专题05不等式与不等式组(1)（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

.专题05不等式与不等式组(1) 【题型01 不等式的定义】..........................................3 【题型02 不等式的解集】..........................................3 【题型03 不等式的性质】..........................................4 【题型04 一元一次不等式的定义】..................................4 【题型05 求一元一次不等式的解集】................................4 【题型06 在数轴上表示不等式的解集】..............................5 【题型07 求一元一次不等式的整数解】..............................5 【题型08 求一元一次不等式解的最值】..............................5 【题型09 解｜x｜】....................................6 【题型10 列一元一次不等式】......................................6 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】..........................7 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】..........................7 【题型13 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】....................8 【题型14 根据两条直线的交点求不等式的解集】......................9 【题型15 解答题5题】...........................................11 ★知识梳理★ 知识点01:不等式及其性质（核心知识点） 1. 基本概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 解集：一个不等式所有解的集合。 解不等式：求不等式解集的过程。 2. 不等式的三条基本性质（必考） 性质 1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。a>b⇒a±c>b±c 性质 2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。a>b, c>0⇒ac>bc, ​ 性质 3（最易错）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。a>b, c<0⇒ac<bc, ​ 口诀：加减不变，乘正不变，乘负必变号 知识点02:一元一次不等式（核心知识点） 1. 定义 只含一个未知数，未知数次数是1，两边都是整式的不等式。形如：ax+b>0(a0) 2. 解一元一次不等式的一般步骤（共 5 步） (1).去分母：注意负数要变号 (2)去括号：注意符号与分配律 (3)移项：移项要变号 (4)合并同类项 (5)系数化为 1：除以负数必须变号 3. 解集在数轴上表示（必考） ＞、＜：空心圆圈，不包含端点. ≥、≤：实心圆点，包含端点. 方向：大于向右，小于向左 知识点03:高频易错点 1.两边乘除负数不变号 2.去分母时漏乘常数项 3.数轴上空心 / 实心画错 4.移项不变号 5.把 “解” 和 “解集” 混淆 【题型1.不等式的定义】 【典例】用适当的式子表示与的和是负数： ． 【跟踪专练1】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为 ． 【跟踪专练3】某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（  ） A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33 【题型2.不等式的解集】 【典例】写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【跟踪专练1】在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为 ． （2）当为实数时，的取值范围为 ． 【跟踪专练3】已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 【题型3.不等式的性质】 【典例】已知，则 (填“”“”或“”) 【跟踪专练1】已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若不等式成立，则满足的条件是 ． 【跟踪专练3】如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【跟踪专练1】下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于的一元一次不等式，则 ． 【跟踪专练3】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【题型5.求一元一次不等式的解集】 【典例】不等式的解集是 ． .【跟踪专练1】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【跟踪专练3】定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6.在数轴上表示不等式的解集】 【典例】如图所示是一个关于的一元一次不等式的解集，则该解集是 ． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【跟踪专练3】若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型7.求一元一次不等式的整数解】 【典例】写出符合不等式的一个整数解： ． 【跟踪专练1】不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【跟踪专练2】对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是 ． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【跟踪专练1】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【跟踪专练2】当 时，有最小值，最小值是 ； 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型9.解｜x｜】 【典例】不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【跟踪专练1】若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【跟踪专练2】有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【跟踪专练3】如果｜x｜＞3，那么x的范围是 【题型10.列一元一次不等式】 【典例】根据数量关系列不等式：的倍小于 ． 【跟踪专练1】学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2025年4月24日是我国第十个中国航天日，主题为“海上生明月，九天揽星河”．某校举办航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错或不答扣2分，小亮参加了本次竞赛且成绩不低于75分，那么小亮至少答对几道题？若设小亮答对道题，则可列不等式为 ． 【跟踪专练3】一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式（  ） A． B． C． D． 【题型11.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少 岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【跟踪专练1】小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元的价格进行计费．现乙复印社表示，若学校先付200元的包月费，则可按每100页15元的价格进行计费．设学校需复印页，则当 时，乙复印社的收费更少． 【跟踪专练3.】九年级几名同学拍了一张合影．已知冲一张底片需要20元，洗一张相片需要5元．在每名同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过6元，那么参加合影的同学人数（   ） A．至少为20 B．至多为20 C．至少为19 D．至多为19 【题型12.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【跟踪专练2】等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 ． 【题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【典例】一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【跟踪专练1】如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集】 【典例】如图，直线和相交于点，则不等式的解集为 ． 【跟踪专练1】已知，，要使，那么应满足（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为 ． 【跟踪专练3】如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 解答题 1．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 2．某社区为绿化环境，大力开展社区绿化建设，购买了甲、乙两种树苗，其中甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元． (1)如果购买400株这种树苗一共用了29400元，那么甲、乙两种树苗各购买了多少株？ (2)如果社区准备再次购买这两种树苗，不仅要使甲种树苗的数量是乙种树苗数量的二倍，而且要使所需费用不多于14700元，那么甲种树苗最多买多少株？ 3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 4．若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 5．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05不等式与不等式组(1) 【题型01 不等式的定义】..........................................3 【题型02 不等式的解集】..........................................4 【题型03 不等式的性质】..........................................6 【题型04 一元一次不等式的定义】..................................8 【题型05 求一元一次不等式的解集】................................9 【题型06 在数轴上表示不等式的解集】.............................11 【题型07 求一元一次不等式的整数解】.............................12 【题型08 求一元一次不等式解的最值】.............................14 【题型09 解｜x｜】...................................16 【题型10 列一元一次不等式】.....................................18 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】.........................20 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】.........................22 【题型13 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】...................24 【题型14 根据两条直线的交点求不等式的解集】.....................27 【题型15 解答题5题】...........................................29 ★知识梳理★ 知识点01:不等式及其性质（核心知识点） 1. 基本概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 解集：一个不等式所有解的集合。 解不等式：求不等式解集的过程。 2. 不等式的三条基本性质（必考） 性质 1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。a>b⇒a±c>b±c 性质 2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。a>b, c>0⇒ac>bc, ​ 性质 3（最易错）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。a>b, c<0⇒ac<bc, ​ 口诀：加减不变，乘正不变，乘负必变号 知识点02:一元一次不等式（核心知识点） 1. 定义 只含一个未知数，未知数次数是1，两边都是整式的不等式。形如：ax+b>0(a0) 2. 解一元一次不等式的一般步骤（共 5 步） (1).去分母：注意负数要变号 (2)去括号：注意符号与分配律 (3)移项：移项要变号 (4)合并同类项 (5)系数化为 1：除以负数必须变号 3. 解集在数轴上表示（必考） ＞、＜：空心圆圈，不包含端点. ≥、≤：实心圆点，包含端点. 方向：大于向右，小于向左 知识点03:高频易错点 1.两边乘除负数不变号 2.去分母时漏乘常数项 3.数轴上空心 / 实心画错 4.移项不变号 5.把 “解” 和 “解集” 混淆 【题型1.不等式的定义】 【典例】用适当的式子表示与的和是负数： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可． 【详解】a与b的和是负数，即它们的和小于零， 所以表示为． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共个； 故选：C． 【跟踪专练2】假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 【详解】解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 【跟踪专练3】某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（  ） A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33 【答案】D 【分析】已知某市最高气温和最低气温，可知该市的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温． 【详解】由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间， ∴该市气温t（℃）的变化范围是：24≤t≤33； 故选：D． 【点睛】本题的关键在于准确理解题意，理解到当天的气温的变化范围应在最低气温和最低气温之间． 【题型2.不等式的解集】 【典例】写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知中一元一次不等式的解集，写出符合的一元一次不等式即可． 【详解】解：写出一个解集为的一元一次不等式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集的定义，根据给出的解集写出正确的一元一次不等式是解题关键． 【跟踪专练1】在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的运算方法是解题的关键． 根据玩家位置范围和危险区域范围，得出是否有共同的解集，判断即可． 【详解】解：A． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域； B． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； C． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； D． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； 故选：A． 【跟踪专练2】已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为 ． （2）当为实数时，的取值范围为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键． 先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 解得，， ∴当时，，此时点P为，， 当时，，此时点P为，，， ， 综上所述，点P的个数是6个， 故选：B ． 【题型3.不等式的性质】 【典例】已知，则 (填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；据此解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．根据不等式的性质，时，加减相同数不等号方向不变，乘除正数不等号方向不变，乘除负数不等号方向改变． 【详解】解：∵， ∴ 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：∵，乘以负数，不等号方向改变，∴，故C错误； 对于D：∵，除以正数2，不等号方向不变，∴，故D正确， 故选：D． 【跟踪专练2】若不等式成立，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】先对原不等式进行化简变形，通过移项合并同类项，得到关于的系数，再根据系数的正负性来确定的取值范围． 【详解】解：原不等式进行移项：， 提取公因式并化简： ， 两边同时除以： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和代数式化简．解题关键是通过化简消去含参数的项，再利用不等式两边同乘（或同除）负数时不等号方向改变的性质，确定的取值． 【跟踪专练3】如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是根据已知条件判断乘数的符号，再依据“乘除负数，不等号方向改变”的性质进行推导． 先根据已知条件推导出，即是负数，再结合，利用不等式的性质，两边同时乘以负数时不等号方向改变，从而判断各选项是否成立． 【详解】解：已知，，则． A、取，，，则，不成立，不符合题意； B、取，，，则，，，不成立，不符合题意； C、由，，两边同乘得，再减得，不成立，不符合题意； D、因为，，两边同乘负数，不等号方向改变，故，成立，符合题意； 故选：D． 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ． 故答案为：1． 【跟踪专练1】下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 【跟踪专练2】若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，绝对值，根据一元一次不等式的定义可得且，求解即可，正确把握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 【题型5.求一元一次不等式的解集】 【典例】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法并正确计算是解题的关键． 按解一元一次不等式的步骤移项、合并同类项和系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 故答案为：． .【跟踪专练1】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：B． 【跟踪专练2】关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向要改变的性质是解题的关键． 通过解不等式求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：解不等式 ， 两边同乘以得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 由解集为 ，得 ， 解得 ． 代入 得 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 【题型6.在数轴上表示不等式的解集】 【典例】如图所示是一个关于的一元一次不等式的解集，则该解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴表示一元一次不等式的解集，熟知数轴的相关知识是解决本题的关键． 根据数轴的表示规则，由数轴上的实心点以及折线方向求解即可． 【详解】解：根据数轴表示可知，不等式的解集为． 故答案为： ． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，求出不等式的解集并表示在数轴上即可得到答案． 【详解】解： 那么在数轴上表示为： 故选：A． 【跟踪专练2】在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】-5 【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可． 【详解】解： 2x-k≥3 x≥ ∵x≥-1 ∴=-1，解得k=-5． 故填-5． 【点睛】本题考查了在教轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空心”和“实心”是解答本题的关键． 【跟踪专练3】若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示不等式组的解集． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法，选择符合题意的选项即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为 故选：B ． 【题型7.求一元一次不等式的整数解】 【典例】写出符合不等式的一个整数解： ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，根据解一元一次不等式的方法求解即可． 【详解】解：， 解得：， 所以不等式的一个整数解可以是， 故答案为：2（答案不唯一）． 【跟踪专练1】不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 首先解不等式，然后确定不等式的正整数解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴正整数解有， 故正整数解有个， 故选：B． 【跟踪专练2】对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是 ． 【答案】1和2 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，掌握将新定义运算转化为整式，再解一元一次不等式，最后确定正整数解是解题的关键． 根据新运算定义，将不等式转化为一元一次不等式并求解，再确定正整数解． 【详解】解：由定义，， 因此． 不等式为， 移项得， 解得． 所以不等式的正整数解为和． 故答案为：和． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式是解题的关键． 去括号，移项，合并同类项，解不等式可得：，从而可得的最大整数解，从而可得答案． 【详解】解： 为整数， 可取的最大整数为 故选：C． 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 【跟踪专练1】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【跟踪专练2】当 时，有最小值，最小值是 ； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 【点睛】本题考查了绝对值相关最值的求解，涉及不等式运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用分类讨论的数学思想解答． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 【题型9.解｜x｜】 【典例】不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 【跟踪专练1】若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【详解】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 【跟踪专练2】有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 【跟踪专练3】如果｜x｜＞3，那么x的范围是 【答案】或 【分析】首先算出|x|=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ． 【详解】解：由绝对值的意义可得： x=3或x=-3时，|x|=3， ∴根据“大于取两边”即可得到｜x｜＞3的解集为：x>3或 x<−3（如图）， 故答案为：x>3或 x<−3．　　 【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键． 【题型10.列一元一次不等式】 【典例】根据数量关系列不等式：的倍小于 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是列一元一次不等式，解题关键是正确理解题意． 根据题意，表示出的倍，即可求解． 【详解】解：“的倍小于”，可表示为． 故答案为：． 【跟踪专练1】学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 【跟踪专练2】2025年4月24日是我国第十个中国航天日，主题为“海上生明月，九天揽星河”．某校举办航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错或不答扣2分，小亮参加了本次竞赛且成绩不低于75分，那么小亮至少答对几道题？若设小亮答对道题，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设小亮答对道题，则小亮得分、小亮答错或不答题的得分为．再结合本次竞赛且成绩不低于75分进行列式即可解答． 【详解】解：设小亮答对道题，则小亮得分、小亮答错或不答题的得分为， 由题意可得：． 故答案是：． 【跟踪专练3】一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式．设车速是，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：分钟小时， 设车速是，根据题意可列不等式． 故选：A． 【题型11.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少 岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【答案】17 【分析】本题考查列不等式的应用．设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】解：设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的， 根据题意，得 ， 解得， 答：小海至少17岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 故答案为：17． 【跟踪专练1】小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握不超过对应不等号≤，以及正确计算两种物品的总花费是解题的关键． 根据题意，小唯已买个水杯，每个元，花费元；还可以买个小风扇，每个元，花费元，总花费不超过班费元，故用小于等于号． 【详解】解：∵总花费为水杯花费加小风扇花费，即， 且总花费不超过元， ∴不等式为. 故选：D． 【跟踪专练2】学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元的价格进行计费．现乙复印社表示，若学校先付200元的包月费，则可按每100页15元的价格进行计费．设学校需复印页，则当 时，乙复印社的收费更少． 【答案】 【分析】先根据两家复印社的计费方式，分别写出费用的表达式，再根据“乙复印社收费更少”列出不等式，最后解不等式求出的取值范围． 【详解】解：甲复印社收费为 元， 乙复印社收费为 元． 要使乙复印社收费更少，即： 移项得： 两边同时除以： ． 因此，当时，乙复印社的收费更少． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是根据题意建立费用表达式，并通过不等式求解数量的取值范围． 【跟踪专练3.】九年级几名同学拍了一张合影．已知冲一张底片需要20元，洗一张相片需要5元．在每名同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过6元，那么参加合影的同学人数（   ） A．至少为20 B．至多为20 C．至少为19 D．至多为19 【答案】A 【分析】设同学人数为，根据总费用和平均分摊费用不超过6元，建立不等式求解． 【详解】解：设参加合影的同学人数为， ∵ 总费用为元，平均每人分摊费用为元， ∵ 平均每人分摊费用不超过6元， ∴ ， 化简得， ∴ ， ∴ ， 故参加合影的同学人数至少为20人． 故选：A． 【点睛】本题考查的是不等式的运用，解此类题目时常常是先设出未知数，再根据题意列出不等式、求解． 【题型12.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，进而结合选项求得第三边的值． 【详解】三角形的两边长分别为3和5，第三边m 故选B 【点睛】本题考查了根据三角形三边关系确定第三边的范围，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得，结合三角形三边数量关系得，转化为不等式，求正整数解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 根据题意，得， 由三角形三边数量关系得， 故， 故， 解得，又y是整数， 故， 又， 故， 故或， 都满足三角形三边关系定理， 故有2个等腰三角形． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 ． 【答案】0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线定义求得∠DAC，再由三角形内角和定理求得∠ADC，进而分两种情况：∠ADE是钝角；∠AED是钝角．进行解答便可求得结果． 【详解】解：∵∠B＝50°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝95°， 当∠ADE是钝角时，90°＜∠ADE＜95°， 当∠AED是钝角时， ∴∠AED＞90°， ∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣∠ADE＝135°﹣∠ADE， ∴135°﹣∠ADE＞90°， ∴0°＜∠ADE＜45°， 综上，0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 故答案为：0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线定义，钝角三角形的定义，一元一次不等式的应用，关键分类进行讨论． 【题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【典例】一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，能直接利用数形结合求解是解题的关键． 直接根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 【跟踪专练2】若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．由图象可知，经过点，然后求出，再代入得，最后解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，，经过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，一次函数的图象在直线的上方，即， 所以不等式的解集为． 故选：A． 【题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集】 【典例】如图，直线和相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，主要考查学生观察图形的能力和理解能力，利用数形结合是解题的关键．根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案． 【详解】解：直线和相交于点， 不等式的解集为， 故答案为： 【跟踪专练1】已知，，要使，那么应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，一元一次不等式的解法，掌握将函数不等式转化为一元一次不等式求解是解题的关键． 通过解不等式 直接求解的范围． 【详解】解：∵， ∴， 移项得：， 即， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 解答题 1．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查不等式的基本性质： （1）根据和即可求得答案； （2）根据，可变形得到，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 2．某社区为绿化环境，大力开展社区绿化建设，购买了甲、乙两种树苗，其中甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元． (1)如果购买400株这种树苗一共用了29400元，那么甲、乙两种树苗各购买了多少株？ (2)如果社区准备再次购买这两种树苗，不仅要使甲种树苗的数量是乙种树苗数量的二倍，而且要使所需费用不多于14700元，那么甲种树苗最多买多少株？ 【答案】(1)甲种树苗购买了220株，乙种树苗购买了180株 (2)甲种树苗最多买140株 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设甲种树苗购买了x株，乙种树苗购买了y株，根据购买400株这种树苗一共用了29400元建立方程组求解即可； （2）设乙种树苗购买m株，则甲种树苗购买株，根据所需费用不多于14700元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种树苗购买了x株，乙种树苗购买了y株， 由题意得，， 解得， 答：甲种树苗购买了220株，乙种树苗购买了180株； （2）解：设乙种树苗购买m株，则甲种树苗购买株， 由题意得，， 解得， ∴的最大值为140， 答：甲种树苗最多买140株． 3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了知识点一元一次不等式的解法及解集的数轴表示，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，并注意系数化为时不等号方向的变化． （1）先通过去括号、移项、合并同类项、系数化为来解一元一次不等式，最后在数轴上表示解集； （2）先去分母，再按解一元一次不等式的步骤求解，最后在数轴上表示解集． 【详解】（1）解： ． 解集在数轴上表示如图． （2）解： ． 解集在数轴上表示如图． 4．若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方程得到关于的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合是非正整数，求出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， 所有符合条件的非正整数为：，，，，， 所有符合条件的非正整数的和为：． 5．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $