专题04线段的垂直平分线与角平分线（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题04线段的垂直平分线与角平分线 【题型01 线段垂直平分线的性质】..................................3 【题型02 线段垂直平分线的判定】..................................4 【题型03 作垂线】................................................5 【题型04 角平分线的性质定理】....................................6 【题型05 角平分线的判定定理】....................................7 【题型06 角平分线的实际应用】....................................8 【解答题5题】....................................................9 ★知识梳理★ 知识点01:线段的垂直平分线（核心知识点） 1. 定义 垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理 几何语言：∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 3. 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点02:角平分线（核心知识点） 1. 定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理 几何语言：∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 3. 判定定理（逆定理） 几何语言：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点03:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 【题型1.线段垂直平分线的性质】 【典例】如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为 ．    【跟踪专练1】下列选项中，根据作图痕迹可以得到的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，的垂直平分线交于点P，交的平分线于点D，连接并延长，交边于点E（点E与点A不重合）．若是等腰三角形，则的度数为 ．    【跟踪专练3】如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【题型2.线段垂直平分线的判定】 【典例】如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 【跟踪专练1】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【跟踪专练2】如图，，，，相交于点，若，则 ． 【跟踪专练3】如图，，点在上．下列说法正确的个数是（   ） ①；②；③；④点在的中垂线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3.作垂线】 【典例】如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 【跟踪专练1】观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 【跟踪专练2】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为 ． 【跟踪专练3】在△ABC中，，，，尺规作图方式如图所示，（　　） A． B． C． D． 【题型4.角平分线的性质定理】 【典例】如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【跟踪专练2】如图，在中，，的平分线相交于点，连接并延长交于点，过点作于点．若，，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型5.角平分线的判定定理】 【典例】如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．    【跟踪专练1】如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（    ） A．的角平分线与的垂直平分线的交点 B．的角平分线与的垂直平分线的交点 C．的角平分线与的垂直平分线的交点 D．的角平分线与的垂直平分线的交点 【跟踪专练2】如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【跟踪专练3】如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型6.角平分线性质的实际应用】 【典例】如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【跟踪专练1】某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【跟踪专练2】如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是 ． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，若CD＝5，则CE等于（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 解答题 1．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 2．如图，在中，，是内一点，且．求证：平分． 3．如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 4．如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，求点到的距离． 5．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04线段的垂直平分线与角平分线 【题型01 线段垂直平分线的性质】..................................3 【题型02 线段垂直平分线的判定】..................................6 【题型03 作垂线】................................................9 【题型04 角平分线的性质定理】....................................11 【题型05 角平分线的判定定理】....................................14 【题型06 角平分线的实际应用】....................................17 【解答题5题】....................................................20 ★知识梳理★ 知识点01:线段的垂直平分线（核心知识点） 1. 定义 垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 3. 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点02:角平分线（核心知识点） 1. 定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理 角平分线上的点，到角两边的距离相等。 几何语言：∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 3. 判定定理（逆定理） 在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点03:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 【题型1.线段垂直平分线的性质】 【典例】如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质；由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：垂直平分， 根据线段垂直平分线的性质可得，， 又的周长， 的周长． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列选项中，根据作图痕迹可以得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线，熟练掌握作图技巧是解决问题的关键． 根据各选项作图痕迹注意判断即可． 【详解】解：A、由作图痕迹可知，不符合题意； B、作的是的垂直平分线，得不到，不符合题意； C、作的是的垂直平分线，得不到，不符合题意； D、作的是的垂直平分线，可以得到，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，的垂直平分线交于点P，交的平分线于点D，连接并延长，交边于点E（点E与点A不重合）．若是等腰三角形，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设， ∵是的平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴，　 ∴ 连接，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵是的平分线， ∴， ∴且 ∵是等腰三角形， ∴有两种情况： ①，此时， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②，此时， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，正确利用勾股定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，令，则，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：直线为的垂直平分线， ， 令，则， 在中，， ， 解得，， ． 故选：C． 【题型2.线段垂直平分线的判定】 【典例】如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 【跟踪专练2】如图，，，，相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由，，则垂直平分，所以，从而可得，然后通过直角三角形的性质即可求解，熟练掌握以上性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，点在上．下列说法正确的个数是（   ） ①；②；③；④点在的中垂线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形“等边对等角”及“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”是解题的关键． 先根据等腰三角形“等边对等角”的性质判断是否成立；再依据等腰三角形“三线合一”的性质，判断点是否在的中垂线上；最后分析点为上任意一点时，与是否一定成立，从而统计正确说法的个数． 【详解】解：， ， 正确； ， 点在的中垂线上， 正确； 点为上任意一点，不一定是中点， ， 错误； 不一定成立， 错误； 正确的说法有，共个， 故选：． 【题型3.作垂线】 【典例】如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 【答案】分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径所画两弧 【分析】本题主要考查了尺规图作过直线上一点作已知直线的垂线，根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可，熟练掌握过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法是解决此题的关键． 【详解】过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下： ①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，； ②分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C、P作直线，则直线为所求作的直线； 故答案为：分别以A、B为圆心，以大于长为半径所画两弧． 【跟踪专练1】观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 【答案】C 【分析】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键． 根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 【详解】由作图痕迹可知，该作法为过直线外一点作已知直线的垂线． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 【跟踪专练3】在△ABC中，，，，尺规作图方式如图所示，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握这些内容是解题的关键． 由、推出，所以可求出、的长，由推出是等腰直角三角形，所以可得．问题可解． 【详解】解：由尺规作图可知：， ， ， ∵ ， ，． ， ， 是等腰直角三角形， ． ． 故选：D． 【题型4.角平分线的性质定理】 【典例】如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据题意可得，由角平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 平分，，， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据垂线段最短，得的最小值即为到的距离，再结合角平分线上的点到角的两边距离相等，得到的距离到的距离，又因为，的面积为5，故到的距离，即可作答． 【详解】解：∵E是上一动点， ∴的最小值即为到的距离， ∵平分交于点D， ∴到的距离到的距离， ∵，的面积为5， ∴到的距离 ∴到的距离， 即的最小值为2， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，的平分线相交于点，连接并延长交于点，过点作于点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内心的性质，含角的直角三角形的性质，掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先过点作的垂线，利用角平分线性质得垂线段相等，再由三角形内心性质得平分，求出的度数，最后在直角三角形中用 的性质求的长． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分，，， ． 又平分， ∴点O为三角形内心， 平分， ， 在中，． 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过作垂线构造全等三角形，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵是的外角平分线，且，， ∴． 设，则． 在和中，，，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． 故点到直线的距离为； 故选：B． 【题型5.角平分线的判定定理】 【典例】如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】∵于点，于点，， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（    ） A．的角平分线与的垂直平分线的交点 B．的角平分线与的垂直平分线的交点 C．的角平分线与的垂直平分线的交点 D．的角平分线与的垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线判定、垂直平分线的判定等知识，熟记角平分线判定、垂直平分线的判定是解决问题的关键． 根据题中条件，由角平分线判定、垂直平分线的判定即可得到答案． 【详解】解：点到边、的距离相等，如图所示： 即，，且， 是的角平分线， ，如图所示： 点在边的垂直平分线上， 则点是的角平分线与的垂直平分线的交点， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的知识点是角平分线的判定定理和定义，三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 先由点在内部，且到三边的距离相等得出点是的内心，再由三角形的内角和定理可得和的度数和，再三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：点在内部且到三边的距离相等， 点是的内心， 即、分别是和的角平分线， 设，，则，， 在中，， ， ， 在中，， 即， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，根据角平分线判定定理即可推出①，根据即可推出②，根据等腰三角形性质推出，推出，根据平行线判定推出③即可；无法证明故④错误． 【详解】解：∵， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在和中，缺少全等条件，故④错误， 故选：B． 【题型6.角平分线性质的实际应用】 【典例】如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【跟踪专练1】某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是 ． 【答案】 【分析】将三角形面积转化为三个小三角形的面积和求解即可． 【详解】解：如图，过O点分别向和作垂线，垂足分别为E和F，连接， ∵、分别平分和，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和求三角形的面积，解题关键是得到O点到三边的距离相等． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，若CD＝5，则CE等于（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】由AB=AC，∠A=36°，可求∠ABC=∠ACB=72°，由BD、CE分别平分∠ABC，∠ACB，可求∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=36°，由外角性质∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∠CED=∠BCE+∠EBC=72°，可得∠CED=∠CDE即可． 【详解】∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BD、CE分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=36°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°， ∴∠CED=∠BCE+∠EBC=72°， ∴∠CED=∠CDE， ∴CE=CD=5． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形性质与判定，角平分线定义，三角形外角性质，掌握等腰三角形性质与判定，角平分线定义，三角形外角性质是解题关键． 解答题 1．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解． （1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ∴点B、点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，，是内一点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，解题的关键是掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理． 到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由此即可证明直线是线段的垂直平分线，即直线，再根据等腰三角形三线合一即可得到结论． 【详解】证明：， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 两点确定一条直线， 直线是线段的垂直平分线，即直线， 平分． 3．如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作直线， 则直线即为所求的直线． （2）解：如图2，连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 4．如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质的内容是解题的关键； （1）过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，根据角平分线的性质得到线段相等，再根据线段相等得到角平分线； （2）利用第一问的结论得到角度，得出三角形的形状为等腰直角三角形推导出边相等，利用勾股定理得到点到的距离． 【详解】（1）解：证明：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，． 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又，， 平分． （2）解：由（1）可知，平分， ， 为等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， ， ， ∴点到的距离为． 5．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $