精品解析：2026年河北省沧州市初中学业水平考试数学试题（B）

河北省九年级结业教学质量检测试题 数学（B） 注意事项：1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，四个点，，，的位置如图所示，其中可能落在反比例函数图象上的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. （新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 3. 手机记录了邯郸市某周的日最低气温，如下表． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 日最低气温 则这周的日最低气温（单位：）所组成的个数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列数中，能使等式成立的的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 与的结果相同的是（ ） A. B. C. D. 7. 用若干个大小相同的正方体搭成一个几何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（ ） A. 添加黄球个 B. 添加红球个 C. 添加红球个，黄球4个 D. 添加红球个，黄球个 9. 如图，正方形的两个顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象经过边的中点，则（ ） A. 10 B. 12 C. 24 D. 30 10. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（ ） A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 10.5 12. 如图，已知是边长为5的等边三角形，点为边上一点，将沿折叠，使点落在平面上处，与边交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是______. 14. 如图、在边长为1的正方形网格中，点，，都在网格线上，且，垂足为点，则______． 15. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，在平行四边形中，已知，，则对角线长的最大整数值为______． 16. 综合实践课上，嘉淇用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形木框，此时测得，顶点与的距离为4．现固定木条，将木条绕点逆时针旋转得到正方形，如图2，则菱形的对角线交点在旋转过程中所移动的路径长为______（结果保留）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 18. （1）计算：； （2）有一道分式化简的题目是，其中整式看不清楚了，老师告诉同学们题目化简后的结果是，请求出整式． 19. 某市体育中考分必考项目和自选项目，其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，还需任选一项自选项目．某校组织了一次模拟演练，嘉嘉和淇淇各项体育测试成绩如表． 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 淇淇 95分 92分 93分 （1）若本次体育测试按自选项目占30%，长跑占50%，跳绳占20%计算体育综合成绩，通过计算比较嘉嘉和淇淇的体育综合成绩谁的更高； （2）假设嘉嘉和淇淇均随机选择自选项目，请补全树状图，并求出嘉嘉和淇淇自选项目不同的概率． 20. 如图为某游乐场电车轨道的一部分的图象，其中为线段．为反比例函数的一部分．已知图象上三点的坐标分别为，，． （1）求和的值； （2）求所在直线的解析式． 21. 正定夜市凭借其品类丰富以及壮观场景，成为了近年来备受追捧的网红打卡地．某团队利用无人机多角度拍摄了正定夜市的盛况，如图，无人机在夜市上空的同一高度自西向东匀速飞行．在处测得地面上处摊位的俯角为，向东飞行后到处，测得地面上处摊位的俯角为，无人机又经过刚好飞到处摊位的正上方的处，已知无人机的飞行速度是． （1）______°，______°． （2）求、两处摊位的地面距离（结果保留整数）． （参考数据：取0.60，取0.80，取0.75，取1.73） 22. 综合与实践 【情境】如图1，将菱形沿对角线剪开，得到和． 【操作】固定，将与叠放在一起，嘉嘉和淇淇设计了不同的叠放方式，按如下方式操作． 如图2，嘉嘉的叠放方式如下： 将的顶点固定在的边上的中点处，绕点在边上方旋转，设旋转时边交边于点（点不与点重合），交边于点（点不与点重合）． 如图3．淇淇的叠放方式如下： 的顶点在的边上滑动（点不与、点重合），点、的位置会随点的滑动而改变，且保持边始终经过点． …… 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）结合图2，嘉嘉写出了如下思考过程，其中①处应填______，②处应填______； 根据菱形的性质可知，， ， ① ， ， ② ． （2）在图3的基础上， ①尺规作图：过点作，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； ②淇淇说：“与相等．”你同意淇淇的说法吗？说明理由． 23. 如图．某同学利用电脑软件来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（，均为常数），通过输入不同的，的值，在电脑软件的展示区得到对应的抛物线．已知所得抛物线恰好经过和两点． （1）求与抛物线对应的、的值； （2）若把抛物线对应的、的值交换后，再次输入得到新的抛物线． ①求抛物线与轴交点的坐标； ②判断能否经过的顶点，说明理由； （3）作一直线：与抛物线交于点，，与抛物线交于点，，若，直接写出的值． 24. 如图1，是的直径，且，点是上异于，的任一点，且点始终位于直径的上方，连接，．过点作射线，点在直线上方，连接． （1）求证：； （2）连接，当时，如图1，求扇形的面积； （3）若在点运动过程中，始终保持，连接． ①当与相切时，如图2，求的长； ②直接写出长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省九年级结业教学质量检测试题 数学（B） 注意事项：1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，四个点，，，的位置如图所示，其中可能落在反比例函数图象上的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数的图象在二、四象限，故点在图象上． 【详解】解：对于反比例函数， ∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∴点在函数的图象上． 故选：B． 2. （新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意, 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选：C． 3. 手机记录了邯郸市某周的日最低气温，如下表． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 日最低气温 则这周的日最低气温（单位：）所组成的个数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，先将数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数即可，掌握中位数的定义是解题关键． 【详解】解：将这周的日最低气温数据从小到大排列为，，，，，，， ∵数据共有个（奇数个），中位数为第个数据， ∴这组数据的中位数是， 故选：． 4. 下列数中，能使等式成立的的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先将方程整理为一元二次方程一般形式，然后通过因式分解法求解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 或， 解得或， 选项中仅符合等式要求， 故选：． 5. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，结合，得出，又因为，得，再解得，即可作答． 【详解】解：∵，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 与的结果相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算题干中三角函数式的值，再分别计算各选项的三角函数值，即可求解． 【详解】解：，， A、，，故选项A符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C不符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：A． 7. 用若干个大小相同的正方体搭成一个几何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三视图的概念，需根据左视图和俯视图判断出原几何体． 根据左视图和俯视图可得该几何体可能出现的情况，即可解得． 【详解】解：如图，结合左视图、俯视图可知：该几何体可能的情况为： 或或 故选：D． 8. 一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（ ） A. 添加黄球个 B. 添加红球个 C. 添加红球个，黄球4个 D. 添加红球个，黄球个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，熟知摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数是解题的关键．要使摸到红球的概率为，需添加后袋子中红球总数等于黄球总数，据此验证各选项即可． 【详解】要使摸到红球的概率为，需满足添加后红球总数等于黄球总数 ∵原袋中有个红球，个黄球 ∴逐一验证选项： A、添加个黄球后，黄球数为，与红球数相等，符合要求，故不符合题意； B、添加个红球后，红球数为，黄球数为，，不符合要求，故符合题意； C、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意； D、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意． 故选：B． 9. 如图，正方形的两个顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象经过边的中点，则（ ） A. 10 B. 12 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，函数图象和性质，正方形的性质，中点坐标公式，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 根据正方形的性质和点的坐标，可得，，从而求出的中点坐标，再根据待定系数法，代入即可求解． 【详解】解：正方形的两个顶点坐标分别为，， ， ，， 的中点坐标为， 反比例函数的图象经过边的中点， ． 故选：C． 10. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，关键是熟练应用性质解题． 先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 故选：A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（ ） A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 10.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 12. 如图，已知是边长为5的等边三角形，点为边上一点，将沿折叠，使点落在平面上处，与边交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质以及相似三角形的判定与性质． 根据等边三角形和折叠的性质得到相关角度和边长，通过角度关系证明三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：是边长为5的等边三角形， ，， 由折叠可知，， ，，， ， ， ， ， ，， ， 设， 则， ，， ， ， 解得：． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的对称轴为直线进行求解即可． 【详解】解：由抛物线的对称轴为直线，可知：， ∴； 故答案为． 14. 如图、在边长为1的正方形网格中，点，，都在网格线上，且，垂足为点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，在平行四边形中，已知，，则对角线长的最大整数值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质以及三角形三边关系． 先根据根与系数的关系求出方程的两根之和与两根之积，得到，，，再根据平行四边形的性质，以及三角形三边关系解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，， ∴，， ∴，， 在平行四边形 中，对角线的长度满足，即 ． ∴长的最大整数值为10． 故答案为：10． 16. 综合实践课上，嘉淇用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形木框，此时测得，顶点与的距离为4．现固定木条，将木条绕点逆时针旋转得到正方形，如图2，则菱形的对角线交点在旋转过程中所移动的路径长为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线定理，旋转的性质，弧长公式，正确掌握相关知识是解题的关键． 连接，，交点为点，取的中点，连接，先根据菱形的性质，易得是等边三角形，从而求出，再根据中位线定理，可求，最后根据旋转的性质，可得旋转角为，即点绕点旋转，利用弧长公式，计算即可求解． 【详解】解：如图1，连接，，交点为点，取的中点，连接 由题可知，四边形为菱形，， ，， ， 是等边三角形， ， 是的中点，， ， 将木条绕点逆时针旋转得到正方形， ，即点绕点旋转， 则点在旋转过程中所移动的路径长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】（1） （2） 解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 18. （1）计算：； （2）有一道分式化简的题目是，其中整式看不清楚了，老师告诉同学们题目化简后的结果是，请求出整式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，分式运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先理解题意，进行列式，结合进行化简计算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）由题意， ， 依题意，得， 整式. 19. 某市体育中考分必考项目和自选项目，其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，还需任选一项自选项目．某校组织了一次模拟演练，嘉嘉和淇淇各项体育测试成绩如表． 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 淇淇 95分 92分 93分 （1）若本次体育测试按自选项目占30%，长跑占50%，跳绳占20%计算体育综合成绩，通过计算比较嘉嘉和淇淇的体育综合成绩谁的更高； （2）假设嘉嘉和淇淇均随机选择自选项目，请补全树状图，并求出嘉嘉和淇淇自选项目不同的概率． 【答案】（1）嘉嘉的体育综合成绩更高一些 （2） 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，利用树状图法求概率： （1）根据加权平均数的定义列式计算即可； （2）先补全树状图，列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：嘉嘉的体育综合成绩为（分）， 淇淇的体育综合成绩为（分）， ， 嘉嘉的体育综合成绩更高一些； 【小问2详解】 解：补全树状图如下， 共有9种等可能的结果，其中，嘉嘉和淇淇的自选项目不同的结果有6种， 所以，嘉嘉和淇淇自选项目不同的概率为． 20. 如图为某游乐场电车轨道的一部分的图象，其中为线段．为反比例函数的一部分．已知图象上三点的坐标分别为，，． （1）求和的值； （2）求所在直线的解析式． 【答案】（1）的值为16，的值为8 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，熟练掌握是解题关键． （1）根据待定系数法确定反比例函数解析式，然后将点C代入求解即可； （2）设所在直线的解析式为，利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点，， ，解得， 反比例函数的表达式为， 当时，， 的值为16，的值为8； 【小问2详解】 设所在直线的解析式为， 将，的坐标代入， 得，解得， 所在直线的解析式为． 21. 正定夜市凭借其品类丰富以及壮观场景，成为了近年来备受追捧的网红打卡地．某团队利用无人机多角度拍摄了正定夜市的盛况，如图，无人机在夜市上空的同一高度自西向东匀速飞行．在处测得地面上处摊位的俯角为，向东飞行后到处，测得地面上处摊位的俯角为，无人机又经过刚好飞到处摊位的正上方的处，已知无人机的飞行速度是． （1）______°，______°． （2）求、两处摊位的地面距离（结果保留整数）． （参考数据：取0.60，取0.80，取0.75，取1.73） 【答案】（1）37，60； （2）、两处摊位的地面距离为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据俯角的定义可得答案； （2）由题意得到，，过点作，垂足为点，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：，； 故答案为：37；60； 【小问2详解】 解：由题意，，，， 过点作，垂足为点，如图， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 、两处摊位的地面距离为. 22. 综合与实践 【情境】如图1，将菱形沿对角线剪开，得到和． 【操作】固定，将与叠放在一起，嘉嘉和淇淇设计了不同的叠放方式，按如下方式操作． 如图2，嘉嘉的叠放方式如下： 将的顶点固定在的边上的中点处，绕点在边上方旋转，设旋转时边交边于点（点不与点重合），交边于点（点不与点重合）． 如图3．淇淇的叠放方式如下： 的顶点在的边上滑动（点不与、点重合），点、的位置会随点的滑动而改变，且保持边始终经过点． …… 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）结合图2，嘉嘉写出了如下思考过程，其中①处应填______，②处应填______； 根据菱形的性质可知，， ， ① ， ， ② ． （2）在图3的基础上， ①尺规作图：过点作，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； ②淇淇说：“与相等．”你同意淇淇的说法吗？说明理由． 【答案】（1）（表示方法不唯一），； （2） 解：①尺规作图如下， ②我同意淇淇的说法， 理由：根据菱形的性质可知，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，得，进而得出结果； （2）①按作一个角等于已知角作图；②可推出，，可得，即得． 【小问1详解】 解：根据菱形的性质可知，， ，， ，．） 故答案为：（表示方法不唯一），； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形旋转，熟练掌握旋转的性质，菱形性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 23. 如图．某同学利用电脑软件来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（，均为常数），通过输入不同的，的值，在电脑软件的展示区得到对应的抛物线．已知所得抛物线恰好经过和两点． （1）求与抛物线对应的、的值； （2）若把抛物线对应的、的值交换后，再次输入得到新的抛物线． ①求抛物线与轴交点的坐标； ②判断能否经过的顶点，说明理由； （3）作一直线：与抛物线交于点，，与抛物线交于点，，若，直接写出的值． 【答案】（1）的值为，的值为0 （2）①，； ②抛物线经过的顶点，理由如下， ， 的顶点坐标为， 当时，， 则抛物线经过的顶点； （3） 【解析】 【分析】（1）将和代入解析式，列出方程组，求解即可； （2）根据题意求出抛物线的解析式，①令，代入求的值即可；②先求抛物线的顶点坐标，把顶点的横坐标代入的解析式，判断纵坐标是否相等即可； （3）根据题意，结合图象可得，分别把代入抛物线和抛物线的解析式，计算出交点的横坐标，从而得到，，再根据，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过和， ，解得， 则与抛物线对应的的值为，的值为； 【小问2详解】 ，， ：， 抛物线是由抛物线对应的、的值交换所得， ：， ①当时，，解得，， 则抛物线与轴交点的坐标为，； ②略 【小问3详解】 的值为， 理由如下：直线：与抛物线和抛物线均有两个交点，的顶点坐标为， 由图可得，， 当时，，解得，则， 当时，，解得，则， ，即， ，即， 左右平方，整理得，， 解得， 则的值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求顶点坐标，解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图1，是的直径，且，点是上异于，的任一点，且点始终位于直径的上方，连接，．过点作射线，点在直线上方，连接． （1）求证：； （2）连接，当时，如图1，求扇形的面积； （3）若在点运动过程中，始终保持，连接． ①当与相切时，如图2，求的长； ②直接写出长的最大值． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵过点作射线， ∴， ∴， ∴； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质，扇形面积公式，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）先结合是的直径，得出，又因为，得出，即； （2）先根据是的直径，且，，证明是等边三角形，得出，最后运用扇形面积公式列式计算，即可作答． （3）①根据题意得到，连接，由三角函数的应用求出，，再根据勾股定理进行计算即可； ②过点作射线，作射线满足，射线与交于点，连接，证明，根据相似三角形的性质得到，再由不等式得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径，且， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 则扇形的面积． 【小问3详解】 解：①∵，， ∴在中， 则， 连接， 与相切， ， ， 是的直径， ∴， ， ， ， 在中， ∴， 在中， ∴， 故在中，； ②过点作射线，作射线满足，射线与交于点，连接， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即， 在中， ， ， ， ， ． ∴长的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $