精品解析：湖北省武汉市华宜寄宿学校2025-2026学年八年级上学期学情自测数学试卷

2025-2026学年湖北省武汉市华宜寄宿学校八年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列冬奥会会徽图案中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可一一判定． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判定轴对称图形的关键是寻找对称轴，熟练掌握和运用轴对称图形的识别是解决本题的关键． 2. 要使分式有意义，则字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．据此解答即可． 【详解】∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：D． 3. 点A(1，5)关于y轴对称点的坐标为（ ） A. （-1，-5） B. （1，-5） C. （-1，5） D. （5，-1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案． 【详解】解：点P（1，5）关于y轴的对称点的坐标是（-1，5）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，掌握相关运算法则是关键．根据合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方等法则，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】∵A．与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵B．，∴B错误； ∵C．，∴C错误； ∵D．，∴D正确， 故选：D． 5. 如图，点B，E，C，F共线，，，添加一个条件，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， A、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意； B、添加条件，结合条件，，不可以由证明，符合题意； C、添加条件，即，结合条件，，可以由证明，不符合题意； D、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意； 故选B． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用提公因式法和公式法逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，分解因式不彻底，故此选项不符合题意； B．不符合分解因式的定义，故原选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，因式分解正确，符合题意． 故选：D． 7. 等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( ) A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 本题可分两种情况： ①当角为底角时， 顶角为； ②角为等腰三角形的顶角； 因此这个等腰三角形的顶角为或． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数， 做题时要注意分情况进行讨论， 这是十分重要的， 也是解答问题的关键 ． 8. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米和Q千克/米．下列说法： ①；②；③；④P是Q的倍．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】分别表示出，，再计算出和，即可判断． 【详解】解：由题意可得：，， ∵ ， ∵， ∴，即， ∵ 故③④正确，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 9. 如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点，由题意可证垂直平分，,是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点， ∵，， ∴垂直平分，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形，， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用转化的思想求解． 过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点，则由对称可得，因为，那么当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置，再证明，即可求解． 【详解】解：过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点， 由对称可得， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴当取最小值时， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式的值为零，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，掌握“分子为0且分母不为0”是分式值为0的必要条件，是解决问题的关键． 根据分式的值为0的条件，即分子为0且分母不为0，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，且， 解得． 故答案为：2． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，由于两个分式分母相同，根据分式的减法法则，分母不变，分子相减，即可得出结果，熟练掌握分式的减法法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 若多项式是一个完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．根据完全平方公式的结构特点解答，即可求解． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N，连接、，若，则______． 【答案】##85度 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求出的值，然后再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴∠． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，灵活运用垂直平分线的性质是解答本题的关键. 15. 已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，由题意可得，利用因式分解得出，结合，得出的值，再代入求函数值，熟练掌握因式分解是解此题的关键． 【详解】解：∵当和，多项式的值相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入可得， 故答案为：． 16. 点O为内一点，且到三个顶点的距离相等，I是的平分线上一点且到三边所在直线上的距离相等，若，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、三角形内角和定理，连接、、、、，由题意可得，由等边对等角得出，，，结合三角形内角和定理表示出，由题意可得点在，的角平分线上，则，，再结合三角形内角和定理求出，结合得出，求解即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、、、， ∵点O为内一点，且到三个顶点的距离相等， ∴， ∴，，， ∴ ， ∵I是的平分线上一点且到三边所在直线上的距离相等， ∴点在，的角平分线上， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得出结果； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的基本方法，主要涉及提取公因式法和完全平方公式，平方差公式的综合运用． 观察原式，两项都含有相同的因式，因此首先考虑提取公因式；提取后观察结构特征，可进一步分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握分式运算法则和因式分解方法是解题的关键．先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算并约分，再与后面的分式进行通分合并，得到最简分式后，代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD． （1） 求证：CF＝BE （2） 若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，即可得出结论； （2）根据S△ACB=S△ACD+S△ADB结合DC=DE即可求得DE． 【详解】（1）证明：∵AD平分∠CAB且DE⊥AB，DC⊥AC ∴DE＝DC 在Rt△DCF和Rt△DEB中 ∵ DE＝DC，DF＝BD ∴Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴CF＝BE； （2）由（1）得：CD=DE， ∵S△ACB=S△ACD+S△ADB， ∴S△ABC=AC•CD+AB•DE， 又∵AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，．按要求完成下列画图． （1）在图①中作出的中线； （2）在图②中的边上找一点E，连接，使； （3）在图③中的边上找一点F，使点F到和所在直线的距离相等； （4）在图④中的网格中找一点G，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，能够学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键． （1）利用网格找到线段的中点，连接，线段即为所求． （2）取格点，连接，与 交于点，则点即为所求． （3）取格点，连接，，，则为等腰三角形，再利用网格取的中点，连接，与边交于点，根据三线合一性质可得，在的平分线上，根据角平分线的性质可得点F到和所在直线的距离相等则点即为所求． （4）先作出点，可得同都位于小正方形边的中点处，可得出，，连接，过点作，由于，所以可得出，可得出，可得，而由为中点可得是的垂直平分线，其与的垂直平分线相交于点，则点是三边垂直平分线的交点，可得出． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： 【小问4详解】 解：如图所示： 22. 在代数的“分式变形与求值”领域，有一种常用的解题策略——“降次变形”与“整体代换”．如，已知，求的值时，我们可以对两边平方，得到，即，从而推出．这种通过对已知式子变形，结合公式（如完全平方公式）进行整体代换的方法，能有效解决复杂分式的求值问题．请运用该思路解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形为已知条件的形式，进而得出结果是解题的关键． （1）把两边平方即可得出； （2）先由得，代数式中分子和分母同时除以，得，即，把，代入得，即， 由得，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 代数式中分子和分母同时除以，得，即， 把，代入得，即， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 23. 如图1，在中，，，点D在边（端点除外）上，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到对应线段，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证；； （2）如图2，连接，，交于点． ①求证：； ②连接，若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析过程；②． 【解析】 【分析】（1）由可证，可得； （2）①由全等三角形的性质可求，，由可证，可得，即可求解； ②延长交于，连接，，过点作，先证垂直平分，可得，设，由直角三角形的性质可求，再证明四边形是矩形，可得，再求出，最后求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ，， 将线段绕点顺时针旋转， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①证明：如图2，在上截取，连接， ， ，， 将线段绕点顺时针旋转， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 又， ， ， ； ②解：延长交于，连接，，过点作，垂足分别是N、M， ， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 垂直平分， ， ， 设， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质及等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点，而且满足，点为边上一动点，点为轴上一动点，，连接． （1）点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． （2）证明：． （3）如图，若以为腰作等腰三角形（按照逆时针），，，连接，求的最小值． 【答案】（1），， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先配方得到，再根据非负数的特征求出，，，即可得到点的坐标； （2）过点作交于点，则是等边三角形，再证明得到； （3）连接，，过作于，交直线于，先根据，得到，设，再结合，得到，，则，即可得到在过点且的定直线上运动，根据垂线段最短可得：当运动到点时最短，再根据角平分线的性质得到，则的最小值为． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交于点， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，过作于，交直线于， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， 由（2）得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即在过点且的定直线上运动， ∴根据垂线段最短可得：当运动到点时最短， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，直角坐标系，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到点E的运动路线是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖北省武汉市华宜寄宿学校八年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列冬奥会会徽图案中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，则字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 点A(1，5)关于y轴对称点的坐标为（ ） A. （-1，-5） B. （1，-5） C. （-1，5） D. （5，-1） 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点B，E，C，F共线，，，添加一个条件，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( ) A. B. 或 C. 或 D. 8. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米和Q千克/米．下列说法： ①；②；③；④P是Q的倍．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 10 10. 如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式的值为零，则______． 12. 计算：______． 13. 若多项式是一个完全平方式，则______． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N，连接、，若，则______． 15. 已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 16. 点O为内一点，且到三个顶点的距离相等，I是的平分线上一点且到三边所在直线上的距离相等，若，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD． （1） 求证：CF＝BE （2） 若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，．按要求完成下列画图． （1）在图①中作出的中线； （2）在图②中的边上找一点E，连接，使； （3）在图③中的边上找一点F，使点F到和所在直线的距离相等； （4）在图④中的网格中找一点G，使． 22. 在代数的“分式变形与求值”领域，有一种常用的解题策略——“降次变形”与“整体代换”．如，已知，求的值时，我们可以对两边平方，得到，即，从而推出．这种通过对已知式子变形，结合公式（如完全平方公式）进行整体代换的方法，能有效解决复杂分式的求值问题．请运用该思路解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值． 23. 如图1，在中，，，点D在边（端点除外）上，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到对应线段，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证；； （2）如图2，连接，，交于点． ①求证：； ②连接，若，直接写出的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点，而且满足，点为边上一动点，点为轴上一动点，，连接． （1）点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． （2）证明：． （3）如图，若以为腰作等腰三角形（按照逆时针），，，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $