2026年中考数学一轮总复习 二次函数压轴题（角度问题）综合类题型训练

2026年中考数学总复习二次函数压轴题（角度问题）综合类题型训练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，，点是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，点为轴上两个动点，点在点的左侧，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，过点作于点，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 2．已知抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一点，过点A作交y轴于点D，在直线上有一动点M，当四边形面积的最大时，求P点坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点E为点A经过平移后的对应点；在抛物线上是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点B和D，与坐标系交于A、B、C三点，已知，点B在x轴上，点E为直线与y轴交点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点F．点M为线段上的一动点，轴，垂足为N，连接、．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，连接并延长，在第二象限与新抛物线交于点H，点K为新抛物线上一点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 6．如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点C，D关于x轴对称，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交直线于点E，作于点F．点M是直线上一动点，点N是y轴上一动点，连接，，当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度得到新抛物线，新抛物线与直线交于点R，S（点R在点S的左侧），点Q是新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的Q的坐标． 8．二次函数，与轴的交于点，点，函数与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，连接与，在直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交线段于点，过点作垂直于直线，垂足为点，当最大时，求出点的坐标．过点作直线且与轴交于点，点为直线上的一个动点，当最大时，求的周长的最小值； (3)把函数沿射线平移个单位得到函数，直线上有一动点，在的条件下，当最大时，若，射线与函数的图象交于点，直接写出点的坐标，并写出求其中一个点的过程． 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 10．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式； (2)连接、，在直线的下方抛物线上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 14．如图、抛物线交轴于点，，交轴于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． (3)是直线上方抛物线上的一点，连接，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 15．抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)P 点坐标为 ，的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）先求出，再根据，在 轴负半轴，求出，将、代入抛物线即可求解． （2）先求出顶点 ，从而求出直线 解析式，根据，，得出，从而得，求出，设 ，则，即可表示出，得出当时，取得最大值，求出P 点坐标为 ，将 向左移1个单位得 ，则，证出四边形是平行四边形，则，作点关于轴的对称点，得，则当点共线时，最小，最小值为，求出，即可解答． （3）根据题意得出抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，求出新抛物线解析式为：，分①当点位于直线上方时，②当点位于直线下方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在抛物线 中，令，则，则， ∴， ∵，在 轴负半轴， ∴， 将、代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：∵抛物线表达式为：， ∴顶点 ， 设直线 解析式为， 则，解得：， ∴直线 解析式为 ， 设直线 解析式为， 则，解得：， ∴直线 解析式为 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，故当时，取得最大值， 将代入得 ​， ∴P 点坐标为 ， ∵，将 向左移1个单位得 ， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点， 则 ，， ∴， 当点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴的最小值为． （3）解：∵，，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 新抛物线解析式为：， ①当点位于直线上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即，点是与轴的交点， 在中，令， 解得：（舍去）或， ∴点的横坐标为； ②当点位于直线下方时，如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，则， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得：或（舍去，此时为钝角）， ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为或． 2．(1) (2)； (3)，；过程见解析 【分析】（1）先求出点C坐标，再得出点B坐标，结合对称轴，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，由，得出，可得．则当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值．过点P作轴交于点Q，设，则，得出．利用二次函数性质求出最大时．过点M作轴，交x轴于点N．得出，则，当P，M，N共线时，取最小值，即可求解； （3）先利用平移求出新抛物线解析式为，再求出，证明．得出，当点M在下方时，设交x轴于点G，得出，求出直线的表达式为：，与联立求解即可；当点M在上方时，在上取一点K，使得，求出，可得直线的表达式为，证明，可得直线的表达式为：，与联立求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． ． ， ， ． 由抛物线过点，抛物线的对称轴是直线， 得，解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：由，抛物线的对称轴是直线， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为， ， ∴与同底等高， ． ． 当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值． 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ． ， 当时，有最大值，此时， ∴此时． 过点M作轴，交x轴于点N． ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当P，M，N共线时，取最小值， 此时轴． 此时的最小值为； （3）解：当M点的坐标为，，满足，理由如下： ，， ， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度， ∴新抛物线解析式为， ，由平移可得． ， 又，， ． ， 当点M在下方时，设交x轴于点G， ． ，即， ∴， ∴，则， 如图，可设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得：点为直线与的交点， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 当点M在上方时，在上取一点K，使得，如图， 设， 由，得， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入，得，即直线的表达式为：， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 综上，当M点的坐标为，． 3．(1) (2)或 (3)是定值，定值为4 【分析】（1）先根据已知条件确定B、C的坐标，再利用正切的定义确定点A的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）设D，再说明，如图：过D作轴于E，利用正切的定义可得，整理后求解可得或，最后确定D点坐标即可； （3）如图：过P作轴于Q，设，且，则．易得，证明可得，进而求得．同理证明可得，最后代入化简即可解答． 【详解】（1）解：， ，． ， ． ． 设抛物线解析式为，代入， 得：，解得：． 该抛物线解析式为． （2）解：设D， ，， ． 如图：过D作轴于E， ．整理得：． ， ，解得：，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，或． （3）解：是定值，定值为4，理由如下： 如图：过P作轴于Q，设，且，则． ． ， ． ，即． ． ， ． ，即． ． ． 的值为常数4，故是定值． 4．(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 5．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，再将、代入抛物线求解即可． （2）联立抛物线与直线解析式求出，再求出，设，则，则，，从而得，根据二次函数的性质得出当时取得最大值，从而得M在直线​上，设，则，，将向右平移个单位得，则，得出，求出​​，即可得的最小值为，从而求解​​． （3）求出，判断出抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，即抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到新抛物线，求出新抛物线解析式．求出直线解析式，联立和，则，求出．设，分为①当点在点左侧时，过点H作轴，过点K作，证明，得出，从而列方程求解．②当点在点右侧时，过点H作轴，过点K作，同理证明，从而列方程求解． 【详解】（1）解：∵点在轴和直线上， 令，得，解得：，即， 将、代入抛物线得 ， 解得：， ∴抛物线表达式为： ． （2）解：联立抛物线与直线解析式得， 解得：，则， ∴， 在直线中，令，得， ∴， 设，则， 则， ， ∴， 则， 该二次函数开口向下，故当时取得最大值， 此时， ∴M在直线​上， 设， ∴，， 将向右平移个单位得，则，连接， ∴， ∵​​， ∴的最小值为， ∴的最小值为​​． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，即抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到新抛物线， ∵抛物线的顶点坐标为， 此时点的对应的点为， 故新抛物线为：． 在中，令，则， ∴， 设直线解析式为， 代入得，解得：， 则直线解析式为， 联立和，则， 解得：， ∴． 设， 当点在点左侧时，如图， 过点H作轴，过点K作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）或， ∴． 当点在点右侧时，如图， 过点H作轴，过点K作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上，或． 6．(1)直线解析式为，抛物线解析式为 (2) (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由一次函数解析式可得点C坐标，从而可得，由的面积是面积的2倍可得点P到的距离是点Q到的距离的2倍，再分类讨论点P的位置并结合图像求解即可； （3）分别讨论点M在x轴正半轴，y轴负半轴与正半轴三种情况，由长度不变，角度不变可得为弦所对圆周角，从而可得所对圆心角为直角，进而求解即可． 【详解】（1）解：代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式． 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①点P在x轴上方时，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线于点E， 将代入得， ∴点C坐标为， ∵， ∴C为中点，即， ∴当的面积是面积的2倍时，点P到的距离是点Q到的距离的2倍， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P纵坐标为， 将代入得，解得， ∴点P坐标为或． ②点P在x轴下方时，连接，轴于点K， ∵C为中点， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴点Q为中点， 又∵， ∴， ∴，即点P纵坐标为， 将代入得，解得∴点P坐标为或． 综上所述，点P坐标为或或或． （3）解：①点M在x轴正半轴上，作轴于点N， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点M坐标为． ②如图，点M在y轴负半轴，作于点G， ∵长度不变，， ∴点A，B，M在同一个圆上， ∵， ∴点G为外接圆圆心， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点M坐标为， 此时，， 所以是等腰直角三角形，符合题意； ③点M1与点M关于点C对称，则四边形为平行四边形，， ∴点坐标为． ∴点M坐标为或或． 7．(1)； (2)的最小值为； (3)点Q的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，则，当取得最大值时，取得最大值，设，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质求得，过点作直线，使直线与轴的夹角为，在轴的左侧，且，求得，当共线且时，取得最小值，延长交直线于点，据此求解即可； （3）利用平移的性质求得新抛物线的解析式为，求得，，求得，作的平分线交于点，作于点，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴； （2）解：令，则， ∴， ∵点C，D关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 当取得最大值时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即取得最大值， 此时， ∴， 过点作直线，使直线与轴的夹角为，在轴的左侧，且，如图， 设直线与轴的交点为， ∴，即， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴当共线且时，取得最小值， 延长交直线于点，此时轴， 当时，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度得到新抛物线，即向上平移3个单位长度，向右平移4个单位长度， ∴新抛物线的解析式为， 当时，则， 解得，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 作的平分线交于点，作于点，如图， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴， ①当点在直线的上方时， 设， 过点作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， 解得， ∴； ②当点在直线的下方时， 同理求得； 综上，点Q的坐标为或． 8．(1) (2)，的周长的最小值为 (3)点的坐标为或，过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）延长交直线于点，设点的坐标为，先求出直线与直线的解析式，从而表示出，，因此，．容易证明，根据相似可计算得，因此，由二次函数的性质求出最大值为，此时，点的坐标为．延长交轴于点，作点关于点的对称点，连接、，根据平行计算出直线的解析式为，则点的坐标为．容易证明，则点与点关于对称，从而得到．当、、三点共线时，最小，即的周长最小，使用勾股定理计算出即可； （3）沿射线平移个单位等同于从点平移到点，从而得到．分为点在的左侧和右侧两种情况讨论，当点在的右侧时，使用勾股定理计算出的三边，从而得到是直角三角形，利用三角函数可证明，因此点即为所求的点，求出直线的解析式，与抛物线联立，求出点的坐标；点在的左侧时，利用对称性求出此时点的坐标，然后使用同样方法求出点的坐标，删去不符合题意的点坐标后，得到结果． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：延长交直线于点，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，，， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为； 如图，延长交轴于点，作点关于点的对称点，连接、， ∵， ∴点的坐标为， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴由中点公式可得，点的坐标为，即， ∴， ∵的周长为， ∴当最小时，的周长最小， ∵轴， ∴点的坐标为，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，最小，即的周长最小， 由勾股定理可得， ∴的周长的最小值为； （3）解：∵， ，， ∴沿射线平移个单位等同于从点平移到点，即向右平移个单位，向上平移个单位， ∴， ①当点在的右侧时，如图，连接，， 由（2）可知，点的坐标为， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， 在直角中，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴点即为所求的点， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在射线上， ∴点的坐标为； ②当点在的左侧时，如图， ∵， ∴， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴由中点公式可得，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查函数平移问题，线段和最值问题，角度问题，掌握好相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 9．(1) (2)， (3)11或 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法求解即可； （2）如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则，先求出直线的解析式为，通过得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，由点到直线的最短距离可得当F、N、M三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，利用锐角三角函数进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，由勾股定理可得，即；如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，设，根据列方程可得；再求得直线的解析式并与的解析式联立即可求解；利用轴对称的性质可得，然后求出直线的解析式并与的解析式联立即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 代入抛物线得： ，解得：， ∴． （2）解：如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 则，， ∴， ∵， ∴当时，最大， 此时，，即， 由点到直线的最短距离可得当F、M、N三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴最小值为． （3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图：连接， ∴ ∴， ∴ 如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K， 设，则，， ∴，解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为， 与抛物线联立得， 解得：（舍），，即点K的横坐标为11； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K， 设，则，， ∴，解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为， 与抛物线联立得，解得：（舍），， 故点K的横坐标为． 综上所述，点K的横坐标为11或． 10．(1) (2)，的最小值为 (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）先求得点，然后利用，求得点，然后利用待定系数法解题即可； （2）先求出直线的表达式，接着不妨设点，那么，表示出，结合二次函数，求出其最值，以及，从而得到点坐标，接着求出直线，的表达式，得到点坐标，算得长度，接着判断四边形是平行四边形，那么，那么当取得最小值时，最小，过点作，过点作交于，那么四边形是平行四边形，可得到，从而推出当、、三点共线时，取最小值，最小值为，不妨设点，利用平行四边形的性质，结合平移，表示出，，接着利用勾股定理求得即可； （3）先算得当点满足时，，以及新抛物线的对称轴为直线，接着设新抛物线的对称轴交x轴于点T，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点，先证明，得到，，设，则，接着证明，通过算得答案． 【详解】（1）解：当时，代入，解得， ∵抛物线交轴于点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交轴于，且过， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线的表达式为，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为：， 不妨设点，那么， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴此时， 设直线的表达式为，代入，， 得，解得， ∴直线的表达式为：， ∵， ∴不妨设直线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， 过点作，过点作交于，如图所示： ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取最小值，最小值为， 如下图所示，、、三点共线： 不妨设点， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点， ∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点， ∴， 同理，∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）可知，，，， ∴，且点为的中点， ∵轴于点，交于点， ∴，垂直平分线段，， ∴，，， ∴， ∴， ∴当点满足时， 则， ∵将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线， 如图，设新抛物线的对称轴交x轴于点T， ∴， 在上取，连接， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点在第一象限， 如图，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点， 则四边形和为矩形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， 不妨设，则， ∵四边形和为矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴点Q的坐标为或． 11．(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，根据列式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 直线与抛物线交于两点， ，解得，， 当时，， 当时，， ，， ， 设点，的面积为，则点， ， 则， 即， ， 当时，S取得最大值为， 则， 当点时，的面积最大为； （3）解：当时，，解得，， ，则， 如图，过点作的垂线并取点（在直线的上方），使得，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点， ， ，，则， ，轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 则， ， 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， ， 点是满足条件的点， ，解得（舍去），， 当时，， ． 12．(1)，， ， (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）联立二次函数与直线，解方程求出点、的坐标，将求出的坐标代入，求出与； （2）①先表示出点、、的坐标，再表示出与，进而得到与的关系； ②作轴，垂足为，作，垂足为，容易判断出和都是等腰直角三角形，结合三角形外角的性质可计算出．根据含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可推导出，从而求得点的坐标．使用待定系数法求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标； （3）根据满足的不等式，画出其图象，由抛物线与较低的部分组成，容易判断出直线过定点，则当直线与有三个公共点时，直线的斜率应该在过点与相切的直线的斜率以及直线的斜率之间，从而求出的取值范围．根据函数的对称轴位置和增减性，分为和两种情况讨论，计算出最大值和最小值后，结合题意构造方程组，解出的值即可． 【详解】（1）解：联立二次函数与直线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①证明：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； ②如图，作轴，垂足为，作，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴的图象为与中较低的部分，如图所示， 对于直线，当时，为定值， ∴直线过定点， 当直线过点时，此时直线与直线重合， ∴， 当直线与抛物线相切时，联立方程，得， ， 化简，得， ∵直线与抛物线相切，即只有一个交点， ∴判别式， ∴， 解得， ∵直线与函数的图象有三个公共点， ∴， 在二次函数中，图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值， ∴， 解得，这与矛盾，故舍去； ②当时， ∵图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小 ∵， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得（负值舍去）， 综上所述，． 13．(1) (2)存在，点P的坐标为 (3) 【分析】（1）根据二次函数的图像过点，对称轴为直线，列出关于的方程组，即可求解； （2）根据点的坐标可得，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设点关于直线的对称点为，则，结合可得点与点重合，得出，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得轴，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴，， ∴， 当时，，则 ∴，， ∴， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设点关于直线的对称点为，则， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴点与点重合， ∴； 综上所述，存在点，使，点的坐标为； （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在上取一点，使得轴，垂足为， ∴， ∴，则； 如图，作关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 14．(1)； (2)点； (3)存在，， 【分析】（1）由于抛物线交轴于点，交轴于点两点，那么可以得到b、c的方程组，解方程组即可确定b、c的值． （2）过点作轴，交于点，求出直线的函数表达式为．设点，则点，写出，由即得答案； （3）设交轴于点，过点作于点，设，则．是等腰直角三角形，得，可得点，求出直线的函数表达式为，与抛物线解析式联立即可求出点M的横坐标． 【详解】（1）解：（1）把点代入， 得 解得 抛物线的函数表达式为． （2）如图1，过点作轴，交于点． 令，得， 解得， 点． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为． 设点，则点， ， ． ， 当时，的面积取得最大值，最大值为， 此时点. （3）解：．理由： ， ． ， ． 如图2，设交轴于点，过点作于点． 设， 则． ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 点． 设直线的函数表达式为． 将点代入， 得 解得 直线的函数表达式为． 联立 解得（舍去）， 点的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，求一次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与线段周长综合，与面积综合，角平分线性质，等腰直角三角形性质，二次函数与一次函数综合，是解题的关键． 15．(1) (2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题． （1）根据题意先求得，进而可得，根据对称性可得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）当点M在x轴上方，设交轴于点，证明得出，待定系数法求得直线的解析式，联立抛物线解析式求得的坐标；当点M在x轴下方，同理可得的解析式为，再联立抛物线解析式求得的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，根据得出，进而设，解方程得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 将，代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：如图，当点M在x轴上方，设交轴于点， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴，则 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点 当点M在x轴下方，同理可得的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）解：如图过点作轴于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） 当时， ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $