，过点作于点，结合矩形的性质和判定，以及相似三角形性质，分别表示出，再根据整理出S关于t的函数表达式即可； （3）过点作的平行线，平行线交于点，交于点，结合矩形性质证明四边形为矩形，进而推出，再证明四边形为矩形，结合（2）推出,最后根据相似三角形性质求解，即可解题； （4）由（2）， （3）推出,根据线段中点特点推出，利用矩形性质证明，利用相似三角形性质求出,再证明，结合相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， ，， ， 运动时间是t秒， ， ， ， ， ,即， 整理得， ， ， 解得； （2）解：四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 过点作于点， ,， ， ， 四边形为矩形， ,， ， ， 解得， ； （3）存在， 过点作的平行线，平行线交于点，交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 同理可证，四边形为矩形， 结合（2）可知，，， ，， ， 解得； （4）存在， 由（2）， （3）可知，，，，， ， M是的中点，N是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 经检验，是该方程的解， 当时，M，N，P三点共线． 【考点5】反比例函数的图象、性质与k的几何意义（第38-42题） · 见到双曲线上的点向坐标轴作垂线，立刻联想矩形面积=|k|、三角形面积= · 由面积条件反求 k 时注意 k 的正负由所在象限决定 · 比较函数值或求交点时联立解析式，利用对称性整体代换 38．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标是，点在轴正半轴上，，将绕点逆时针旋转，当点的对应点落在函数的图象上时，设点的对应点的坐标是，则（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过作轴于C，过作轴于，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，证明得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：过作轴于C，过作轴于，则， ∵点坐标是， ， 在中，，则， 由旋转性质得，点在第一象限内， ，又， ， ， ， ∵的坐标是，且在第一象限， ， ， ∵在函数的图象上， ，且， ， ， ， （负值已舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及旋转性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、完全平方公式等知识，熟练掌握旋转性质和相似三角形的性质是解答的关键． 39．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点、点作轴的垂线，垂足分别为、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足分别为、， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴，如图所示，负值舍去，则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故选：D． 40．（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【知识点】图形类规律探索、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 41．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为_____． 【答案】 【知识点】面积问题(轴对称综合题)、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先联立直线与双曲线，可得，分和时，代入直线中可得两点坐标，由轴对称的性质可列，可得点坐标，根据轴，点在双曲线上，代入到双曲线中即可求得坐标，长度，由，求解即可得的值． 【详解】解：联立直线与双曲线，可得：， ∴，即 ， 当时，则有， ∴， 当时，则有， ∴， 由轴对称的性质可知：与关于直线对称， 令点的横坐标为，则， ∴，即， ∵轴，点在双曲线上， 当时，双曲线， 即 ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 42．（24-25九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】根据已知条件求出各点坐标，进而得到相关线段长度，再利用三角形面积公式求出每个三角形的面积，最后通过裂项相消法求出面积之和． 【详解】解：， ∴点，，,…，的坐标分别为， ，，…，， 又∵点，，，…，，在反比例函数的图象上， ∴点，，，…，，的坐标分别为， ，，…，，， ， ，，，…，， ， 即， 整理得：． 【点睛】通过各点坐标求出相关线段长度是解题的关键． 【考点6】反比例函数与几何综合（第43-45题） · 反比例函数与几何综合时把点坐标设出，用 k 建立横纵坐标关系 · 求线段长结合相似三角形或勾股定理，注意面积比等于相似比平方 · 翻折、旋转问题抓住对应边相等，把几何条件转化为坐标方程 43．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 (1)如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 (2)过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； (3)如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】公式法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）作轴交反比例函数图象于点，根据折叠的性质可得，然后把代入反比例函数解析式即可求出点的坐标． （2）分点在轴正半轴和负半轴两种情况讨论．当点在轴负半轴时，根据折叠的性质先推出点的横坐标关于的表达式，然后由、两点的横坐标求出和的长度表达式，由建立关于的方程求解即可，点在轴正半轴时，情况类似． （3）先根据折叠的性质和三角形面积公式判断出当直线左右平移得到的两条直线正好与“图象”相切时，切点即为所求．然后分别设出两条直线的解析式，根据直线与反比例函数图象相切时只有一个交点，通过函数解析式建立方程由求出值，进而求出点坐标，再由直线直线并结合点坐标求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求得点坐标即可． 【详解】（1）解：过点作直线的垂线交反比例函数的图象于点，交直线于点． 根据折叠的性质，． ． 把代入反比例函数得． 点的坐标为； （2）解：如图，点点坐标为． 当点在轴负半轴时，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． 根据折叠的性质，， ． 把和分别代入得：，． ， ． ， ，解得． 当点在轴正半轴时，如图，点、、、即、、、， 此时，，． ， ，解得． 故或6； （3）解：如图，当直线沿着轴分别向右和向左平移长度单位时，正好与“图象”在直线上、下半部分的图象相切，两条直线分别交轴于、，此时点到直线的距离最大． 根据折叠的性质，直线垂直平分，则． 故此时最大． 根据平移的性质，直线的解析式为：． 直线的解析式为：． 联立直线的解析式和反比例函数得：． 整理得：． 直线与反比例函数的图象相切只有一个交点． ， 即或18． 直线与轴交于点， 令，，则 ． ，， ． ，解得， 由得． 点坐标为． 设直线的解析式为， 把和平移，使交点正好处于坐标系原点O，直线解析式变成了，直线的解析式变为．在直线和上取点，轴，N为垂足，在x轴负半轴取点，轴交直线于点，如图： 在和中，，，． ∴， ∴， ∴． 则． 由点坐标可得：，则． 直线的解析式为：． 当时，直线的解析式为：， 联立直线和的解析式求解点坐标： ， 解得，． 点坐标为． 故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，、两点坐标分别为、． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形折叠的性质，一元二次方程和二元一次方程组等知识点．根据折叠的性质得出函数图象折叠前后对应点的坐标关系是解答本题的关键． 44．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点． (1)求的值； (2)点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标． (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用计算m即可； （2）设，则，再分类讨论，结合正切的定义，建立方程求解即可． （3）设，可得，，，结合为等腰三角形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：反比例函数为， ∵，， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． （3）解：∵点是轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， 当时， ∴，解得：， ∴或， 当时， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练掌握函数图象交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 45．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【知识点】等边三角形的性质、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 对照知识梳理，先默写特殊角三角函数值与二次函数对称轴、顶点公式，再重做3道图象判断题 · 整理 a、b、c 符号与抛物线位置的对应表，用5道二次函数结论题检验掌握程度 · 归纳待定系数法求解析式的三种形式，重做讲义中面积与交点题各2道 · 总结反比例函数 k 的几何意义，完成考点5、6错题订正，归纳常见作辅助线方法 · 限时完成课后巩固15题（建议25分钟），对照答案逐题改错，标注仍不熟练的考点 【作业1】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论： ； ；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点．使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与轴的交点情况逐项判定即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，故正确； ∵，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知， ∴当时，，故正确； 由题意可知，到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，过点， ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， ∴， 若方程， 即方程的两根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故错误； 综上可得：正确，共个正确． 【作业2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 【作业3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握反比例函数值的几何意义和解直角三角形是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，易得，利用相似三角形的性质及反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵点在反比例函数的图象上，， ∴． ∴． 由于反比例函数的图象在第二象限， ∴． 故选：D． 【作业4】（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 【作业5】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、其他问题(二次函数综合) 【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示， 设它们交于点，令，即，解得：或， ， 观察图象可知： ①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为； ②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值小于； ③当时，，函数值随的增大而减小，最大值为． 综上所述，的最大值是． 【作业6】（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为______． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【答案】①②④ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求反比例函数值 【分析】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据点，点都在二次函数上，可判断①；由，都在反比例函数上，结合的取值，可判断②；根据定义，将点代入，可判断③；不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上，假设在上，那么在上，将代入，得到，然后结合一元二次方程的判别式求得答案． 【详解】解：①将代入，得到； 将代入，得到； 可知点，点都在二次函数上， 那么点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；故①正确； ②当代入，得到， 当代入，可得， ，都在反比例函数上， ，为反比例函数的一组奇对称点对”， 可以取无数个不为0的数， 反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③点，点，为函数的一组“奇对称点对”， 点，点都在函数上， ， ， ③错误； ④不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上， 假设在上，那么在上， 将代入，得到， ， ，该函数有两组“奇对称点对”， 当时，有两个不同的实数根， ，， ，（符合题意）， ； ④正确； 故答案为：①②④． 【作业7】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，，以为半径作，交于点，交的延长线于点，连接，．若，的平分线，则的半径为________ ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，圆周角定理，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 先证明，再根据，可设，，求出的值，再得，进而求出的值，利用角平分线的性质得到，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出的值，即可知道半径的值． 【详解】解：， ， 由题意知：是直径， ， ， ， ， ， ， ； ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，即， 可得， ，， ， 如图，过点作于点， 平分， 点到和的距离相等， ， ， ， ， ， ， ， （负数舍去）， 的半径为． 故答案为：． 【作业8】（25-26九年级下·山东淄博·期中）某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动．如图，桥墩刚好在坡度为 的斜坡边上，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，则桥墩的高度为_____米． 【答案】64 【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（坡度、仰角问题），解题的关键是利用坡度求出斜坡的水平与垂直高度，再结合仰角构造直角三角形求解． 先由坡度求出斜坡与水平面的夹角，再根据斜坡长度求出点相对于的垂直高度和水平距离；结合的长度求出点相对于点的总水平距离；最后利用仰角的正切值建立方程求解桥墩的高度． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． 斜坡的坡度， ， ， ∴. 米， (米)，(米)． (米)． 在中，，， (米)． ， 米． 故答案为：． 【作业9】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，已知矩形，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】将绕点逆时针旋转得到，则，和均为等边三角形，推出可得，共线时最短；由于点也为动点，可得当时最短，即：的长度，此时易求得的值； 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，作，垂足为，交于， 由旋转性质得：，，且，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∵，在上， ∴共线时最短，由于点也为动点， ∴的最小值为点到的垂线段长度，即：的长度， ∴， ∵四边形是矩形， ∴, ∵，即 ∴ ∴ 即：的最小值为． 【作业10】（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 【答案】2 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，即可解答． 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得． 【作业11】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、反比例函数与几何综合 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出每个阴影的面积表达式是解题的关键．求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 当时，的纵坐标为， 则； ； ； ； … ； ， 故答案为：． 【作业12】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求和； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形与折叠，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质和折叠可知，在中根据勾股定理可求，进而求出，在中，由勾股定理可求，，从而可得到答案； （2）设，，根据点A，E都在双曲线上，得出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形， ，，， 是由翻折得到， ，，设， 在中，， ， 在中，， ， ，， ； （2）设，则， 双曲线过、点， ， 解得， 【作业13】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： （）的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________； 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移个单位，解析式中的反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿轴方向向右平移个单位或向左平移个单位；再沿轴向上平移个单位或向下平移个单位． 设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，的对应点， 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究． （）若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式； （）若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于两点，，当平移路径最短时，求的值． 【答案】（），（）；（）， 【知识点】二次函数图象的平移、求反比例函数解析式、由平移方式确定点的坐标、其他问题(二次函数综合) 【分析】（）根据平移的规律解答即可求解； （）设反比例函数上的任意一点，将函数图象按平移后，的对应点为，进而推出与，与之间的关系，再根据在反比例函数上即可求出． （）根据抛物线的顶点，可得按平移以后的抛物线顶点坐标为，进而得出平移后的解析式为，联立一次函数解析式，利用一元二次方程根和系数的关系求得，，再根据，可求出，设平移后的路径长为，即，然后利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象的性质，函数图象的平移等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（）解：∵向下平移个单位长度， ∴， ∵向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后对应点坐标为，即 故答案为：，； （）设点是反比例函数图象上的任意一点， 将函数图象按平移后，的对应点为， 则， ，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ 即点在函数上， ∴平移后的函数解析式为； （）由题可知，抛物线的顶点， 按平移后，抛物线顶点坐标为， 设平移后的解析式为，与直线的两个交点分别为，， 联立①②得，， 整理得，， ∴，， 由勾股定理得，， ，， 代入上式，再两边平方，整理得， ， 将③代入，得， 整理得，， ∴， 设平移后的路径长为，由已知可得， 将代入上式，得， ， ∴当时，最小，即最小， 此时 ∴当平移路径最短时，，． 【作业14】（25-26九年级上·重庆江北·期中）小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得南环线的长度即可； （2）过点作的延长线于点可得和，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小黄和小月两人同时到达景点，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：南环线的长度为； （2）解：过点作的延长线于点，如图所示： 、， 设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时， ， 、， ， 在中，由勾股定理得，， 由于小黄与小月两人同时到达景点， 则， 整理得，， ， 解得， 因此北环线的长度为 答：北环线的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 【作业15】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，，，是上一点且，过点作，交延长线于点，连接．动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动；同时动点从点出发以 的速度沿线段向终点匀速运动，过点作，交于点，交于点，当点到达点时，点也停止运动，设运动时间为，． 解答下列问题： (1)四边形是平行四边形时，求的值； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】列二次函数关系式、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形——动点问题 【分析】（1）过点作于点，利用梯形的性质，矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）过点作，交的延长线于点，延长交于点，利用矩形的性质，相似三角形是判定与性质，求得用含的代数式表示的线段，的长度，再利用，即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况解答：①当时，②当时，③当时，利用等腰三角形的三线合一的性质和相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ，动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动，动时间为， ， ， 动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得：； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ， ， ， （3）①当时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，延长交于点，如图， ，， ， ， ， 解得： ②当时，， ； ③当时， 过点作于点，如图， 则 ， ，， ， ， ， 解得： ． 综上，当为或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，本题是动点问题，分类讨论，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（第一~三章） （知识梳理+典例+练习）·2026年鲁教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理锐角三角函数定义、特殊角三角函数值与解直角三角形的方法，会处理仰角俯角、坡度、方位角等实际应用问题 · 掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质，能由开口、对称轴、交点判断 a、b、c 符号及代数式正负 · 会用待定系数法求二次函数解析式，能结合图象求交点、面积、最值并解决动点与存在性压轴题 · 掌握反比例函数 y= 的图象与性质，理解比例系数 k 的几何意义，能解决反比例函数与几何综合题 · 能综合运用函数与几何知识解决新定义、规律探索类满分压轴题，规范书写解答过程 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数与解直角三角形 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的正弦 sinA=对边/斜边、余弦 cosA=邻边/斜边、正切 tanA=对边/邻边 特殊角：sin30°=，cos30°=，tan30°=；sin45°=cos45°=，tan45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°= 解直角三角形：已知两边或一边一角，利用勾股定理、两锐角互余、边角关系求其余元素 实际应用：仰角俯角是视线与水平线的夹角；坡度 i=铅直高度/水平宽度=tanα；方位角如北偏东 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sinA=，BC=6，求 AB 与 tanB 的值 答案：AB=10，tanB= 解析：由 sinA==，BC=6 得 AB=10；再由勾股定理 AC=8，故 tanB=== ☆ 2.二次函数的图象与性质 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，a 定开口方向与大小，|a| 越大开口越小 对称轴 x=-，顶点坐标 (-, ) a、b 同号对称轴在 y 轴左侧，异号在右侧；c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 增减性：a>0 时左降右升，a<0 时左升右降；抛物线上关于对称轴对称的两点函数值相等 概念辨析例题：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，与 y 轴交于负半轴，试判断 abc 的符号 答案：a>0，b<0，c<0，故 abc>0 解析：开口向上 a>0；对称轴 x=-=1 得 b=-2a<0；与 y 轴交于负半轴 c<0，所以 abc>0 ☆ 3.二次函数的解析式与综合应用 一般式 y=ax2+bx+c；顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k)；交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 待定系数法：已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与 x 轴两交点设交点式 面积问题用割补法：把不规则图形拆成三角形或梯形，用坐标表示底和高 动点与存在性问题：先设点坐标，根据特殊三角形、平行四边形、面积条件列方程，注意分类讨论 概念辨析例题：已知抛物线过点 A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)，求抛物线解析式 答案：y=x2−2x−3 解析：设交点式 y=a(x+1)(x−3)，代入 C(0,−3) 得 −3=a·1·(−3)，a=1，故 y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3 ☆ 4.反比例函数的图象、性质与几何综合 反比例函数 y=（k≠0）的图象是双曲线，k>0 时在一、三象限，k<0 时在二、四象限 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 |k|；三角形面积等于 在每个象限内，k>0 时 y 随 x 增大而减小，k<0 时 y 随 x 增大而增大 反比例函数与一次函数交点：联立两解析式解方程组；与几何图形综合时常结合相似、全等求线段长 概念辨析例题：点 A 在反比例函数 y=（x>0）的图象上，AB⊥x 轴于 B，△AOB 的面积为 4，求 k 答案：k=8 解析：S△AOB=|k|=4，又图象在第一象限 k>0，故 k=8 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 锐角三角函数 sinA=，cosA=，tanA= 只在直角三角形中定义，注意角与对边的对应 特殊角函数值 sin30°=，tan45°=1，sin60°= 0°~90° 间 sin 递增、cos 递减 二次函数图象 对称轴 x=-，顶点 (-, ) 左同右异判断 b 的符号，c 看 y 轴交点 二次函数解析式 一般式/顶点式 y=a(x-h)2+k/交点式 按已知条件选最简形式，三点用一般式 反比例函数 y=，图象上点与坐标轴围成矩形面积=|k| k 的符号决定象限，面积只与 |k| 有关 函数综合 联立方程组求交点，割补法求面积 动点问题设坐标列方程，注意分类讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】锐角三角函数与解直角三角形（第1-9题） · 先在直角三角形中找准对边、邻边、斜边，再代入 sin/cos/tan 定义式 · 含 30°、45°、60° 角时直接用特殊角函数值，遇折叠旋转先标出相等角和等边 · 求线段长优先用勾股定理，角度关系用两锐角互余与三角形内角和转移 1．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，把沿折叠，点落在上的点处，若的延长线恰好经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点A、B是水平地面上两点，且与点E、F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，要达成目的，还需测量其他数据，下列方案可行的是______（填序号）．    ①的长，的度数； ②的长，的度数； ③的长，的度数； ④的长，，的度数． 5．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 6．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 7．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为____________．（参考数据：） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，点在等边的边上，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点，的延长线与的延长线相交于点，则的值为________． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； 【考点2】二次函数的图象与性质（第10-20题） · 由开口定 a 的符号，由对称轴位置与 a 同号异号定 b，由 y 轴交点定 c · 判断代数式正负时把所求式子用对称轴与交点坐标代换，特殊值法代入 x=±1、x=2 · 抛物线上两点函数值相等时关于对称轴对称，先求对称轴再比较 10．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点 ，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（     ） ①； ②； ③若点在抛物线上，则； ④对任意实数t，总成立； ⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图象上，则；⑥若t为任意实数，则有．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论中：①；②；③；④对于任意的实数，总有；⑤方程（，为常数）的所有根的和为2或3或4．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 14．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 15．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 16．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是__________（填写序号）． 18．（2024·湖北·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__________． 19．（24-25九年级上·山东青岛·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的是______．（只填写序号） 20．（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【考点3】二次函数的解析式与综合应用（第21-31题） · 已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与 x 轴交点设交点式 · 面积问题用割补法，以坐标轴上的线段为底，用点坐标表示高 · 实际应用题先建坐标系，把几何量翻译成坐标与函数关系 21．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交或于点M，交或于点N，设的面积为（当直线l过点A或点C时，规定），运动时间为t，则关于t的函数图象是（　　） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 23．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（    ） A． B． C． D． 24．（26-27九年级上·山东·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度，如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液体最大深度为___________． 25．（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 26．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 27．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．    28．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线表达式； (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过点D作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)抛物线上是否存在点P，使得．若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 29．（2022·山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 30．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中，． (1)求的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接，，求m的值． 31．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 【考点4】二次函数压轴综合（新定义·动点·存在性）（第32-37题） · 新定义题先把定义翻译成代数式或图象特征，紧扣定义逐点验证 · 动点问题分段讨论，每段内写出函数关系式，注意转折点坐标与取值范围 · 存在性问题假设存在，按特殊三角形、平行四边形条件列方程，解后检验 32．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 34．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 35．（2022·山东济南·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2026·山东青岛·三模）如图①，在矩形中，，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒（）． (1)当t为何值时，？ (2)当时，设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． (3)存不存在某一时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，M是的中点，N是的中点，是否存在某一时刻t，使得M，N，P三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【考点5】反比例函数的图象、性质与k的几何意义（第38-42题） · 见到双曲线上的点向坐标轴作垂线，立刻联想矩形面积=|k|、三角形面积= · 由面积条件反求 k 时注意 k 的正负由所在象限决定 · 比较函数值或求交点时联立解析式，利用对称性整体代换 38．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标是，点在轴正半轴上，，将绕点逆时针旋转，当点的对应点落在函数的图象上时，设点的对应点的坐标是，则（   ） A．3 B． C． D．2 39．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 40．（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 41．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为_____． 42．（24-25九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 【考点6】反比例函数与几何综合（第43-45题） · 反比例函数与几何综合时把点坐标设出，用 k 建立横纵坐标关系 · 求线段长结合相似三角形或勾股定理，注意面积比等于相似比平方 · 翻折、旋转问题抓住对应边相等，把几何条件转化为坐标方程 43．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 (1)如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 (2)过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； (3)如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 44．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点． (1)求的值； (2)点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标． (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 45．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 对照知识梳理，先默写特殊角三角函数值与二次函数对称轴、顶点公式，再重做3道图象判断题 · 整理 a、b、c 符号与抛物线位置的对应表，用5道二次函数结论题检验掌握程度 · 归纳待定系数法求解析式的三种形式，重做讲义中面积与交点题各2道 · 总结反比例函数 k 的几何意义，完成考点5、6错题订正，归纳常见作辅助线方法 · 限时完成课后巩固15题（建议25分钟），对照答案逐题改错，标注仍不熟练的考点 【作业1】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论： ； ；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点．使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（） A．个 B．个 C．个 D．个 【作业2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【作业3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【作业4】（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【作业5】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（     ） A． B． C．1 D．2 【作业6】（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为______． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【作业7】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，，以为半径作，交于点，交的延长线于点，连接，．若，的平分线，则的半径为________ ． 【作业8】（25-26九年级下·山东淄博·期中）某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动．如图，桥墩刚好在坡度为 的斜坡边上，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，则桥墩的高度为_____米． 【作业9】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，已知矩形，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为___________． 【作业10】（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 【作业11】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则______． 【作业12】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求和； (2)求的值． 【作业13】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： （）的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________； 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移个单位，解析式中的反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿轴方向向右平移个单位或向左平移个单位；再沿轴向上平移个单位或向下平移个单位． 设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，的对应点， 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究． （）若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式； （）若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于两点，，当平移路径最短时，求的值． 【作业14】（25-26九年级上·重庆江北·期中）小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【作业15】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，，，是上一点且，过点作，交延长线于点，连接．动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动；同时动点从点出发以 的速度沿线段向终点匀速运动，过点作，交于点，交于点，当点到达点时，点也停止运动，设运动时间为，． 解答下列问题： (1)四边形是平行四边形时，求的值； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)当为等腰三角形时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $