第五章 分式与分式方程单元测试卷（强化巩固）-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学.

第5章 分式与分式方程单元测试卷（强化巩固） （北师大版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义． 依据分式的概念逐一判断选项即可，分式的定义为形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子． 【详解】解： 选项A是单项式，属于整式； 选项B的分母是常数2，不含字母，属于整式； 选项C的分母是，含有字母a，符合分式定义； 选项D的分母是常数5，不含字母，属于整式； 故选：C． 2．如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母变化后的值的判断方法是解题的关键．先将、替换为扩大后的、，代入原分式并化简，再与原分式的值对比，判断其变化情况． 【详解】解：∵、都扩大为原来的2倍， ∴替换后所得分式为， ∵， ∴所得分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 3．已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减． 根据分式的加减法则“异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减”得原式等于，再根据进行完全平方即可得，进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故选C． 4．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 【详解】解：原式 = ， 故选： C． 5．无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零． 对于A，当时分母，故分式无意义； 对于B，分母，恒不为0，故分式总有意义； 对于C，当时分母，故分式无意义； 对于D，当时分母，故分式无意义； 故选：B． 6．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 7．下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【详解】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 8．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 9．已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，根据题意，可以写出前几项的值，即可发现数字的变化特点，从而可以计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， …， 由上可得，上面的数据，每三个为一个循环， ∵， ∴． 故选：C． 10．一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设江水的流速为千米/时，则顺流航行的最大航速为千米/小时，逆流航行的最大航速为千米/小时，利用时间路程速度，根据“它沿江以最大航速顺流航行千米所用的时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等”可列出关于的分式方程，此题得解．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时， 依题意，得：． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，分式的乘方运算，熟练运用分式运算法则是解题的关键． 分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12．若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则分母，即， 故答案为：． 13．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要 kg． 【答案】 【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解． 【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为， 因此甲原料所占的比例为， 对于的饮料成品，需要甲原料的质量为． 故答案为：． 14．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 15．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，分两种情况求解即可． 【详解】解： 原方程可化为， 即（其中）． 去分母得， 整理得． 当时，整式方程无解，此时； 当时，解为， 若此解为增根，则，解得． 故a的值为1或． 故答案为：1或． 16．阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是米/分，则：甲同学的速度为米/分，由题意，得： 故答案为：． 3、 解答题（每小题9分，共72分） 17．解下列分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母转化为整式方程，解题的关键是解分式方程时注意要检验． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：方程两边都乘， 得， 解得． 检验：当时， 是分式方程的增根， 即原分式方程无解． （2）解：方程两边都乘， 得， 解得． 检验：当时， 是分式方程的增根， 即原分式方程无解． 18．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）直接计算分式的加法即可； （2）先计算分式的除法，再计算分式的减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握分式运算法则和因式分解方法是解题的关键．先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算并约分，再与后面的分式进行通分合并，得到最简分式后，代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（1）已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求的值． （2）先将化简，然后请自选一个你喜欢的x值代入求值． 【答案】（1）；（2）化简结果为，求值答案不唯一，例如当时，值为4（x的取值不能为0， 1，） 【分析】本题主要考查解分式方程和分式的化简求值，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）先解分式方程求出，再代入，求出，再代入计算即可； （2）原式先化简得，再选择代入计算即可． 【详解】解：（1）解分式方程，得． 经检验，是该方程的解， 将代入，得， 解得， 所以，． （2） ； ∵且且， ∴的值不能为0，1，， 所以，当时，原式． 21．请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 【答案】(1) (2) (3)当时，分式的最大值是5 【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识． （1）根据材料提供方法变形即可求解； （2）由（1）得，根据分式的值是整数，得到为整数，即可得到当x取整数时，是3的整数因数，得到或，即可求出； （3）变形为，即可得到当取最小值时，分式有最大值．根据，得到，求出当时，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵由（1）得， ∵分式的值是整数， ∴为整数， ∴当x取整数时，是3的整数因数， ∴或， ∴； （3）解：， ∴当取最小值时，分式有最大值． ∵， ∴， ∴当即时，， 故当时，分式的最大值是5． 22．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 23．（1）若的盐水中含盐，那么，盐在盐水中的占比为，现在将盐水中加入的盐，此时，盐水 g，其中盐 g，盐在盐水中的占比为 ； （2）根据生活经验我们知道，盐水中加盐后，盐水更咸了，请用加盐前后的占比的大小来揭示这一生活现象： ； （3）若的盐水中含盐，现往其中加盐若干g，使其占比是原来的2倍，求加盐多少g? 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的性质与分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）根据题意列出数量关系式即可； （2）根据题意可得盐的占比增大即可得结论； （3）设加盐，根据盐的占比是原来的2倍，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得盐水有，盐有，盐在盐水中占比为． 故答案为：；；． （2）由盐水变咸可得盐在盐水中占比增大，即 ． 故答案为：． (3)设加盐， 依题意，列方程， 解得， 经检验，是方程的解， 答：加盐. 24．如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3)14 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）最大的正方形面积等于其边长的平方，最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，据此用两种方法表示出最大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据（1）中的等式进行计算即可； （3）可求出，再把等式两边同时平方，结合（1）的结论可得答案； （4）设，则，，则，然后根据完全平方公式展开，即可得答案． 【详解】（1）解：最大的正方形的边长为，其面积为 剩余部分的面积等于1个边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则剩余部分的面积为， 而最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，则最大的正方形面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：16； （3）解：当时，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式与分式方程单元测试卷（强化巩固） （北师大版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 3．已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 4．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 5．无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 7．下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 9．已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 10．一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11． ． 12．若式子有意义，则的取值范围是 ． 13．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要 kg． 14．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 15．关于的分式方程无解，则的值为 ． 16．阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为 ． 3、 解答题（每小题9分，共72分） 17．解下列分式方程： (1)． (2)． 18．化简： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．（1）已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求的值． （2）先将化简，然后请自选一个你喜欢的x值代入求值． 21．请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 22．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 23．（1）若的盐水中含盐，那么，盐在盐水中的占比为，现在将盐水中加入的盐，此时，盐水 g，其中盐 g，盐在盐水中的占比为 ； （2）根据生活经验我们知道，盐水中加盐后，盐水更咸了，请用加盐前后的占比的大小来揭示这一生活现象： ； （3）若的盐水中含盐，现往其中加盐若干g，使其占比是原来的2倍，求加盐多少g? 24．如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $