2026年中考数学一轮复习 二次函数综合：二次函数与相似问题、二次函数与角度问题 专项训练

二次函数综合：二次函数与相似问题、二次函数与角度问题专项训练 二次函数综合：二次函数与相似问题、二次函数与角度问题专项训练 考点目录 二次函数与相似问题 二次函数与角度问题 考点一 二次函数与相似问题 例1．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求此时点的坐标； (4)若点在抛物线上，在（3）的条件下，当是直角三角形时，直接写出点的横坐标___________． 例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点．点P为第一象限抛物线上的点，连接、、、． (1)直接写出结果： _____； _____；_____； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图1，当时，求点P的坐标； (4)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 变式1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，二次函数的图像交轴于点、，点A坐标为与轴交于点，以、为边作矩形，点为线段上的动点，过点作轴的垂线分别交、和二次函数的图像于点、、，连结． (1)写出点B的坐标___________； (2)求线段长度的最大值； (3)试问：在上方的二次函数的图像部分是否存在这样的点，使得以、、为顶点的三角形和相似？若存在，求此时点的横坐标，并判断的形状；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，当取得最大值时，求点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值； (3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 考点二 二次函数与角度问题 例1．（25-26九年级上·广东东莞·期末）综合运用：如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线上一点，且横坐标为m，连接，若，求m的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线，点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P、Q、R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标． 例2．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，当点P位于直线上方时，求面积最大时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，连接，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为线段（不含端点，）上一点，连接并延长交抛物线于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点时得到新抛物线，点为新抛物线与轴的另一个交点，点为新抛物线的顶点，连接，，过点作交新抛物线于点，连接．在新抛物线上确定一点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，连接、，当取得最大值时，求点P的坐标及的最大值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 变式2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式； (2)连接、，在直线的下方抛物线上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 变式3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象经过点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，，交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)是否存在点，使得取到最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，当时，求直线的表达式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数综合：二次函数与相似问题、二次函数与角度问题专项训练 二次函数综合：二次函数与相似问题、二次函数与角度问题专项训练 考点目录 二次函数与相似问题 二次函数与角度问题 考点一 二次函数与相似问题 例1．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为；或． 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 例2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求此时点的坐标； (4)若点在抛物线上，在（3）的条件下，当是直角三角形时，直接写出点的横坐标___________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴于E， 令，则， 解得或， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作轴交直线于F， ∴， ∴， ∵是个定值， ∴当最大时，有最大值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时点P的坐标为； （4）解：设点Q的坐标为； 当时，如图所示， 过点P作轴于，过点Q作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意）； 当时，如图所示，过点P作轴于，过点Q作轴于， 同理可证， ∴，即， 解得或（不符合题意）； 当时，如图所示，过点Q作轴于，过点P作于， 同理可证， ∴，即， 解得或； 综上所述，点Q的横坐标为或或或． 故答案为：或或或． 例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点．点P为第一象限抛物线上的点，连接、、、． (1)直接写出结果： _____； _____；_____； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图1，当时，求点P的坐标； (4)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)，4， (2)是直角三角形；理由见解析 (3)点P坐标为 (4) 【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴，， 在中，， 故答案为：，4，； （2）解：∵抛物线与x轴交于A、两点， ∴时，， 解得， ∴， ∴， ∴，，， 又， ∴是直角三角形； （3）解：如图1，过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E， ∵， ∴， 由（1）可得，，即， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点P坐标为，则 ， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P坐标为； （4）解：如图2，作，且使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴Q，F，H共线时，的值最小， 作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 变式1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，二次函数的图像交轴于点、，点A坐标为与轴交于点，以、为边作矩形，点为线段上的动点，过点作轴的垂线分别交、和二次函数的图像于点、、，连结． (1)写出点B的坐标___________； (2)求线段长度的最大值； (3)试问：在上方的二次函数的图像部分是否存在这样的点，使得以、、为顶点的三角形和相似？若存在，求此时点的横坐标，并判断的形状；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，的横坐标为时，是直角三角形；的横坐标为1时，是等腰三角形 【详解】（1）解：将A点坐标代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时,， 解得或， 即B点坐标为， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， ∵点A坐标为，点C坐标为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵点M在直线上， ∴， ∵点P在二次函数的图象上， ∴， ∴()， ∴当时，取最大值3； （3）解：存在，理由： ∵， ∴， ∴当以、、为顶点的三角形和相似时，以、、为顶点的三角形和相似， ∵点P在二次函数的图象上，点F在矩形边上， 设，则， ∴，， ①若， 则， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 此时，， ∴， ∴是直角三角形； ②若， 则， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 变式2．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，当取得最大值时，求点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【详解】（1）解：将代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值； (3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时最大为： (3)或或或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且经过两点， ∴， 解得：， 即：； （2）解：连接， 当时，，即：， 设，且， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵ ∴开口向下， ∴当时，最大为：， 时，最大为：； （3）答：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 即：，解得：， ∴或； 当时，， 即：，解得：， ∴或 综上：或或或． 考点二 二次函数与角度问题 例1．（25-26九年级上·广东东莞·期末）综合运用：如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线上一点，且横坐标为m，连接，若，求m的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线，点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P、Q、R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：由题意得：， 解得． 抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴    ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当M点在x轴上方时，如图1， ∵， ∴， 则设直线的解析式为， ∵直线经过点C，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 当M点在x轴下方时，如图1，设直线与y轴的交点为E，则，作E关于x轴对称的点F，则，连接并延长交抛物线于点，此时，则满足题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，m的值为或； （3）解：∵抛物线的图象过点，对称轴为直线， ∴， ∵抛物线平移后得到，且顶点为点B， ∴， 即． 设，则， 由题意，点Q、R关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， ①如图2，当P在Q点上方时， ，， ∵与全等，，，， ∴当且时，且，则， ∴，； 当且时，且，无解； ②如答图3，当点P在Q点下方时， 同理：，， 当且时，且，则， ∴，； 当且时，且，无解； 综上可得P点坐标为或． 例2．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，当点P位于直线上方时，求面积最大时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线上存在点，点的坐标为或 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：作，如图所示： 设的解析式为， 将代入，得， 的解析式为， 设的解析式为 联立直线与抛物线解析式有 ∴， 化简，得， ∴， 解得， ∴直线的解析式为 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或．理由： 对，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 将绕点顺时针方向旋转，至，如图2所示： 则，， ， 由题意知直线过点，设直线的解析式为， 将，，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， 此时使， 如图2所示，过作轴，过作轴，与交于点， 则四边形为正方形， 作关于的对称点， 由对称性知，点在上， 作直线， 则直线与抛物线的交点满足条件， ，，， ，与点重合， 点在抛物线上， ． 抛物线上存在点，使，点的坐标为或． 例3．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，连接，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为线段（不含端点，）上一点，连接并延长交抛物线于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点时得到新抛物线，点为新抛物线与轴的另一个交点，点为新抛物线的顶点，连接，，过点作交新抛物线于点，连接．在新抛物线上确定一点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)，的面积有最大值 (3)N点坐标为或 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， 将、、三点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图1， 设，则， ， ， 当时，的面积有最大值，此时， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ； （3）解：设抛物线沿轴正半轴方向平移个单位，则沿轴正方向平移个单位， 平移后的函数解析式为， 经过点， ， 解得（舍或， 平移后的函数解析式为， 当时，， 解得或， ， 是顶点， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 过点作轴的垂线与的延长线交于点，与轴交于点，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作交于点，如图2， 直线与轴的交点，， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点上方时， ， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍或， ∴； 当点在点下方时，设与直线交于点，过点作交于点， ∴， ， ， ， ， ， 设， ， 解得， ∴， 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为， ， ， 解得或（舍， ∴， 直线的解析式为， 当时，解得或（舍； ∴； 综上所述：点坐标为或． 变式1．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，连接、，当取得最大值时，求点P的坐标及的最大值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，有最大值 (3)，，见解析 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，过P作轴交于F，过D作于G， 则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则，，， ∴， 则当最大时，最大， 当时，，则， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，此时， ∴； ∵点Q是抛物线对称轴上一动点， ∴， ∴，当A、P、Q三点共线时取等号， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，且，，，， ∴平移方式为将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴， ∴， 如图，过的轴，于E，于F， ∴， 由旋转性质得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，（，证明见后面，）， ∴ ∴ 当K在直线上方时，K与重合，则； 当K在直线下方时，，则， 设直线的函数解析式为，则，则， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，得， 解得（另一组解不符合题意，已舍去） ∴， 综上，满足条件的K的坐标为，． 注：证明， 如图，矩形中，，，，， 设，，， 则，， 在中，，， 在中，， 在中，，， 在中，，， ∴． 变式2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式； (2)连接、，在直线的下方抛物线上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为 (3) 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴，， ∴， 当时，，则 ∴，， ∴， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设点关于直线的对称点为，则， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴点与点重合， ∴； 综上所述，存在点，使，点的坐标为； （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在上取一点，使得轴，垂足为， ∴， ∴，则； 如图，作关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 变式3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象经过点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，，交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)是否存在点，使得取到最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，当时，求直线的表达式． 【答案】(1)； (2)存在，最大值为，此时点的坐标为； (3) 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点、， 将两点代入得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，代入得，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将、代入得，解得， 直线的表达式为． 如图，设线段与直线的交点为，过点作轴的平行线交直线于点， 当时，，，． 轴，轴， ， ， ． 设，则， ， ． ， 当时，取得最大值，此时， 点的坐标为； （3）解：如图，轴，设与轴交于点，则， ， ， 又， ， ． 设，则． 在中，，由勾股定理得， 即，解得， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将、代入得，解得， 直线的表达式为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $