专题03直角三角形（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题03直角三角形 【题型01 直角三角形的两个锐角互余】..............................4 【题型02 锐角互余的三角形式直角三角形】..........................6 【题型03 写出命题的逆命题】.....................................10 【题型04 判定是否为互逆命题】...................................11 【题型05 定理与证明】...........................................12 【题型06 互逆定理】.............................................13 【解答题4题】...................................................15 ★知识梳理★ 知识点01:直角三角形的定义 有一个内角是90°（直角）的三角形叫做直角三角形，记作Rt△。 知识点02:核心性质（必考） 1. 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°）。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A+∠B=90°。 2. 边的性质（勾股定理） 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ a²+b²=c²（a、b 为直角边，c 为斜边）。 3. 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 的中线 ⇒ CD=AB。 4. 30° 角特殊性质 在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 逆用：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为 30°。 5. 面积与斜边上的高 面积：S=AC=ABCD（CD为斜边上的高），即AC=ABCD。 知识点03:核心判定（必考） 1. 角判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形。符号语言：在△ABC 中，∠A+∠B=90° ⇒ ∠C=90°，△ABC 为 Rt△。 2. 边判定（勾股定理逆定理） 若三角形三边长 a、b、c 满足a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形，c 所对的角为直角。 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:直角三角形全等的特殊判定（HL 定理） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简记：HL）。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注：一般三角形的SSS、SAS、ASA、AAS同样适用于直角三角形。 知识点05:互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题 两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。 例：原命题 “直角三角形两锐角互余”，逆命题 “两锐角互余的三角形是直角三角形”。 2. 互逆定理 若一个定理的逆命题是真命题，则它也是一个定理，这两个定理互为逆定理。 例：勾股定理与勾股定理逆定理是一对互逆定理。 知识点06:常见考点与易错点 1.勾股定理仅适用于直角三角形，使用时需先确认直角位置。 2.HL 是直角三角形独有的全等判定，一般三角形不能用。 3.互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题。 4.斜边中线性质、30° 角性质的前提均为直角三角形。 【题型1.直角三角形的两个锐角互余】 【典例】在中，，，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余．在直角三角形中，已知，则与互余，再根据角度比例关系求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力方向的夹角的度数为，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质是解题关键． 利用摩擦力与斜面平行的性质，结合对顶角相等和，求出直角三角形中的一个锐角，再通过直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：如图，斜坡为，重力与斜坡交于点，与地面交于点，箱子中心为， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【跟踪专练2】如图，，点，的对应点分别为，，过点作于点．若，则的度数为 ． 【答案】35° 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 利用全等三角形对应角相等的性质，推导出与相等，再在直角三角形中，通过，直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：， ， ， 即． ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，，，垂足分别为点E，F，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据垂直得出直角，利用证明，得出相等的角，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型2.锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例】在中，若，则 ；若，则 ，此时是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴在中，若，则， ∵在中，， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：；；直角． 【跟踪专练1】在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】解：A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 【题型3.写出命题的逆命题】 【典例】命题“如果，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么 【分析】本题主要考查逆命题，熟练掌握逆命题是解题的关键；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么； 故答案为如果，那么． 【跟踪专练1】命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查写出命题的逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，据此即可得出答案． 【详解】解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”． 故选：D 【跟踪专练2】“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 ． 【答案】如果ab＞0，那么a＞0，b＞0 【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可． 【详解】解：“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题为“如果ab＞0，那么a＞0，b＞0”． 故答案为如果ab＞0，那么a＞0，b＞0． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【跟踪专练3】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理的定义，掌握判断定理是否有逆定理的方法是解题的关键． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆命题为假的定理没有逆定理． 【详解】解：∵A的逆命题内错角相等，两直线平行为真命题， ∴A有逆定理，不符合题意； ∵B的逆命题对应边相等的三角形全等为真命题， ∴B有逆定理，不符合题意； ∵C的逆命题相等的角是对顶角为假命题， ∴C没有逆定理，符合题意； ∵D的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形为真命题， ∴ D有逆定理，不符合题意． 故选：C． 【题型4.判断是否为互逆命题】 【典例】题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 【跟踪专练1】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【跟踪专练2】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【跟踪专练3】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【题型5.定理与证明】 【典例】“直角三角形的两个锐角互余”是 ．（填“公理”或“定理”） 【答案】定理 【分析】本题主要考查了公理和定理的判定，根据公理和定理的定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌握公理：人类理性认知中不证自明的基本事实（如“两点确定一条直线”），经过长期实践检验被普遍接受，构成数学体系的逻辑起点；定理：通过严格逻辑证明从公理、定义或其他定理推导出的真命题，其真实性依赖于演绎推理过程． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理． 故答案为：定理． 【跟踪专练1】下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意； B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意； C、直角都相等，不是定义，不符合题意； D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 【跟踪专练3】下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【题型6.互逆定理】 【典例】一个定理有逆定理的条件是这个定理的 是真命题． 【答案】 逆命题 【分析】本题考查了定理与逆定理，命题与真假命题． 根据逆定理的定义，一个定理有逆定理的条件是其逆命题为真命题． 【详解】解：在数学中，定理是真命题，其逆命题是将原定理的条件和结论互换后得到的命题， 如果逆命题也为真，则称为原定理的逆定理， 因此，空白处应填逆命题， 故答案为：逆命题． 【跟踪专练1】定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”， ∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题， ∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”． 故选：A． 【跟踪专练2】下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合；②如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；③等边三角形的高、中线、角平分线都相等；④每一个定理都有逆定理．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质和判定，三角形的高，中线，角平分线等知识一一判断即可． 【详解】解：①等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合，错误，应该是底边上的中线和高，顶角的平分线互相重合； ②如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，正确； ③等边三角形的高、中线、角平分线都相等，错误，应该是高、中线、角平分线的长度相等； ④每一个定理都有逆定理，错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【跟踪专练3】按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 解答题 1．如图1，在中，是高，若．       (1)试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直角三角形的判定，高的定义，角平分线的性质，对顶角相等； （1）由题意得，即，，得即可解答； （2）由题意得，，，得即可解答． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）证明：∵是的角平分线， ∴． 由（1）得，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 2．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 3．【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)此命题是真命题，理由见解析 【分析】此题考查了命题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）交换原命题的题设和结论即可； （2）延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【详解】（1）逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； （2）此命题是真命题，理由如下： 已知：在中，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 4．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形 【题型01 直角三角形的两个锐角互余】..............................4 【题型02 锐角互余的三角形式直角三角形】..........................5 【题型03 写出命题的逆命题】......................................5 【题型04 判定是否为互逆命题】....................................6 【题型05 定理与证明】............................................6 【题型06 互逆定理】..............................................6 【解答题4题】....................................................7 ★知识梳理★ 知识点01:直角三角形的定义 有一个内角是90°（直角）的三角形叫做直角三角形，记作Rt△。 知识点02:核心性质（必考） 1. 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°）。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A+∠B=90°。 2. 边的性质（勾股定理） 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ a²+b²=c²（a、b 为直角边，c 为斜边）。 3. 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 的中线 ⇒ CD=AB。 4. 30° 角特殊性质 在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 逆用：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为 30°。 5. 面积与斜边上的高 面积：S=AC=ABCD（CD为斜边上的高），即AC=ABCD。 知识点03:核心判定（必考） 1. 角判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形。符号语言：在△ABC 中，∠A+∠B=90° ⇒ ∠C=90°，△ABC 为 Rt△。 2. 边判定（勾股定理逆定理） 若三角形三边长 a、b、c 满足a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形，c 所对的角为直角。 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:直角三角形全等的特殊判定（HL 定理） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简记：HL）。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注：一般三角形的SSS、SAS、ASA、AAS同样适用于直角三角形。 知识点05:互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题 两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。 例：原命题 “直角三角形两锐角互余”，逆命题 “两锐角互余的三角形是直角三角形”。 2. 互逆定理 若一个定理的逆命题是真命题，则它也是一个定理，这两个定理互为逆定理。 例：勾股定理与勾股定理逆定理是一对互逆定理。 知识点06:常见考点与易错点 1.勾股定理仅适用于直角三角形，使用时需先确认直角位置。 2.HL 是直角三角形独有的全等判定，一般三角形不能用。 3.互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题。 4.斜边中线性质、30° 角性质的前提均为直角三角形。 【题型1.直角三角形的两个锐角互余】 【典例】在中，，，则的度数为 ． 【跟踪专练1】一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力方向的夹角的度数为，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，点，的对应点分别为，，过点作于点．若，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，，，，垂足分别为点E，F，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2.锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例】在中，若，则 ；若，则 ，此时是 三角形． 【跟踪专练1】在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【跟踪专练3】下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.写出命题的逆命题】 【典例】命题“如果，那么”的逆命题是 ． 【跟踪专练1】命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练2】“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 ． 【跟踪专练3】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【题型4.判断是否为互逆命题】 【典例】题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【跟踪专练1】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【跟踪专练2】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【跟踪专练3】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【题型5.定理与证明】 【典例】“直角三角形的两个锐角互余”是 ．（填“公理”或“定理”） 【跟踪专练1】下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 【跟踪专练2】定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和． 【跟踪专练3】下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【题型6.互逆定理】 【典例】一个定理有逆定理的条件是这个定理的 是真命题． 【跟踪专练1】定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【跟踪专练2】下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合；②如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；③等边三角形的高、中线、角平分线都相等；④每一个定理都有逆定理．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 解答题 1．如图1，在中，是高，若．       (1)试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 2．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 3．【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 4．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $