专题02等腰三角形 （知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题02等腰三角形 【题型01 等边对等角】............................................4 【题型02 三线合一】..............................................7 【题型03 等边三角形的性质】.....................................10 【题型04 根据等角对等边证明等腰三角形】.........................12 【题型05 根据等角对等边证明边相等】.............................16 【题型06 根据等角对等边求边长】.................................19 【题型07 等腰三角形的性质和判定】...............................22 【题型08 格点图中画的等腰三角形】...............................25 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】...................27 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】.................30 【题型11 反证法证明中的假设】...................................33 【题型12 用反证法证明命题】.....................................34 【题型13 等边三角形的判定】.....................................37 【题型14 等边三角形的判定与性质】...............................40 【题型15 含30度角的直角三角形】................................43 【解答题5题】...................................................46 ★知识梳理★ 知识点01:等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰：相等的两条边（如 AB=AC，AB、AC 为腰） 底边：第三条边（BC） 顶角：两腰的夹角（∠BAC） 底角：腰与底边的夹角（∠B、∠C） 知识点02:等腰三角形的性质（核心） 1. 等边对等角（性质定理 1） 内容：等腰三角形的两底角相等。 几何语言：在△ABC 中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。 2. 三线合一（性质定理 2，高频考点） 内容：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（仅针对底边）。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD=DC； 若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC，BD=DC； 若 BD=DC，则 AD 平分∠BAC，AD⊥BC。 知识点03:等腰三角形的判定（核心） 1. 等角对等边（判定定理） 内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 几何语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。 2. 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形（最直接判定）。 几何语言：在△ABC 中，∵ AB = AC，∴ △ABC 是等腰三角形（AB、AC 为腰，BC 为底边）。 知识点04:等边三角形（特殊的等腰三角形） 1. 定义 三条边都相等的三角形（正三角形）。 在△ABC 中，∵ AB = BC = AC，∴ △ABC 是等边三角形（正三角形）。 2. 性质 三边相等，三个内角都为 60°。 每条边上的中线、高、对角平分线均三线合一（3 组）。 具备等腰三角形的所有性质。 1. 定义与判定 定义：在△ABC 中，∵ AB = BC = AC，∴ △ABC 是等边三角形（正三角形）。 判定：在△ABC 中，∵ ∠A = ∠B = ∠C = 60°，∴ △ABC 是等边三角形。 2. 性质表达 角度性质：在△ABC 中，∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°。 三线合一（以 BC 边为例）：在等边△ABC 中，∵ AP ⊥ BC，∴ BP = PC，AP 平分∠BAC。（同理，AB、AC 边上也有对应的三线合一性质） 3. 判定 三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是 **60°** 的等腰三角形是等边三角形。 1. 定义判定（三边相等） 在△ABC 中，∵ AB=BC=AC，∴ △ABC 是等边三角形。 2. 判定定理 1（三角相等） 在△ABC 中，∵ ∠A=∠B=∠C，∴ △ABC 是等边三角形。 3. 判定定理 2（含 60° 角的等腰三角形） 在△ABC 中，∵ AB=AC，且 ∠A=60∘（或 ∠B=60∘）， ∴ △ABC 是等边三角形。 知识点05:核心易错点与注意事项 1.“等边对等角”“等角对等边”仅限同一个三角形内使用。 2.“三线合一” 仅适用于底边，腰上的三线不重合。 3.判定时，未确定是等腰三角形前，** 不能用 “腰”“底角”** 等术语。 4.等腰三角形的底角必为锐角，顶角可为锐角、直角或钝角。 【题型1.等边对等角】 【典例】如图，在等腰中，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，点C在线段BD上，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形，先根据内角和求出，进而得到，再求出，则，即可作答． 【详解】解：， ， ， ，， ∴， ，， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟练掌握“等边对等角”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由题意先求出和的值，再根据等腰三角形的性质和外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：点在的延长线上，， ． ， ． ， ． 故答案为20． 【跟踪专练3】如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质，由得出，再结合三角形外角的定义及性质得出，由计算得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型2.三线合一】 【典例】已知等腰三角形顶角的角平分线长，则这个等腰三角形底边上的中线长是 cm． 【答案】 6 【分析】本题考查了等腰三角形性质，理解三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，因此它们长度相等． 【详解】∵等腰三角形顶角的角平分线长6cm，且根据等腰三角形的性质，顶角的角平分线与底边上的中线重合， ∴这个等腰三角形底边上的中线长是6cm． 故答案为6． 【跟踪专练1】如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵箭经过的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【跟踪专练2】如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为 秒时，与的一边垂直． 【答案】或4或 【分析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程，解题的关键是分类讨论． 设点的运动时间为秒，则，过点作，根据在中，，得出，根据勾股定理得出，分三种情况：当时；当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒，则， 过点作， ∵在中，， ∴， ∴， 当时，点与点重合， 此时，， ∴秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 综上，当点的运动时间为或4或秒时，与的一边垂直． 故答案为：或4或． 【跟踪专练3】如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 根据题意得出为等腰三角形，假设，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，点为线段的中点，且， ∴，为等腰三角形， ∴， 假设，则， 根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【题型3.等边三角形的性质】 【典例】等边三角形的每一个角都等于 ． 【答案】60 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 等边三角形的三个角相等，且内角和为，因此每个角为． 【详解】解：等边三角形的每一个角都等于． 故答案为：60． 【跟踪专练1】一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，关键根据等边三角形的性质解答． 根据等边三角形的性质解答． 【详解】解：∵纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，和都是等边三角形，连接，相交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 通过证明三角形全等得到角的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点． 和都是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中 ， ． 又， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．由题意可得：即，由等边三角形的性质可得，为中线，得到，即可求解． 【详解】解：等边中，， 则，， ∵， ∴，即 ∴为中线，则， 故选：C ． 【题型4.根据等角对等边证明等腰三角形】 【典例】如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有 个． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解． 【详解】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A， ∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形， ∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C， ∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形， ∵∠C＝∠ABC＝72°， ∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形， 故图中共3个等腰三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答． 根据等腰三角形的判定定理，有两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形．分别验证各选项是否符合判定条件． 【详解】解：A、 ， ∴ 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； B、∵ ， ，没有两边相等， ∴ △ABC不是等腰三角形，不能判定是等腰三角形，符合题意； C、∵ ， ， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； D、， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，于点E，交对角线于点F，，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 取的中点O，连接，根据平行四边形的性质得出，再由直角三角形斜边中点的性质得出，利用等角对等边及勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、根据在中，，利用三角形内角和定理求得，然后可得等腰三角形． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵是平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即是等腰三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∴等腰三角形有，，； 故答案为：3． 【题型5.根据等角对等边证明边相等】 【典例】如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 【跟踪专练1】如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴的周长是， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，对角线于点A，于点D．若，，则 ． 【答案】2 【分析】延长，交于点E，证明，根据等腰三角形判定得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：延长，交于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在和中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， 即． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【跟踪专练3】如图，在中，分别平分与，且，，的周长为10，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：D． 【题型6.根据等角对等边求边长】 【典例】在中，，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边得到，，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ， ． 故选：A． 【跟踪专练2】小凡家门前有一块如图所示的三角形空地，为一条石子路，通过测量得知，为边上的中点，，，石子路的长为．小凡的奶奶想将该空地利用起来，于是用竹篱笆将围挡起来，放养一群兔子，则竹篱笆的边的长度为 m． 【答案】4.8 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长到，使，连接，则，证明和全等得，进而得，由此即可得出的长． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： 则， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ∴， ， 在中，， ∴， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于F， 在中，， ∴，， ∵两个同样大小的含角的三角尺， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故选：D． 【题型7.等腰三角形的性质和判定】 【典例】如图，在中，，，则 度． 【答案】20 【分析】由，可知，再根据，可知，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义等，三角形内角和定理是求角的度数的常用方法． 【跟踪专练1】如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到，得到的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故选C． 【跟踪专练2】如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．由已知条件判定是等腰三角形，且；由等角对等边判定，则易求． 【详解】解：平分，， ∴，， ∵， ∴（）， ． 又， ． ． ，， ， 故答案是：． 【跟踪专练3】如图，已知在锐角三角形中，，是的角平分线，是上一点，连接，．若，，则的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，掌握利用等腰三角形三线合一得到高和中点，结合勾股定理求高，再用面积公式计算是解题的关键． 由等腰三角形三线合一得且为中点，用勾股定理求的长度，再用三角形面积公式计算． 【详解】解：∵在中， ，是的角平分线， ∴是边上的高和中线 ∴，且为的中点 ∵， ∴ 在中，根据勾股定理： ∴的面积为：． 故选：A． 【题型8.格点图中画的等腰三角形】 【典例】如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则 ． 【答案】45° 【解析】略 【跟踪专练1】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 个． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、格点图中画等腰三角形，分情况讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和判定，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别作出符合条件的图即可解答． 【详解】解：如图： 分情况讨论： 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，． 综上所述：若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有8个． 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分腰长和底边两种情况分类讨论． 【详解】解：如下图， 分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个， 故选：D． 【题型9.直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【典例】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有，，，和，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 【跟踪专练1】如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 【跟踪专练3】如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 【题型10.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【典例】在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质和判定，画出图形即可解决问题； 【详解】解：如图， 观察图象可知，满足条件的点C坐标为或或． 故答案为：或或． 【跟踪专练1】如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA=BC，AB=AC，CA=CB去分析求解即可． 【详解】∵AB=，如图所示： ∴①若BA=AC，则符合要求的有：C1，C2共2个点； ②若CB=AB，则符合要求的有：C3，C4共2个点； ③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点， 这样的C点有10个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，画“两圆一中垂”即可做到不重不漏，解题关键是分类讨论的数学思想． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有 个． 【答案】4 【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与y轴有1个交点． 【详解】解：如图所示， 共4个点， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏． 【跟踪专练3】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 【题型11.反证法证明中的假设】 【典例】用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 【答案】直角三角形中每个锐角都大于 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：直角三角形中每个锐角都大于． 【跟踪专练1】用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反证法的应用，关键是明确反证法第一步需假设命题结论的反面成立．据此进行判断即可． 【详解】解：∵反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题要证明的结论是， ∴该结论的反面为，即第一步应假设， 故选B． 【跟踪专练2】“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 【答案】 与都不为零 和至少有一个等于0 【分析】本题考查了命题和反证法，根据命题的结构特征和反证法的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键 【详解】解：“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是，结论是与都不为零，利用反证法证明该命题时，我们要假设和至少有一个等于， 故答案为：，与都不为零，和至少有一个等于． 【跟踪专练3】用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 【题型12.用反证法证明命题】 【典例】.要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中 ． 【答案】有两个角是直角 【分析】此题考查反证法，掌握反证法假设的特点是解题的关键． 根据反证法的定义，假设有两个角是直角即可． 【详解】解：∵命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”的结论为， ∴反证法即第一步应假设结论的反面成立，即首先假设三角形中有两个角是直角， 故答案为：有两个角是直角． 【跟踪专练1】已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 【跟踪专练2】已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 ．（填序号） 【答案】③④①② 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设在中，； 2、由，得，即， 3、所以，这与三角形内角和为矛盾； 4、因此假设不成立，所以． 故答案为：③④①②． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键． 【跟踪专练3】如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②． 【详解】解析：①三角形为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵，， ， ， 为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分， 为中点； 所以①为真命题； 假设与不平行，作，与交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，即：，与矛盾， ∴假设不成立， ∴；故②为真命题． 故选A． 【题型13.等边三角形的判定】 【典例】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． 【跟踪专练1】下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 【题型14.等边三角形的判定与性质】 【典例】在中，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据题意得到是等边三角形，即可得出答案，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】数学活动课中，小颖设计了一种简易衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，衣架模式如图，衣架杆．若衣架收拢时，，则此时、两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，根据题意，利用等边三角形判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，利用等边三角形性质即可得到两点之间的距离，熟记等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图， ， 是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边上的三等分点．分别过点，沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（   ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握利用平行线的性质判定等边三角形，结合三等分点计算边长是解题的关键． 先根据三等分点求出的长度，再利用平行线的性质证为等边三角形，最后计算周长． 【详解】解：∵为等边三角形，边长为是上的三等分点， ∴ ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴的周长 故选：B． 【题型15.含30度角的直角三角形】 【典例】如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为 米． 【答案】4 【分析】本题考查了30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，米， ∵一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角， ∴（米）， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ． 故选：B． 【跟踪专练2】在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧，分别交，于点，，如图．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形角的性质、勾股定理以及圆的半径相等的性质知识点，掌握等边三角形的判定方法和直角三角形的边角关系是解题的关键． 先根据三角形内角和求出的度数，再由判定为等边三角形，得到的长度；接着在中利用角的性质和勾股定理求出的长度；最后根据，用减去得到的长度． 【详解】解：∵在 中， ， ， ∴ ∵以为圆心，为半径作弧交于， ∴ ∵， ∴是等边三角形 ∵ ∴ ∵ 在中， ， ∴ 根据勾股定理， ∵ 以为圆心， 为半径作弧交于， ∴ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，在四边形中，，，，，若的周长为，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，以及利用特殊角度三角形的边长关系进行计算． 根据，，得到，通过证明是等边三角形，得到，进而得到，根据是等边三角形得到的长度，根据一个角是的直角三角形的斜边是角所对的直角边的倍，得到的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，的周长为， ∴， ∴在中，． 故选：． 解答题 1．如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可． 【详解】（1）解：在等边中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 2．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 3．如图，在中，点在边上，过点作，垂足为的延长线交的延长线于点，且． (1)求证：是等边三角形： (2)连接，若是的角平分线，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，三角形的内角和定理得到，进而求出，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 5．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，技的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)厘米 (2)3秒、秒、6秒、秒 (3)2或6秒 【分析】（1）本题考查勾股定理，根据运动得到结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查动点围城等腰三角形问题，分类讨论等腰三角形的腰，结合勾股定理及动点路程问题根据腰相等列式求解即可得到答案； （3）本题考查勾股定理及动点三角形周长问题，根据题意得到动点位置结合运动表示出线段的长度根据周长相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：如图1，由，，， ，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，则， ， ； （2）解：①如图2，若在边上时，，此时用的时间为为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： ⅰ）如图3，若使， 此时，运动的路程为， ∴用的时间为，为等腰三角形； ⅱ）如图4，若，过作斜边的高，根据面积法求得高为，作于点， 在中，， 所以， 所以运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； ⅲ）如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为时，为等腰三角形； （3）解：如图6，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图7，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形 【题型01 等边对等角】............................................4 【题型02 三线合一】..............................................5 【题型03 等边三角形的性质】......................................6 【题型04 根据等角对等边证明等腰三角形】..........................7 【题型05 根据等角对等边证明边相等】..............................8 【题型06 根据等角对等边求边长】.................................10 【题型07 等腰三角形的性质和判定】...............................10 【题型08 格点图中画的等腰三角形】...............................11 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】...................12 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】.................13 【题型11 反证法证明中的假设】...................................14 【题型12 用反证法证明命题】.....................................14 【题型13 等边三角形的判定】.....................................15 【题型14 等边三角形的判定与性质】...............................15 【题型15 含30度角的直角三角形】................................16 【解答题5题】...................................................17 ★知识梳理★ 知识点01:等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰：相等的两条边（如 AB=AC，AB、AC 为腰） 底边：第三条边（BC） 顶角：两腰的夹角（∠BAC） 底角：腰与底边的夹角（∠B、∠C） 知识点02:等腰三角形的性质（核心） 1. 等边对等角（性质定理 1） 内容：等腰三角形的两底角相等。 几何语言：在△ABC 中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。 2. 三线合一（性质定理 2，高频考点） 内容：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（仅针对底边）。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD=DC； 若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC，BD=DC； 若 BD=DC，则 AD 平分∠BAC，AD⊥BC。 知识点03:等腰三角形的判定（核心） 1. 等角对等边（判定定理） 内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 几何语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。 有两条边相等的三角形是等腰三角形（最直接判定）。 几何语言：在△ABC 中，∵ AB = AC，∴ △ABC 是等腰三角形（AB、AC 为腰，BC 为底边）。 知识点04:等边三角形（特殊的等腰三角形） 1. 定义 三条边都相等的三角形（正三角形）。 在△ABC 中，∵ AB = BC = AC，∴ △ABC 是等边三角形（正三角形）。 2. 性质 三边相等，三个内角都为 60°。 每条边上的中线、高、对角平分线均三线合一（3 组）。 具备等腰三角形的所有性质。 1. 定义与判定 定义：在△ABC 中，∵ AB = BC = AC，∴ △ABC 是等边三角形（正三角形）。 判定：在△ABC 中，∵ ∠A = ∠B = ∠C = 60°，∴ △ABC 是等边三角形。 2. 性质表达 角度性质：在△ABC 中，∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°。 三线合一（以 BC 边为例）：在等边△ABC 中，∵ AP ⊥ BC，∴ BP = PC，AP 平分∠BAC。（同理，AB、AC 边上也有对应的三线合一性质） 3. 判定 三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是 **60°** 的等腰三角形是等边三角形。 1. 定义判定（三边相等） 在△ABC 中，∵ AB=BC=AC，∴ △ABC 是等边三角形。 2. 判定定理 1（三角相等） 在△ABC 中，∵ ∠A=∠B=∠C，∴ △ABC 是等边三角形。 3. 判定定理 2（含 60° 角的等腰三角形） 在△ABC 中，∵ AB=AC，且 ∠A=60∘（或 ∠B=60∘）， ∴ △ABC 是等边三角形。 知识点05:核心易错点与注意事项 1.“等边对等角”“等角对等边”仅限同一个三角形内使用。 2.“三线合一” 仅适用于底边，腰上的三线不重合。 3.判定时，未确定是等腰三角形前，** 不能用 “腰”“底角”** 等术语。 4.等腰三角形的底角必为锐角，顶角可为锐角、直角或钝角。 【题型1.等边对等角】 【典例】如图，在等腰中，，若，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，点C在线段BD上，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则 ． 【跟踪专练3】如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型2.三线合一】 【典例】已知等腰三角形顶角的角平分线长，则这个等腰三角形底边上的中线长是 cm． 【跟踪专练1】如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为 秒时，与的一边垂直． 【跟踪专练3】如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（   ） A． B． C． D． 【题型3.等边三角形的性质】 【典例】等边三角形的每一个角都等于 ． 【跟踪专练1】一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 【跟踪专练2】如图，和都是等边三角形，连接，相交于点，则的度数是 ． 【跟踪专练3】如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【题型4.根据等角对等边证明等腰三角形】 【典例】如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有 个． 【跟踪专练1】在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，于点E，交对角线于点F，，，，则的长度为 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型5.根据等角对等边证明边相等】 【典例】如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，对角线于点A，于点D．若，，则 ． 【跟踪专练3】如图，在中，分别平分与，且，，的周长为10，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型6.根据等角对等边求边长】 【典例】在中，，，则的长度为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 【跟踪专练2】小凡家门前有一块如图所示的三角形空地，为一条石子路，通过测量得知，为边上的中点，，，石子路的长为．小凡的奶奶想将该空地利用起来，于是用竹篱笆将围挡起来，放养一群兔子，则竹篱笆的边的长度为 m． 【跟踪专练3】把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型7.等腰三角形的性质和判定】 【典例】如图，在中，，，则 度． 【跟踪专练1】如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【跟踪专练2】如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，．若，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，已知在锐角三角形中，，是的角平分线，是上一点，连接，．若，，则的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D． 【题型8.格点图中画的等腰三角形】 【典例】如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则 ． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 个． 【跟踪专练3】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【题型9.直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【典例】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【跟踪专练1】如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【跟踪专练2】如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练3】如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【题型10.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【典例】在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 【跟踪专练1】如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有 个． 【跟踪专练3】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型11.反证法证明中的假设】 【典例】用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 【跟踪专练1】用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 【跟踪专练3】用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【题型12.用反证法证明命题】 【典例】.要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中 ． 【跟踪专练1】已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【跟踪专练2】已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 ．（填序号） 【跟踪专练3】如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 【题型13.等边三角形的判定】 【典例】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ． 【跟踪专练1】下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【跟踪专练3】如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【题型14.等边三角形的判定与性质】 【典例】在中，若，则的长为 ． 【跟踪专练1】数学活动课中，小颖设计了一种简易衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，衣架模式如图，衣架杆．若衣架收拢时，，则此时、两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边上的三等分点．分别过点，沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（   ） A．4 B．6 C．10 D．12 【题型15.含30度角的直角三角形】 【典例】如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为 米． 【跟踪专练1】如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧，分别交，于点，，如图．若，，，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图所示，在四边形中，，，，，若的周长为，则的长为（   ）． A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 2．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 3．如图，在中，点在边上，过点作，垂足为的延长线交的延长线于点，且． (1)求证：是等边三角形： (2)连接，若是的角平分线，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 4．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 5．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，技的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $