精品解析：安徽合肥市肥西县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年度（上）期末教学质量检测 九年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 5. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象经过点．如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点，给出下列结论： ； ； 以，，，为顶点四边形不可能是正方形； 若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 请写出一个开口向上，且经过点的二次函数解析式：________． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是_________． 13. 如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 14. 如图，，都是等腰直角三角形，点，在（）的图象上，斜边，都在轴上，则（1）___________；（2）点的坐标为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 16. 如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出． （2）在图中，线段上作点，利用格点作图使得． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知线段、、满足，且． （1）求、、的值； （2）若线段长是线段、的比例中项，求的值． 18. 如图，中，点、分别在边、上，，． （1）求证：； （2）若，，连接，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，于，． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连接． （1）求、值； （2）求的面积； （3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点且随的增大而增大． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）如图所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，求的值； （2）如图，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为，已知图像经过点． （1）求、、三点的坐标； （2）一个二次函数的图像经过、、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． ①若点的坐标为，求的值； ②设，直接写出的最大值． 七、（本大题满分14分） 23. （1）【观察发现】如图1，在中，点在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点为边的中点，.点在上，连接，.若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点，分别在边，上，，延长，相交于点.若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上）期末教学质量检测 九年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题关键．根据比例的基本性质（比例的内项之积与外项之积相等），将各选项转化为乘积形式，与已知条件进行对比，由此即可得． 【详解】解：A、由得，与已知不一致，则此项不成立； B、由得，与已知一致，则此项成立； C、由得，与已知不一致，则此项不成立； D、由得，与已知不一致，则此项不成立； 故选：B． 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数，，且等式右边是关于的整式）逐一分析选项． 【详解】解：A、是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． B、最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义． C、符合（，，）的形式，是二次函数． D、是根式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选：C． 3. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设，则，根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的意义即可求出，准确计算是解题的关键． 【详解】：如图，设，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是关键． 根据二次函数的图象的开口方向与对称轴判断函数的增减区间即可． 【详解】解：在二次函数中，，对称轴为直线， ∴图象开口向上， ∴在对称轴左侧，即时，随的增大而减小． 故选：D． 5. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例进行求解即可． 此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∴， 故选：A． 6. 已知二次函数的图象经过点．如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线开口方向，利用数形结合思想求解m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上， 令，则， 因式分解得 解得或， ∴当时，或 ∵点在二次函数图象上且， ∴或， 故选：C 7. 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比．如图，先证，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，     由题意可知，，，， ，， ， ，即， 解得， 即像距是． 故选：D． 8. 如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 9. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，设，，再根据翻折的性质及等角对等边得出，最后利用勾股定理表示出及即可． 【详解】解：由题知， 令，， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中，． 故选：D． 10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点，给出下列结论： ； ； 以，，，为顶点的四边形不可能是正方形； 若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断不正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断． 【详解】解：二次函数与图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故正确； 如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确； 当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故不正确； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故④不正确； 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 请写出一个开口向上，且经过点的二次函数解析式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．根据二次函数的性质，二次项系数大于时，开口方向向下，再利用过点得出即可． 【详解】解：开口向上，且经过点的二次函数解析式， 设顶点坐标为， 故解析式为． 故答案为：． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似的性质，掌握位似的性质是解题的关键． 根据比例关系，求出，再根据位似的性质，可得且相似比为，最后根据“面积之比是相似比的平方”，计算即可求解． 【详解】解： ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， 与的相似比为， 则面积比为． 故答案为：． 13. 如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 【答案】48米## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数的相关定义和运算是解题关键．作于，过点作于点，根据题意可得，然后利用勾股定理求出米，得出米，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得米，进一步可得米，米，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：作于，过点作于点，如图所示： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴米， ∴在矩形中，米，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得：， 答：大树的高度约为48米． 故答案为：48． 14. 如图，，都是等腰直角三角形，点，在（）的图象上，斜边，都在轴上，则（1）___________；（2）点的坐标为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴，由于是等腰直角三角形，可以设点的坐标是，把代入解析式即可求出，因而求出的坐标是，进一步得到，再根据是等腰直角三角形，设的纵坐标是，因而横坐标是，把的坐标代入解析式，即可求出，然后即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， 是等腰直角三角形， ， ， 设点的坐标是， 把代入解析式得到， 的坐标是， 则， 是等腰直角三角形，过点作轴于， 设的纵坐标是， 横坐标是， 把的坐标代入解析式， ， （负值已舍去）， 点的横坐标是． 点的坐标是． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算乘方，代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出． （2）在图中，线段上作点，利用格点作图使得． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理，勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点，根据平行线分线段成比例定理可判断点满足条件； 掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心， 则即所作； 【小问2详解】 如图，取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知线段、、满足，且． （1）求、、的值； （2）若线段长是线段、的比例中项，求的值． 【答案】（1），， （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根； （1）设，，，根据列方程求出即可； （2）根据比例中项的意义得出，然后开平方即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； 【小问2详解】 ∵是、的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即的值为． 18. 如图，在中，点、分别在边、上，，． （1）求证：； （2）若，，连接，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，于，． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、直角三角形的性质及三角形面积的计算．解题的关键是利用三角函数定义将角的关系转化为线段比例关系，进而完成证明与计算． （1）在两个直角三角形中用三角函数定义把已知条件转化为线段比例，证明； （2）结合的值和的长度、勾股定理求出高，进而计算三角形面积． 【小问1详解】 证明：∵于， ∴，，又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴的面积． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连接． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点且随的增大而增大． 【答案】（1）的值为，的值为 （2） （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先将点、的坐标代入反比例函数的表达式，求出与的值，再代入一次函数的表达式，求出与的值； （2）先求出点的坐标，利用三角形面积公式求出的面积； （3）先求出点的坐标，结合一次函数的性质， 写出一个符合要求的表达式即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， ∴点的坐标为， 将，代入中得： ， 解得； 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴点的坐标为， ∴， ∴的面积为：； 【小问3详解】 解：由（1）可知，一次函数的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 则设经过点的一次函数解析式为， ∵随的增大而增大， ∴， ∴经过点的一次函数解析式可为（答案不唯一）. 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，反比例函数的图象，待定系数法求函数解析式，直线围成的三角形面积问题，熟练掌握相关知识是关键． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）如图所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，求的值； （2）如图，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （）根据平行四边形的性质证明，，则有，根据性质得，然后通过勾股定理求解即可； （）根据“垂中平行四边形”的定义，证明，，得到，所以；设，则，再利用勾股定理得出，从而可得，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为，已知图像经过点． （1）求、、三点的坐标； （2）一个二次函数的图像经过、、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． ①若点的坐标为，求的值； ②设，直接写出的最大值． 【答案】（1），， （2）①，②最大值为4 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质； （1）先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据顶点式可得，然后，求出x即可得到、的坐标； （2）①根据抛物线过，得出对称轴为，然后利用抛物线的对称性可得的值； ②利用二次函数的对称性表示出点D坐标，求出，，然后利用二次函数的性质求出最值即可． 小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴； 令， 解得或， ∴，； 【小问2详解】 ①由题意知，该函数过点，，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴点，关于对称轴对称， ∴， ∴， 故答案为：5； 【点睛】设二次函数的解析式为：， 将，两点代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为， ∵，两点关于对称轴对称，点， ∴， ∵点在线段上，且与端点不重合， ∴， ∴， ∵时，过点，，三点的二次函数不存在， ∴且； ∵，， ∴， ∵且， ∴时，有最大值，最大值为4． 七、（本大题满分14分） 23. （1）【观察发现】如图1，在中，点在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点为边的中点，.点在上，连接，.若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点，分别在边，上，，延长，相交于点.若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出； （3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出进而根据相似三角形的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； （3）解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴在中根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $