精品解析：四川自贡市田家炳中学2025年秋九年级上学期期末模拟（1月学情自测）数学试题

四川自贡市田家炳中学2025年秋九年级上学期期末模拟 （1月学情自测）数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，须将答案答在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，本试题卷由学生自己保留，只将答题卡交回． 第I卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，也不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故A错误； B、该图形能绕某点旋转后与原图形重合，但不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以是中心对称图形但不是轴对称图形，故B错误； C、该图形能绕某点旋转后与原图形重合，也能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以是中心对称图形也是轴对称图形，故C正确； D、该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，但能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是中心对称图形而是轴对称图形，故D错误， 故选：C． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 有最小值4 D. 顶点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数图象与各系数之间的关系，结合二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， 图象开口向下，故选项A错误； 二次函数的图象关于直线对称，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项B正确； ∴当时，有最大值4，故选项C错误； ∵二次函数 ∴顶点坐标是，故选项D错误； 故选：B． 3. 下列事件中是必然事件的为（ ） A. 打开电视，正在播放《新闻联播》节目 B. 在一个装着白球和黑球的袋中摸球，一定摸出红球 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 某种彩票中奖率是1%，买这种彩票100 张一定会中奖 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件，据此对各选项分析判断利用排除法即可求解． 【详解】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》节目是随机事件，故本选项不符合题意； B、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，一定摸出红球，是不可能事件，故本选项不符合题意； C、三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件，故本选项符合题意； D、某种彩票中奖率是1%，买这种彩票100 张中奖，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的概念，解题的关键是结合实际正确区分上述事件的概念． 4. 若关于x的方程没有实数根，则m的取值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数．通过计算方程的判别式，根据无实数根的条件判别式小于零，求解m的取值范围，并选择符合该范围的选项，即可作答． 【详解】解：∵方程 无实数根， ∴判别式 ， 解得， 观察选项中，只有，符合条件， 故选：A 5. 如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于是的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知了同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解． 【详解】解：是的直径， ，即； 又， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等． 6. 中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载体．某校民乐团培养了一批“二胡”“中阮”“竹笛”“琵琶”小演奏家，民乐团叶老师准备在四种民族乐器中随机选择一种进行表演，则叶老师刚好选中“二胡”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单概率计算，掌握知识点是解题的关键． 总共有4种等可能的选择，选中“二胡”的概率即为，即可解答． 【详解】解：∵总共有4种乐器，且随机选择， ∴每种乐器被选中的概率相等． ∵“二胡”是其中一种， ∴选中“二胡”的概率为． 故选C． 7. 将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移一个单位所得直线解析式为：； 再向上平移2个单位为：，即． 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 8. 如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】阴影部分为等边三角形，要求三角形的面积就要先求它的边长，根据正多边形与圆的关系即可求出． 【详解】解：连接OE、OC，过点O作OH CE于H 在六边形ABCDEF中 AF=FE=DE=DC=CB=AB 同理， 是等边三角形 阴影部分的面积=3 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的性质，得出阴影部分三角形的边长是解题的关键． 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若、（）是方程的两根，则方程的两根m、n（）满足，且．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①错误；根据一次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2−4ac＞0，求得4ac−b2＜0，故②正确；根据对称轴为直线x＝−1得到b＝2a，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，于是得到c−a＜0，故③错误；当x＝−n2−2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2＋bx＋c＝a（−n2−2）2＋b（−n2−2）＋c＝an2（n2＋2）＋c，于是得到y＝an2（n2＋2）＋c≥c，故④正确；⑤由方程的根得到函数与x轴的交点横坐标分 别为x1，x2(x1 < x2)，进而由方程的两根为m，n即为函数与直线y= 1的交点横坐标，得到x1与m、x2与n之间的关系. 【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0， 与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0， 又对称轴为直线x＝−1，所以−＜0，所以b＞0， ∴abc＞0，故①错误； ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点， ∴b2−4ac＞0， ∴4ac−b2＜0，故②正确； ∵−＝−1， ∴b＝2a， ∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0， ∴a−2a＋c＜0， ∴c−a＜0，故③错误； 当x＝−n2−2（n为实数）时，y＝ax2＋bx＋c＝a（−n2−2）2＋b（−n2−2）＋c＝an2（n2＋2）＋c， ∵a＞0，n2≥0，n2＋2＞0， ∴y＝an2（n2＋2）＋c≥c，故④正确， ⑤∵x1，x2(x1 < x2)是方程的两根， ∴ (a > 0)与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2 (x1<x2)， ∵方程a(x- x1)(x-x2)- 1 = 0的两根为m，n， ∴函数与直线y=1的交点横坐标为m，n， ∵函数图象开口向上， ∴x1>m，x2<n，故⑤正确， ∴正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系. 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题有5个小题，每小题4分，满分20分） 11. 方程的解为___________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可通过移项、提取公因式进行因式分解，再利用因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：先移项，得， 提取公因式，得， 根据“若几个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得或， 解得，， 故答案为：，． 12. 设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，由 m 是方程的根得到，由根与系数的关系得到，将所求式子变形后代入求值． 【详解】解：∵ m 是方程 的实数根， ∴，即． 又∵ m， n 是方程 的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系，有． ∴． 故答案为 5． 13. 如图，直径为的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则水的最大深度是________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：的直径为， ． ，， ， ， 水的最大深度． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 14. 如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 15. 如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接．则长的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先求得正方形的边长，取的中点G，连接，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则有最小值，此时即可求得这个值． 【详解】解：如图，连接，取的中点G，连接， ∵是圆内接正方形，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 当点C、F、G在同一直线上时，有最小值，如下图： 最小值是：， 故答案为：． 三、解答题（本题有9个小题，满分90分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 因为是一个完全平方式，所以运用直接开平方法进行求解，先把常数项4移到右边，再把系数化为1，再利用直接开平方即可求解． 【详解】解：移项：， 系数化为1：， 两边开平方：， 移项：， ∴，． 17. 小征同学准备了5盒外包装完全相同的橡皮泥做手工，其中2盒红色，2盒黄色，1盒绿色． （1）若小征随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是 　 　； （2）若小征打开两盒橡皮泥，请用列表法或画树状图法求出两盒橡皮泥颜色恰好相同的概率（2盒红色橡皮泥分别用A1，A2表示，2盒黄色橡皮泥分别用B1，B2表示，1盒绿色橡皮泥用C表示）． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）小征随机打开一盒橡皮泥，共用5种等可能结果，恰巧是红色的结果有2种，小征随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： A1 A2 B1 B2 C A1 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1） （C，A1） A2 （A1，A2） （B1，A2） （B2，A2） （C，A2） B1 （A1，B1） （A2，B1） （B2，B1） （C，B1） B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2） （C，B2） C （A1，C） （A2，C） （B1，C） （B2，C） 由表知，共有20种等可能结果，其中两盒颜色恰好相同的有4种结果， 所以两盒颜色恰好相同的概率为． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题关键是通过列表表示出所有可能，再根据概率公式计算． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， （1）画出△ABC关于原点O对称的； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 【答案】（1）见解析 （2）图形见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图，求一次函数解析式． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P．再利用一次函数解析式求点坐标即可． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求，． 【小问3详解】 作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P， 由题意可得，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴． 19. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 20. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱销售不得高于72元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售500箱，价格每提高1元平均每天少销售10箱． （1）设每箱涨价x元，每天盈利y元，列出y与x的函数关系式． （2）若该批发商要盈利8750元，则每箱苹果的售价多少元？ （3）当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）65元 （3）当每箱售价为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 【解析】 【分析】（1）依据题意，易得出平均每天销售量与涨价x元之间的代数式为箱，然后根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的盈利y（元与涨价x元之间的函数关系式即可； （2）令代入（1）的函数解析式，进行计算，注意售价不能高于72元这个条件，即可作答． （3）根据（1）所给，化为顶点式，运用二次函数的图象性质，即可作答． 此题考查了二次函数的性质，以及二次函数的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：， 化简得：， 【小问2详解】 解：依题意，把代入， 则， ∴， 则 则（故舍去），， ∴则每箱苹果的售价65元； 【小问3详解】 解：由（1）得出， ∴， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 则（元）， ∴当每箱售价为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D, （1）求证：BE＝CF ； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 【答案】 （1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF， 即∠EAB=∠FAC， 在△ACF和△ABE中， ， △ACF≌△ABE， BE=CF. （2）-1 【解析】 【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF； （2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°， ∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=AC=， ∴BD=BE﹣DE=． 考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质． 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”___________； （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； （3）已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2），，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数，证明见详解 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用． （1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出，即的两根为，，将待求方程变形为，把看作整体即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 【小问3详解】 解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 23. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车喷水口到绿化带边的水平距离为（单位：）． （1）直接写出点的坐标：（______，______），（______，______）； （2）求喷出水的最大射程； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能灌到整个绿化带，直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】（1），，，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据题意可直接求得点和点坐标； （）利用待定系数法可求出上抛物线的函数解析式，令即可为求出点坐标，故得最大射程； （）利用关于对称轴的对称点可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移个单位得到，求出下边缘抛物线解析式，当点和点重合时，有最小值；当上边缘抛物线过点时，有最大值，即可求出最大值与最小值的差； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：设上抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， 当时，， 解得（不合，舍去），， ∴ ∴最大射程为； 【小问3详解】 解：∵关于对称轴的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移个单位得到， ∴下边缘抛物线为：， 令， 解得，， ∵点在正半轴上， ∴， ∴， 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点和点重合时，有最小值，此时， 当上边缘抛物线过点时，有最大值， ∵，， ∴令， 解得，， 结合图像可知：， ∴的最大值为：， ∴d的最大值有最小值． 24. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）直接写出A，B，C点的坐标； （2）点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； （3）如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由． 【答案】（1）点、、的坐标分别为：、、 （2）点的坐标为： （3）直线PQ过点 【解析】 【分析】（1）对于，当时，，当时，或3，即可求解； （2）①当是边时，用数形结合的方法求出点，即可求解；当在上方时，同理可解；②当是对角线时，由，即可求解． （3）求出，同理可得：，进而求解． 【小问1详解】 对于，当时，， 当时，或3， 即点、、的坐标分别为：、、； 【小问2详解】 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， ①当是边时，如下图， 当在下方时， 设交轴于点，过点作于点， 则由，，，四点组成的平行四边形面积， 则， 由知，， 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和并解得：（舍去）或， 即点； 点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点， 故点； 当在上方时， 同理可得：直线的表达式为：， 经验证，该方程和抛物线无交点， 即无解； ②当是对角线时，如下图： 则， 设点，则点， 则， 则， 该方程无解； 综上，点的坐标为：； 【小问3详解】 经过定点，理由： 设点、的坐标分别为：、， 由点、坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 同理可得：， 则， 即， 设直线的表达式为：， 联立和二次函数表达式并整理得：， 则，， 则， 即， 则的表达式为：， 则直线过点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形面积的计算、平行四边形的性质，分类讨论是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川自贡市田家炳中学2025年秋九年级上学期期末模拟 （1月学情自测）数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，须将答案答在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，本试题卷由学生自己保留，只将答题卡交回． 第I卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 有最小值4 D. 顶点坐标是 3. 下列事件中是必然事件的为（ ） A. 打开电视，正在播放《新闻联播》节目 B. 在一个装着白球和黑球的袋中摸球，一定摸出红球 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 某种彩票中奖率是1%，买这种彩票100 张一定会中奖 4. 若关于x的方程没有实数根，则m的取值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载体．某校民乐团培养了一批“二胡”“中阮”“竹笛”“琵琶”小演奏家，民乐团叶老师准备在四种民族乐器中随机选择一种进行表演，则叶老师刚好选中“二胡”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线　　 A. B. C. D. 8. 如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若、（）是方程的两根，则方程的两根m、n（）满足，且．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题有5个小题，每小题4分，满分20分） 11. 方程的解为___________． 12. 设、是方程的两个实数根，则的值为________． 13. 如图，直径为的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则水的最大深度是________． 14. 如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 15. 如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接．则长的最小值为________． 三、解答题（本题有9个小题，满分90分） 16. 解方程：． 17. 小征同学准备了5盒外包装完全相同的橡皮泥做手工，其中2盒红色，2盒黄色，1盒绿色． （1）若小征随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是 　 　； （2）若小征打开两盒橡皮泥，请用列表法或画树状图法求出两盒橡皮泥颜色恰好相同的概率（2盒红色橡皮泥分别用A1，A2表示，2盒黄色橡皮泥分别用B1，B2表示，1盒绿色橡皮泥用C表示）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， （1）画出△ABC关于原点O对称的； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 19. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱销售不得高于72元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售500箱，价格每提高1元平均每天少销售10箱． （1）设每箱涨价x元，每天盈利y元，列出y与x的函数关系式． （2）若该批发商要盈利8750元，则每箱苹果的售价多少元？ （3）当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D, （1）求证：BE＝CF ； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”___________； （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； （3）已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 23. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车喷水口到绿化带边的水平距离为（单位：）． （1）直接写出点的坐标：（______，______），（______，______）； （2）求喷出水的最大射程； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能灌到整个绿化带，直接写出的最大值与最小值的差． 24. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）直接写出A，B，C点的坐标； （2）点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； （3）如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $