精品解析：山东省青岛市市南区海信学校2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功! 本试题共有26道题，其中1-9题为选择题，共27分；10~15题为填空题，共18分；16题为作图题，共6分；17-25题为解答题，共69分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. ，（两个1之间0的个数从2开始，每次增加1），，，，，中无理数的个数（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 3. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（ ） A. 平均数变大，离差平方和变小 B. 平均数不变，离差平方和不变 C. 平均数不变，离差平方和变大 D. 平均数变小，离差平方和变大 5. 下列是假命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的面积相等 D. 同角的余角相等 6. 如图，直线与直线相交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 7. 古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点出发，以的速度行走；同时，乙从点出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（ ） A. 边上 B. 边上 C. 点处 D. 点处 9. 同一平面直角坐标系中，一次函数与（为常数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 化简______． 11. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五个方面的比例对学生学习过程进行课堂评价，某同学在课堂上五个方面得分依次是8，7，8，6，10，则该学生的课堂评价成绩是_____． 12. 一台可折叠的床头伸缩壁灯实物图如图①，其数学示意图如图②．调整前、后的灯杆使，前臂杆之间的夹角，后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化后的角度_____． 13. 由方程组可得x，y的数量关系为______． 14. 在2024年6月的红窗汇上，李同学摊位售卖的文件袋大受全校师生的欢迎，在1小时内全部售完．李同学对此文件袋的售卖情况进行了统计：图1表示该文件袋的售卖数量与售卖时间之间的关系，图2表示每个文件袋的利润与售卖时间之间的关系．下列四个结论中， ①第10分钟时售卖了4个文件袋； ②第50分钟时售卖的利润是10元； ③第20分钟与第60分钟的售卖利润相同； ④第25分钟比第55分钟的售卖利润多． 所有正确结论的序号是_______． 15. 在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将26个大写英文字母，，，，依次对应，，，，这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 Y 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 按上述规定，将明码“”译成密码是_____（填写由4个大写字母组成的密码）． 三、作图题（本大题满分6分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中直接画出； （2）画出关于轴对称的； （3）已知为轴上一点，若的面积为，直接写出点的坐标． 四、解答题（本大题满分69分，共9道小题） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 写出一个二元一次方程组，使它的解为 19. 请你完成命题“平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”的证明． 20. 为了了解学生海洋知识的掌握情况，促进学生全面发展和团队合作意识，学校以小组为单位在八年级开展了海洋知识竞赛．竞赛分为笔试与抢答两个环节，记分员分别记录了甲、乙两组队员的得分情况． 信息1：笔试得分（单位：分） 甲组：88，73，88，90，91，90，92，76； 乙组：90，84，88，86，88，84，88，88． 信息2：甲、乙两组抢答赛成绩的箱线图如下： 信息3：得分统计表 笔试（满分100分） 抢答（满分100分） 参赛组 平均数 众数 中位数 平均数 方差 甲 89 90 乙 87 88 82.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）本次竞赛将“笔试平均数”和“抢答平均数”按3：2的权重来计算综合得分，你认为甲、乙哪个组的综合水平谁更好？请说明理由； （3）请你选择一个方面，对甲、乙两组在抢答环节的表现进行分析与评价． 21. 小玲和家人在青岛栈桥喂海鸥，回家后绘制了一个海鸥简笔画，如图，已知，，平分，，求证：． 22. 某茶叶店经销崂山红茶和绿茶，第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同． （1）求每盒崂山红茶和每盒绿茶的进价； （2）该店这两种茶叶标价如图．为迎接新年，茶叶店将两种茶叶都打八折销售．某顾客在该店购买这两种茶叶若干盒（每种至少一盒），总共花费1360元，请问他最多购买了多少盒茶叶？ 23. 小赵和小周两家相距2400米，两人约定周末到小周家一起学习．小赵步行匀速前往小周家，小周知道后同时从家出发骑自行车去接小赵，但二人在路上错过相遇．小周到达小赵家后保持原速立即返回．两人距离小赵家的距离（米）与出发时间（分）函数图象如图所示． 根据图象，解答下列问题： （1）小赵的步行速度为_____米/分，小周骑自行车的速度为_____米/分； （2）小赵步行过程中，关于之间的关系式为_____； （3）求两人出发后多少分钟错过相遇； （4）直接写出在小赵到达小周家之前，两人出发何时相距600米． 24. 折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．过点的直线交x轴于点E，交直线于点D．已知点D位于第二象限，且． （1）求的长； （2）求直线对应的函数表达式； （3）若点P在直线上，且P关于y轴的对称点Q恰好落在直线上，求点P的坐标； （4）将直线沿y轴向下平移m个单位长度，平移后的直线交x轴于点F，若，则m=_____．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功! 本试题共有26道题，其中1-9题为选择题，共27分；10~15题为填空题，共18分；16题为作图题，共6分；17-25题为解答题，共69分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. ，（两个1之间0的个数从2开始，每次增加1），，，，，中无理数的个数（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数，逐个判断所给数是否为无理数，再统计个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是无理数，3是有理数，无理数与有理数的差是无理数，故是无理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 故无理数有：、、，共3个． 故选：C． 2. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 3. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案． 详解：由题意，得 x=-4，y=3， 即M点的坐标是（-4，3）， 故选C． 点睛：本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离． 4. 学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（ ） A. 平均数变大，离差平方和变小 B. 平均数不变，离差平方和不变 C. 平均数不变，离差平方和变大 D. 平均数变小，离差平方和变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 【详解】解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 5. 下列是假命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的面积相等 D. 同角的余角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理知识．根据平行公理、平行线的性质、全等三角形的性质、余角的性质，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题，该选项符合题意； B、两直线平行，同位角相等，为真命题，该选项不符合题意； C、全等三角形的面积相等，为真命题，该选项不符合题意； D、同角的余角相等，为真命题，该选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，直线与直线相交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数和方程组的关系，掌握函数图象交点的横纵坐标即方程组的解是解题的关键． 根据题意，先求出m的值，再根据函数图象交点的横、纵坐标即方程组的解，即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， 当时，， ， 则方程组的解为． 故选：D． 7. 古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据糙米与白米的总量为斗，全部糙米换白米后总白米量为斗，列方程组即可． 【详解】解：设糙米原有斗，白米原有斗， ∵糙米、白米共五十斗， ∴， ∵糙米二斗可换白米一斗，将全部糙米换白米后共得白米三十斗， ∴斗糙米换得的白米为斗，加上原有白米斗等于30斗， ∴， 综上，可列方程组为． 故选：A． 8. 如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点出发，以的速度行走；同时，乙从点出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（ ） A. 边上 B. 边上 C. 点处 D. 点处 【答案】C 【解析】 【分析】设乙x分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了270米，可得出方程，求出时间后，计算甲所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇． 【详解】解：设乙x分钟后追上甲， 由题意得，65x-50x=270， 解得：x=18， 而50×18=90×10， 即乙第一次追上甲是在点处． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，完成本题要注意通过所行路程及正方形的周长正确判断追上时在正方形的那条边上． 9. 同一平面直角坐标系中，一次函数与（为常数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】若，则一次函数与都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数与都经过第一、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数经过第一、二、三象限，经过第二、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，则一次函数经过第一、三、四象限，经过第一、二、四象限，C选项符合条件； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，先利用二次根式的除法法则拆分被开方数，再将含完全平方数的部分开方，最后通过分母有理化得到最简二次根式． 【详解】解：=====． 11. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五个方面的比例对学生学习过程进行课堂评价，某同学在课堂上五个方面得分依次是8，7，8，6，10，则该学生的课堂评价成绩是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算． 根据加权平均数的定义，将各得分乘以其对应的权重后求和，再除以权重总和即可得到结果． 【详解】解：该学生的课堂评价成绩为： ． 故答案为：． 12. 一台可折叠的床头伸缩壁灯实物图如图①，其数学示意图如图②．调整前、后的灯杆使，前臂杆之间的夹角，后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化后的角度_____． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线的性质得出，然后利用三角形的外角定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 由方程组可得x，y的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想解题是关键．方程组消去t即可得到x与y的关系式．． 【详解】解：， 由得：； 由得：； 由得：， 故答案为： 14. 在2024年6月的红窗汇上，李同学摊位售卖的文件袋大受全校师生的欢迎，在1小时内全部售完．李同学对此文件袋的售卖情况进行了统计：图1表示该文件袋的售卖数量与售卖时间之间的关系，图2表示每个文件袋的利润与售卖时间之间的关系．下列四个结论中， ①第10分钟时售卖了4个文件袋； ②第50分钟时售卖的利润是10元； ③第20分钟与第60分钟的售卖利润相同； ④第25分钟比第55分钟的售卖利润多． 所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息；从函数图象可直接判断①②③，分别求得第分钟到第分钟的函数关系式和第分钟到第分钟的函数关系式得出销售量，进而根据图2求得利润即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得：①第10分钟时售卖了4个文件袋； ②第50分钟时售卖的利润是元； ③第20分钟售卖利润为元，第60分钟的售卖利润为：元；故③不正确； ④设第分钟到第分钟的函数关系式为 代入，得， 解得： ∴，当时， 则第25分钟售卖利润为 元 设第分钟到第分钟的函数关系式为 代入，得， 解得： ∴，当时，，则第55分钟的售卖利润为元 第25分钟比第55分钟的售卖利润多，故④正确． 故答案为：①②④． 15. 在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将26个大写英文字母，，，，依次对应，，，，这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 Y 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 按上述规定，将明码“”译成密码是_____（填写由4个大写字母组成的密码）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据明码字母对应的序号，分别应用给定的规则：当序号为偶数时，密码序号为原序号的一半；当序号为奇数时，密码序号为原序号加27后的一半，求出每个明码字母的密码序号后，再对应回字母，即可得到密码． 【详解】解：明码“”对应的序号分别为：→17，→4，→19，→14， 对于：序号17为奇数，密码序号为，对应字母； 对于：序号4为偶数，密码序号为，对应字母； 对于：序号19为奇数，密码序号为，对应字母； 对于：序号14为偶数，密码序号为，对应字母， ∴明码“”译成密码是． 故答案为：． 三、作图题（本大题满分6分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中直接画出； （2）画出关于轴对称的； （3）已知为轴上一点，若的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键 （1）根据点、、的坐标描点，顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征得出、、的坐标，描点，再顺次连接即可； （3）根据点坐标可得轴，，根据为轴上一点，的面积为得出，进而可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴即为所求． 【小问2详解】 解：∵，，，与关于轴对称， ∴，，， ∴如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图所示： ∵， ∴轴，， ∵为轴上一点，的面积为， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为或． 四、解答题（本大题满分69分，共9道小题） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算，解二元一次方程组，正确掌握相关的运算方法是解题的关键． （1）先计算乘法和化简，再计算减法即可；     （2）利用加减消元法解方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： 得，，解得， 把代入，得，解得， 则方程组的解为． 18. 写出一个二元一次方程组，使它的解为 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组解的定义，解答此题的关键是把方程的解代入各组方程中，看各方程是否成立．根据二元一次方程组的解找到x与y的数量关系，然后列出方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴这个方程组可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 19. 请你完成命题“平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”的证明． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理以及垂直的定义，解题的关键在于利用垂直的定义找到同位角并证明相等．如图，由已知的两直线垂直于同一直线可得，再根据“同位角相等，两直线平行”可判断这两条直线平行，即证． 【详解】已知：直线，直线， 求证：． 证明：如图，直线，（已知）， ，（垂直的定义）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 20. 为了了解学生海洋知识的掌握情况，促进学生全面发展和团队合作意识，学校以小组为单位在八年级开展了海洋知识竞赛．竞赛分为笔试与抢答两个环节，记分员分别记录了甲、乙两组队员的得分情况． 信息1：笔试得分（单位：分） 甲组：88，73，88，90，91，90，92，76； 乙组：90，84，88，86，88，84，88，88． 信息2：甲、乙两组抢答赛成绩的箱线图如下： 信息3：得分统计表 笔试（满分100分） 抢答（满分100分） 参赛组 平均数 众数 中位数 平均数 方差 甲 89 90 乙 87 88 82.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）本次竞赛将“笔试平均数”和“抢答平均数”按3：2的权重来计算综合得分，你认为甲、乙哪个组的综合水平谁更好？请说明理由； （3）请你选择一个方面，对甲、乙两组在抢答环节的表现进行分析与评价． 【答案】（1）；或；； （2）甲组的综合水平更好 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，众数，加权平均数等知识． （1）根据平均数，众数，中位数的含义求解，再结合箱线图判断方差即可. （2）先分别求解甲，乙得分的加权平均数，再比较大小即可. （3）分别从方差与平均数方面分析即可. 【小问1详解】 解：甲的平均数为（分）， ，都出现了次， ∴甲的众数为分或分， 乙的得分从小到大排列：84，84， 86，88，88， 88，88，90． ∴中位数（分）， ∵抢答赛成绩的箱线图中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， 【小问2详解】 解：甲的得分为：（分）， 乙的得分为：（分）， ∴甲组的综合水平更好. 【小问3详解】 解：根据抢答赛成绩的方差，甲的方差小于乙，说明甲在抢答赛方面表现的更好． 根据抢答赛成绩的平均数，甲的成绩平均数大于乙的成绩平均数，说明甲在抢答赛方面表现的更好． 21. 小玲和家人在青岛栈桥喂海鸥，回家后绘制了一个海鸥简笔画，如图，已知，，平分，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．先由，，求出，再根据角平分线的定义得到，由，证得，最后由“平行于同一直线的两直线平行”证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 某茶叶店经销崂山红茶和绿茶，第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同． （1）求每盒崂山红茶和每盒绿茶的进价； （2）该店这两种茶叶标价如图．为迎接新年，茶叶店将两种茶叶都打八折销售．某顾客在该店购买这两种茶叶若干盒（每种至少一盒），总共花费1360元，请问他最多购买了多少盒茶叶？ 【答案】（1）每盒崂山红茶的进价为100元，每盒绿茶的进价为150元 （2）该顾客最多购买了8盒茶叶 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程（组）求解． （1）设每盒崂山红茶的进价为x元，每盒绿茶的进价为y元，根据“第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同”建立方程组求解； （2）设顾客在该店购买崂山红茶a盒，购买崂山绿茶b盒，先算出两种茶叶打八折后的售价，再根据题意得，整理得，最后求出其正整数解，根据题意得到最大值为8，即求出该顾客最多购买了8盒茶叶． 【小问1详解】 解：设每盒崂山红茶的进价为x元，每盒绿茶的进价为y元， 由题意得， 解得， 答：每盒崂山红茶的进价为100元，每盒绿茶的进价为150元． 【小问2详解】 解：设顾客在该店购买崂山红茶a盒，购买崂山绿茶b盒， 每盒崂山红茶的标价为200元， 打八折销售，则每盒崂山红茶的售价：（元）， 每盒崂山绿茶的标价为300元， 打八折销售，则每盒崂山绿茶的售价：（元）， 由题意得， 化简得， 由题意得a，b均为正整数， 或或， ∴或7或6， ∴最大值为8， 答：该顾客最多购买了8盒茶叶． 23. 小赵和小周两家相距2400米，两人约定周末到小周家一起学习．小赵步行匀速前往小周家，小周知道后同时从家出发骑自行车去接小赵，但二人在路上错过相遇．小周到达小赵家后保持原速立即返回．两人距离小赵家的距离（米）与出发时间（分）函数图象如图所示． 根据图象，解答下列问题： （1）小赵的步行速度为_____米/分，小周骑自行车的速度为_____米/分； （2）小赵步行过程中，关于之间的关系式为_____； （3）求两人出发后多少分钟错过相遇； （4）直接写出在小赵到达小周家之前，两人出发何时相距600米． 【答案】（1）80；120 （2） （3）12分钟 （4）9分钟或15分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）由函数图象可知小赵出发30分钟到达小周家，小周出发20分钟到达小赵家，据此根据速度等于路程除以时间求解即可； （2）根据路程等于速度乘以时间列函数关系式即可； （3）两人相遇时所走的路程之和为2400米，据此列式求解即可； （4）两人相遇前，相距600米时，两人的路程之和为1800米，两人相遇后，相距600米时，两人的路程之和为3000米，据此列式求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得，小赵的步行速度为米/分， 小周骑自行车的速度为米/分； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解：分钟， 答：两人出发后12分钟错过相遇； 【小问4详解】 解：当两人相遇前，分钟， 当两人相遇后，分钟； 答：在小赵到达小周家之前，两人出发9分钟或15分钟相距600米． 24. 折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 【答案】（1）；（2）；（3）图见解析，说明见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，再由折叠的性质即可求出的长； （2）由折叠的性质可得， ， ，，利用勾股定理可得，可证明得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，再利用勾股定理求出的长即可； （3）将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，由勾股定理可得 ，则线段即为所求； （4）将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，由折叠的性质可得，由勾股定理得则线段即为所求． 【详解】解：（1）在中，， ∴， 由折叠的性质可得； （2）由折叠的性质可得， ， ，， ∵， ∴，， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）如图3所示，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，则线段即为所求； （4）如图4所示，折叠将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，则线段即为所求． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．过点的直线交x轴于点E，交直线于点D．已知点D位于第二象限，且． （1）求的长； （2）求直线对应的函数表达式； （3）若点P在直线上，且P关于y轴的对称点Q恰好落在直线上，求点P的坐标； （4）将直线沿y轴向下平移m个单位长度，平移后的直线交x轴于点F，若，则m=_____．（直接写出答案） 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由直线与x轴，y轴分别交于点A，B，得到，，在中，运用勾股定理，求得的长； （2）先计算，由得到，再求得点D横坐标，由点D在直线上，求得，最后运用待定系数法求出直线对应的函数表达式； （3）设，由于P关于y轴的对称点为Q，得到，因为点Q恰好落在直线上，直线解析式，所以将点Q坐标代入直线中，求得p的值，从而求出点P坐标； （4）先求出平移后的直线解析式为，再求出，由得到，从而求出m的值． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， 令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴，， 在中， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点D位于第二象限， ∴， ∵点D在直线上， ∴将代入直线解析式中， 得， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵点，在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：∵点P在直线上，直线解析式， ∴设， ∴P关于y轴的对称点， ∵点Q恰好落在直线上，直线解析式， ∴， 解得， ∴； 【小问4详解】 解：∵直线沿y轴向下平移m个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，包括待定系数法求一次函数，线段长度计算，点坐标的对称，以及三角形面积的求法，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $