突破讲练一 比例的意义和基本性质（知识梳理+六大题型讲练+优选题拔尖练 共38题）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册专项培优讲练

突破讲练一 比例的意义和基本性质 （第二单元 比例） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 比例的意义 1 知识点二 比例的基本性质 1 重点难点 题型讲练 3 题型一：判断两个比是否能组成比例（比例的意义） 3 题型二：比例的意义的实际应用 3 题型三：由比值判断比例（比例的意义） 3 题型四：比例的性质 4 题型五：比例的性质的实际应用 4 题型六：比例的性质的较复杂问题 5 培优检测 能力提升 5 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项 如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 题型一：判断两个比是否能组成比例（比例的意义） 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）下面哪组的两个比可以组成比例。（    ） A．12∶18和8∶16 B．0.2∶0.5和5∶7.5 C．和 D．3∶4和5∶10 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）下面（    ）组两个比不能组成比例。 A．和7∶0.9 B．和 C．7∶8和14∶16 D．5∶2.5和1∶0.5 【变式训练2】（2025·陕西榆林·小升初真题）下列选项中，能与组成比例的是（    ）。 A．1∶3 B．2.5∶3 C．3∶5 D．18∶12 题型二：比例的意义的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）天然气中氮和丙烷的比例是6∶9，下面可以与6∶9组成比例的是（    ）。 A．0.2∶0.3 B．3∶4 C．12∶15 D．9∶12 【变式训练1】（2024·辽宁营口·小升初真题）用12个边长为1cm的小正方形可以拼成( )种形状不同的长方形，且长方形的长、宽都是整厘米数，所以12的因数有( )，选择其中的四个数组成一个比例为( )。 【变式训练2】（23-24六年级下·广东湛江·期中）如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换( )根棒棒糖，写成比例是( )。 题型三：由比值判断比例（比例的意义） 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）在一个比例中，已知两个比的比值是2，这个比例的两个外项分别是和，则这个比例可能是( )。 【变式训练1】（24-25六年级下·甘肃定西·期中）在一个比例里，两个比的比值都是1.5，且这个比例的两个外项都是12。这个比例是( )。 【变式训练2】（23-24六年级下·四川成都·期中）在一个比例中，两个外项分别是和，等号两边的比值都是，这个比例是( )。 题型四：比例的性质 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）a的等于b的，那么a∶b＝5∶4。( )（判断对错） 【变式训练1】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）下列四个数中，能与3、6、24组成一个比例的是（    ）。 A．9 B．0.75 C．36 D．18 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西西安·期中）下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6∶9和8∶12    （2）1.4∶2和4.2∶6    （3）和    （4）和 题型五：比例的性质的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）把体积相等的两个物体分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱形水杯中（水均未溢出），若甲杯水面上升3cm，乙杯水面上升5cm，则甲、乙两个水杯容积的最简整数比是( )。 【变式训练1】（2024·陕西西安·小升初真题）下面说法正确的有（    ）个。 ①两个分数大小相等，它们的分数单位有可能不同 ②用三根小棒摆三角形，其中两根长度分别是5厘米和15厘米，第三根只要比10厘米长就一定可以摆成三角形 ③和5∶4可以组成比例 ④底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱的 A．2 B．3 C．4 【变式训练2】（23-24六年级下·辽宁大连·期末）笑笑沿着6千米长的环形跑道跑步。她从起点出发，用10分钟跑了一圈的，照这样的速度，求她共用多少分跑完一圈，如果设她共用x分跑完一圈，下列方程正确的是（    ）。 ①x＝10 ②6∶x＝10∶ ③10∶x＝∶1 ④x∶10＝6∶ A．只有① B．只有①和② C．只有①和③ D．只有①和④ 题型六：比例的性质的较复杂问题 【典例精讲】（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）在一个比例中，两个内项的积是最小的合数，一个外项是0.08，另一个外项是（    ）。 A．0.32 B．5 C．3.2 D．50 【变式训练1】（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）甲数的和乙数的相等（甲、乙均不为0），甲数和乙数的比是( )∶( )，如果甲数比乙数少18，甲数与乙数分别是( )和( )。 【变式训练2】在一个比例里，两个内项的积是最小的合数，其中一个外项是，另一个外项是（    ）。 A．15 B．10 C．5 D．20 1．能与组成比例的是（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C． 2．（23-24六年级下·陕西榆林·期末）已知，且x、y均不为0，则xy的值是（    ）。 A．7 B． C． D．12 3．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）在∠AOB中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝15°，下面的三个选项能组成比例的是（    ）。 A．（∠1＋∠2）∶（∠1＋∠4）和（∠1＋∠3）∶（∠1＋∠2＋∠3） B．（∠1∶∠2）和（∠1＋∠3）∶（∠2＋∠4） C．∠2∶（∠3＋∠4）和（∠1＋∠4）∶（∠1＋∠2＋∠3） 4．（2025·吉林长春·小升初真题）把4.5，7.5，，四个数组成比例，其内项的积是（    ）。 A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 5．（24-25六年级下·安徽亳州·期中）在一个比例中，已知两个外项分别是和，则两个内项的积是 。 6．（24-25六年级下·陕西延安·期末）一个比例的两个内项都是4，一个外项是，写出一个符合条件的比例：( )＝( )。 7．（23-24六年级下·安徽淮北·期末）在一个比例中，两个内项相乘的积是最小的合数，其中一个外项是，另一个外项是( )。 8．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如果（m，n都不为0），那么m∶n＝( )∶( )。 9．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）在比例中，两个外项之积是最小的质数，其中一个外项是，另一个外项是( )。 10．（24-25六年级下·陕西延安·期末）4∶5和12∶15可以组成一个比例。( )（判断对错） 11．（23-24六年级下·辽宁葫芦岛·期末）甲数×＝乙数×2，那么甲数∶乙数＝5∶2。( )（判断对错） 12．（2023·陕西西安·小升初真题）如果11a＝6b，（a、b均不为0），则a∶b＝6∶11。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·河南商丘·期中）哥哥和弟弟今年的年龄比是5∶3，两年后他们的年龄比一定可以与今年的年龄比组成一个比例。( )（判断对错） 14．（24-25六年级下·陕西西安·期中）下面哪组中的四个数可以组成比例，把组成的比例写出来。 （1）2.4，3.2，6和8        （2），，12和15         （3），0.4，5和6 15．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）解方程。 75%＋＝                               16.（24-25六年级下·辽宁·随堂练习） （1）分别写出图中两个长方形长与长的比和宽与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 （2）分别写出图中每个长方形长与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 17．淘气和笑笑收集的卡片张数的比是3∶4，淘气有120张，笑笑有多少张？ 18．应用比例内项与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）4∶9和3∶2            （2）和7∶24 19．利用比例的内项之积与外项之积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 5∶8和20∶24        ∶和∶ 20．说一说，一个量怎样随另一个量变化。 （1）一种故事书每本3元，买书的总价与书的本数。 （2）一个长方形的面积是24平方厘米，长方形的长与宽。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练一 比例的意义和基本性质 （第二单元 比例） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 比例的意义 1 知识点二 比例的基本性质 1 重点难点 题型讲练 3 题型一：判断两个比是否能组成比例（比例的意义） 3 题型二：比例的意义的实际应用 5 题型三：由比值判断比例（比例的意义） 7 题型四：比例的性质 8 题型五：比例的性质的实际应用 11 题型六：比例的性质的较复杂问题 13 培优检测 能力提升 14 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项 如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 题型一：判断两个比是否能组成比例（比例的意义） 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）下面哪组的两个比可以组成比例。（    ） A．12∶18和8∶16 B．0.2∶0.5和5∶7.5 C．和 D．3∶4和5∶10 【答案】C 【思路引导】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，分别求出各比的比值，再找出比值相等的选项，据此解答。 【完整解答】A．12∶18 ＝12÷18 ＝ 8∶16 ＝8÷16 ＝ 因为≠，所以12∶18和8∶16不能组成比例。 B．0.2∶0.5 ＝0.2÷0.5 ＝2÷5 ＝ 5∶7.5 ＝5÷7.5 ＝50÷75 ＝ 因为≠，所以0.2∶0.5和5∶7.5不能组成比例。 C． ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因为＝，所以和能组成比例。 D．3∶4 ＝3÷4 ＝ 5∶10 ＝5÷10 ＝ 因为≠，所以3∶4和5∶10不能组成比例。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）下面（    ）组两个比不能组成比例。 A．和7∶0.9 B．和 C．7∶8和14∶16 D．5∶2.5和1∶0.5 【答案】A 【思路引导】判断两个比是否能组成比例，根据比与除法的关系计算每组中两个比的比值，来判断是否能组成比例，比值相等则能组成比例，反之则不能，据此计算解答即可。 【完整解答】A．，，因为不等于，所以这两个比不能组成比例。 B．，，所以这两个比能组成比例。 C．，，所以这两个比能组成比例。 D．5∶2.5＝5÷2.5＝2，1∶0.5＝1÷0.5＝2，所以这两个比能组成比例。 所以选项A中的两个比不能组成比例。 故答案为：A 【变式训练2】（2025·陕西榆林·小升初真题）下列选项中，能与组成比例的是（    ）。 A．1∶3 B．2.5∶3 C．3∶5 D．18∶12 【答案】D 【思路引导】先计算出的比值，再分别求出各选项的比值，通过比较比值是否相等来判断能否组成比例，＝0.5÷＝0.5×3＝1.5，然后计算各选项的比值，再比较即可。 【完整解答】A．1∶3＝1÷3，1÷3≈0.333，0.333不等于1.5，所以不能组成比例。 B．2.5∶3＝2.5÷3，2.5÷3≈0.833，0.833不等于1.5，所以不能组成比例。 C．3∶5＝3÷5，3÷5＝0.6，0.6不等于1.5，所以不能组成比例。 D．18∶12＝18÷12，18÷12＝1.5，1.5＝1.5，所以能组成比例。 能与组成比例的是选项D中的18∶12。 故答案为：D 题型二：比例的意义的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）天然气中氮和丙烷的比例是6∶9，下面可以与6∶9组成比例的是（    ）。 A．0.2∶0.3 B．3∶4 C．12∶15 D．9∶12 【答案】A 【思路引导】要判断哪个比能与6∶9组成比例，可根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，分别计算各选项与6∶9的外项积和内项积，看是否相等。 【完整解答】A．若6∶9＝0.2∶0.3，则外项积为6×0.3＝1.8，内项积为9×0.2＝1.8，外项积等于内项积，能组成比例。 B．若6∶9＝3∶4，外项积为6×4＝24，内项积为9×3＝27，24不等于27，不能组成比例。 C．若6∶9＝12∶15，外项积为6×15＝90，内项积为9×12＝108，90不等于108，不能组成比例。 D．若6∶9＝9∶12，外项积为6×12＝72，内项积为9×9＝81，72不等于81，不能组成比例。 所以，能与6∶9组成比例的是选项0.2∶0.3。 故答案为：A 【变式训练1】（2024·辽宁营口·小升初真题）用12个边长为1cm的小正方形可以拼成( )种形状不同的长方形，且长方形的长、宽都是整厘米数，所以12的因数有( )，选择其中的四个数组成一个比例为( )。 【答案】 3 1、2、3、4、6、12 1∶3＝4∶12 【思路引导】边长是1cm的小正方形面积是1cm2，长方形的面积＝1×12＝12cm2；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；即长×宽＝12，又因为长和宽都是整厘米数，所以12＝12×1；12＝6×2；12＝4×3；据此可知拼成的长方形有几种； 根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 再根据比例的意义：表示两个比值相等的式子，叫做比例，据此写出一个比例（答案不唯一）。 【完整解答】12＝12×1＝6×2＝4×3 长方形的长是12cm，宽是1cm； 长方形的长是6cm，宽是2cm； 长方形的长是4cm，宽是3cm。 一共有3种不同形状的长方形。 12＝12×1＝6×2＝4×3 12的因数有1，2，3，4，6，12。 1∶3＝4∶12 用12个边长为1cm的小正方形可以拼成3种形状不同的长方形，且长方形的长、宽都是整厘米数，所以12的因数有1，2，3，4，6，12，选择其中的四个数组成一个比例为1∶3＝4∶12。 【变式训练2】（23-24六年级下·广东湛江·期中）如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换( )根棒棒糖，写成比例是( )。 【答案】 6 5∶2＝15∶6 【思路引导】已知5颗星星可换2根棒棒糖，求15颗星星可换多少根棒棒糖，先用除法求出15里面有几个5，再乘2即可。 表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，求出两个比的比值，相等即可组成比例。 【完整解答】15÷5×2 ＝3×2 ＝6（根） 可换6根棒棒糖。 5∶2＝5÷2＝ 15∶6＝15÷6＝ 比值相等，可以组成比例。 写成比例是5∶2＝15∶6。（答案不唯一） 题型三：由比值判断比例（比例的意义） 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）在一个比例中，已知两个比的比值是2，这个比例的两个外项分别是和，则这个比例可能是( )。 【答案】或 【思路引导】由题可知，本题需考虑两种情况，情况一：当为一个比的前项，为另一个比的后项；情况二：当为一个比的前项，为另一个比的后项，据此分别求出比例的内项。 【完整解答】情况一：÷2＝ ×2＝ 此时，这个比例是； 情况二：÷2＝ ×2＝ 此时，这个比例是； 综上，这个比例可能是或。 【考点剖析】解答本题需熟练掌握比的前项、后项与比值之间的关系，明确比例的意义。 【变式训练1】（24-25六年级下·甘肃定西·期中）在一个比例里，两个比的比值都是1.5，且这个比例的两个外项都是12。这个比例是( )。 【答案】12∶8＝18∶12 【思路引导】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 已知这个比例的两个外项都是12，可以设这个比例的两个内项分别是a、b，那么可得出比例12∶a＝b∶12； 已知这个比例中两个比的比值都是1.5，即12∶a＝1.5，b∶12＝1.5，据此求出a、b，进而写出这个比例。 【完整解答】设这个比例的两个内项分别是a、b； 12∶a＝b∶12 由12∶a＝1.5可得，a＝12÷1.5＝8 由b∶12＝1.5可得，b＝12×1.5＝18 这个比例是（12∶8＝18∶12）。 【变式训练2】（23-24六年级下·四川成都·期中）在一个比例中，两个外项分别是和，等号两边的比值都是，这个比例是( )。 【答案】∶＝1∶或∶＝∶ 【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例。设两个内项是x和y，则∶x＝y∶，根据等号两边的比值都是，可以得到x和y的值，两个外项交换位置还可以得到另一组x和y的值，据此解答。 【完整解答】设两个内项是x和y， 当比例是∶x＝y∶时， x＝÷＝×＝ y＝×＝1 则这个比例是∶＝1∶。 当比例是∶x＝y∶时， x＝÷＝×＝ y＝×＝ 则这个比例是∶＝∶。 故这个比例是∶＝1∶或∶＝∶。 题型四：比例的性质 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）a的等于b的，那么a∶b＝5∶4。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，a的等于b的，即。根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积。所以可得：，然后化简即可。 【完整解答】 ＝4∶5 a∶b＝4∶5 因此，a与b的比为，与题目中的5∶4不符，原说法错误。 故答案为：× 【变式训练1】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）下列四个数中，能与3、6、24组成一个比例的是（    ）。 A．9 B．0.75 C．36 D．18 【答案】B 【思路引导】根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，首先假设各选项中的数能与3、6、24组成比例，然后逐一计算出内项积是否等于外项积，等于则可组成比例，否则不能组成比例。 【完整解答】A．若3和9是外项，6和24是内项，则外项之积为3×9＝27，内项之积为6×24＝144，27≠144，不满足比例性质； 若3和6是外项，9和24是内项，则外项之积为3×6＝18，内项之积为9×24＝216，18≠216，不满足比例性质； 若3和24是外项，6和9是内项，则外项之积为3×24＝72，内项之积为6×9＝54，72≠54，不满足比例性质； 所以9不能与3、6、24组成比例。 B．当3和6是外项，0.75和24是内项时，外项之积为3×6＝18，内项之积为0.75×24＝18，此时外项之积等于内项之积，满足比例的基本性质，即3∶24＝0.75∶6（比例写法不唯一）。所以0.75能与3、6、24组成比例。 C．若3和36是外项，6和24是内项，外项之积为3×36＝108，内项之积为6×24＝144，108≠144，不满足比例性质； 若3和6是外项，36和24是内项，外项之积为3×6＝18，内项之积为36×24＝864，18≠864，不满足比例性质； 若3和24是外项，6和36是内项，外项之积为3×24＝72，内项之积为6×36＝216，72≠216，不满足比例性质； 所以36不能与3、6、24组成比例。 D．若3和18是外项，6和24是内项，外项之积为3×18＝54，内项之积为6×24＝144，54≠144，不满足比例性质； 若3和6是外项，18和24是内项，外项之积为3×6＝18，内项之积为18×24＝432，18≠432，不满足比例性质； 若3和24是外项，6和18是内项，外项之积为3×24＝72，内项之积为6×18＝108，72≠108，不满足比例性质； 所以18不能与3、6、24组成比例。 故答案为：B 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西西安·期中）下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6∶9和8∶12    （2）1.4∶2和4.2∶6    （3）和    （4）和 【答案】（1）（2）（3）；6∶9＝8∶12；1.4∶2＝4.2∶6；＝ 【思路引导】根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，分别计算每组中两个比的内项积和外项积是否相等，进而确定能否组成比例。 （1）6∶9和8∶12，把9和8看作内项，把6和12看作外项。 （2）1.4∶2和4.2∶6，把2和4.2看作内项，把1.4和6看作外项。 （3）和，把和看作内项，把和看作外项。 （4）和，把和看作内项，把和看作外项。 【完整解答】（1）6∶9和8∶12 9×8＝72 6×12＝72 所以6∶9和8∶12能组成比例，比例为6∶9＝8∶12。 （2）1.4∶2和4.2∶6 2×4.2＝8.4 1.4×6＝8.4 所以1.4∶2和4.2∶6能组成比例，比例为1.4∶2＝4.2∶6。 （3）和 所以和能组成比例，比例为＝。 （4）和 即内项积不等于外项积，所以和不能组成比例。 （1）（2）（3）中的比能组成比例，比例为6∶9＝8∶12，1.4∶2＝4.2∶6，＝。 题型五：比例的性质的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）把体积相等的两个物体分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱形水杯中（水均未溢出），若甲杯水面上升3cm，乙杯水面上升5cm，则甲、乙两个水杯容积的最简整数比是( )。 【答案】5∶3 【思路引导】水面上升的体积就是浸没在水中物体的体积。假设甲、乙两个圆柱形水杯的底面积分别是a和b，圆柱体积＝底面积×高，因为两个物体的体积相等，可得甲水杯的底面积×水面上升的高度＝乙水杯的底面积×水面上升的高度，即3a＝5b，根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，可得a和b的比，即甲、乙两个圆柱形水杯的底面积比。又因为甲、乙两个圆柱形水杯的高度相等，假设高都是h，根据圆柱体积公式，可以写出容积比，化简即可。 【完整解答】假设甲、乙两个圆柱形水杯的底面积分别是a和b。 则3a＝5b，根据比例的基本性质，可得底面积比：a∶b＝5∶3。 甲、乙两个圆柱形水杯的高度相等，假设高都是h。 容积比：5h∶3h＝5∶3 甲、乙两个水杯容积的最简整数比是5∶3。 【变式训练1】（2024·陕西西安·小升初真题）下面说法正确的有（    ）个。 ①两个分数大小相等，它们的分数单位有可能不同 ②用三根小棒摆三角形，其中两根长度分别是5厘米和15厘米，第三根只要比10厘米长就一定可以摆成三角形 ③和5∶4可以组成比例 ④底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱的 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【思路引导】①把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，表示其中一份的数叫作分数单位。两个分数大小相等，它们的分数单位有可能不同，结合分数单位的意义举例说明即可； ②三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断出第三边的长度即可判断原题说法是否正确； ③判断两个比是否可以组成比例，看它们的比值是否相等； ④底面积相等且高也相等的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的。据此判断。 【完整解答】①两个分数大小相等，它们的分数单位有可能不同，例如＝，的分数单位是，的分数单位是，分数单位不同，所以原题说法正确； ②15－5＝10（厘米），5＋15＝20（厘米），所以10＜第三根小棒＜20，所以原题说第三根只要比10厘米长就一定可以摆成三角形的说法错误； ③∶＝÷＝×5＝1.25，5∶4＝5÷4＝1.25，1.25＝1.25，所以和5∶4可以组成比例，原题说法正确； ④底面积相等且高也相等的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的。底面积相等的圆柱和圆锥的高不一定相等，所以原题说法错误。 所以说法正确的有①和③。 故答案为：A 【变式训练2】（23-24六年级下·辽宁大连·期末）笑笑沿着6千米长的环形跑道跑步。她从起点出发，用10分钟跑了一圈的，照这样的速度，求她共用多少分跑完一圈，如果设她共用x分跑完一圈，下列方程正确的是（    ）。 ①x＝10 ②6∶x＝10∶ ③10∶x＝∶1 ④x∶10＝6∶ A．只有① B．只有①和② C．只有①和③ D．只有①和④ 【答案】C 【思路引导】把跑完全程的时间看作单位“1”，已知10分跑了一圈的，也就是跑完全程的时间×＝10分钟，设她用x分跑完一圈，列方程为x＝10；根据路程÷时间＝速度（一定），则路程和时间成正比例，所以可列比例为1∶x＝∶10，根据比例的基本性质，也可列比例为10∶x＝∶1。据此解答。 【完整解答】设她共用x分跑完一圈，则x＝10，即①正确； 或者∶10＝1∶x，即10∶x＝∶1，即③正确。 综上，①和③的解法正确。 故答案为：C 题型六：比例的性质的较复杂问题 【典例精讲】（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）在一个比例中，两个内项的积是最小的合数，一个外项是0.08，另一个外项是（    ）。 A．0.32 B．5 C．3.2 D．50 【答案】D 【思路引导】一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。最小的合数是4；比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，所以用4÷0.08即可求出另一个外项。 【完整解答】4÷0.08＝50 另一个外项是50。 故答案为：D 【变式训练1】（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）甲数的和乙数的相等（甲、乙均不为0），甲数和乙数的比是( )∶( )，如果甲数比乙数少18，甲数与乙数分别是( )和( )。 【答案】 4 5 72 90 【思路引导】根据分数乘法的意义，可知甲数×＝乙数×，根据比例的基本性质，可知甲数∶乙数＝∶，再化简可得甲数∶乙数＝4∶5，把甲数看作4份，乙数看作5份，甲数比乙数少（5－4）份，用18÷（5－4）即可求出每份是多少，进而用乘法求出4份和5份，也就是甲和乙。 【完整解答】∶ ＝（×20）∶（×20） ＝4∶5 18÷（5－4） ＝18÷1 ＝18 甲数：18×4＝72 乙数：18×5＝90 甲数和乙数的比是4∶5，如果甲数比乙数少18，甲数与乙数分别是72和90。 【变式训练2】在一个比例里，两个内项的积是最小的合数，其中一个外项是，另一个外项是（    ）。 A．15 B．10 C．5 D．20 【答案】B 【思路引导】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，先确定出两个外项的积也是最小的合数，即4，进而根据一个外项，求得另一个外项的数值即可。 【完整解答】4÷ ＝4× ＝10 另一个外项是10。 故答案为：B 【考点剖析】此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积；也考查了最小的合数是4。 1．能与组成比例的是（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C． 【答案】A 【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例； 根据比例的意义，分别求出各选项的比值，比值相等则能组成比例，反之，就不能组成比例。 【完整解答】＝＝＝ A．3∶4＝3÷4＝，符合题意； B．4∶3＝4÷3＝，不符合题意； C．＝＝＝，不符合题意； 故答案为：A 2．（23-24六年级下·陕西榆林·期末）已知，且x、y均不为0，则xy的值是（    ）。 A．7 B． C． D．12 【答案】D 【思路引导】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，xy的值等于3和4的积，据此解答。 【完整解答】xy＝3×4＝12 xy的值是12。 故答案为：D 3．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）在∠AOB中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝15°，下面的三个选项能组成比例的是（    ）。 A．（∠1＋∠2）∶（∠1＋∠4）和（∠1＋∠3）∶（∠1＋∠2＋∠3） B．（∠1∶∠2）和（∠1＋∠3）∶（∠2＋∠4） C．∠2∶（∠3＋∠4）和（∠1＋∠4）∶（∠1＋∠2＋∠3） 【答案】B 【思路引导】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 【完整解答】A. ∠1＋∠2＝30°，∠1＋∠4＝30°，则（∠1＋∠2）∶（∠1＋∠4）＝30∶30比值为1；∠1＋∠3＝30°，∠1＋∠2＋∠3＝45°，则（∠1＋∠3）∶（∠1＋∠2＋∠3）＝30∶45，比值为，比值不相等不可以组成比例； B．∠1∶∠2＝15∶15，比值为1，和∠1＋∠3＝30°，∠2＋∠4＝30°，（∠1＋∠3）∶（∠2＋∠4）＝30∶30，比值为1，比值相等，可以组成比例。15∶15＝30∶30 C. ∠2∶（∠3＋∠4）＝15∶30，比值是0.5，（∠1＋∠4）∶（∠1＋∠2＋∠3）＝30∶45，比值是，比值不相等，不可以组成比例。 故答案为：B 4．（2025·吉林长春·小升初真题）把4.5，7.5，，四个数组成比例，其内项的积是（    ）。 A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 【答案】D 【思路引导】4.5，7.5，，这四个数组成比例，把最大数和最小数做内项，其余两个数做外项，据此写出比例， 再根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【完整解答】4.5∶7.5＝∶ 7.5×＝2.25 把4.5，7.5，，四个数组成比例，其内项的积是2.25。 故答案为：D 5．（24-25六年级下·安徽亳州·期中）在一个比例中，已知两个外项分别是和，则两个内项的积是 。 【答案】 【思路引导】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。所以只需要求出两个外项的积，就可以得到两个内项的积。已知两个外项分别是和，用乘即可解答。 【完整解答】×＝ 所以两个内项的积是。 6．（24-25六年级下·陕西延安·期末）一个比例的两个内项都是4，一个外项是，写出一个符合条件的比例：( )＝( )。 【答案】 4∶24 【思路引导】根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积。两个内项都是4，则内项积为4×4＝16。其中一个外项是，设另一个外项为x，可得x＝16，然后根据等式的性质2，在两边同时除以，即可得到另一个外项。进而写出比例。 【完整解答】解：设另一个外项为x。 x＝4×4 x＝16 x÷＝16÷ x＝16× x＝24 根据比例的组成（a∶b＝c∶d，b、c是内项，a、d是外项），可以写出比例∶4＝4∶24。（答案不唯一） 7．（23-24六年级下·安徽淮北·期末）在一个比例中，两个内项相乘的积是最小的合数，其中一个外项是，另一个外项是( )。 【答案】8 【思路引导】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。最小的合数是4。根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积。已知两个内项的积是4，因此两个外项的积也是4。已知一个外项是，那么另一个外项为（4÷）。 【完整解答】最小的合数是4。 4÷ ＝4×2 ＝8 所以另一个外项是8。 8．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如果（m，n都不为0），那么m∶n＝( )∶( )。 【答案】 7 6 【思路引导】根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知（m，n都不为0），可得6m＝7n。再将6m＝7n改写成比例形式m∶n，即m和6是外项，n和7是内项。 【完整解答】（m，n都不为0） 6m＝7n m和6是外项，n和7是内项。 所以m∶n＝7∶6。 9．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）在比例中，两个外项之积是最小的质数，其中一个外项是，另一个外项是( )。 【答案】3 【思路引导】比例的两个外项的积等于两个内项的积。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，最小的质数是2，最小的质数÷一个外项＝另一个外项，据此列式计算。 【完整解答】2÷＝2×＝3 另一个外项是3。 10．（24-25六年级下·陕西延安·期末）4∶5和12∶15可以组成一个比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】要判断两个比能否组成比例，依据比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。因此，关键是看这两个比的比值是否相等，根据比与除法的关系计算即可。 【完整解答】4∶5＝4÷5＝0.8 12∶15＝12÷15＝0.8 两个比的比值均为0.8，相等，因此4∶5和12∶15可以组成一个比例，原说法正确。 故答案为：√ 11．（23-24六年级下·辽宁葫芦岛·期末）甲数×＝乙数×2，那么甲数∶乙数＝5∶2。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，先把甲数×＝乙数×2改写成比例式，一个外项是甲数，内项是乙数的比例，则和甲数相乘的数就作为比例的另一个外项，和乙数相乘的数2就作为比例的另一个内项，据此写出比例，再化简即可。 【完整解答】甲数×＝乙数×2 甲数∶乙数＝2∶ ＝（2×5）∶（×5） ＝10∶4 ＝（10÷2）∶（4÷2） ＝5∶2 那么甲数∶乙数＝5∶2。 原题说法正确。 故答案为：√ 12．（2023·陕西西安·小升初真题）如果11a＝6b，（a、b均不为0），则a∶b＝6∶11。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，把11a＝6b改写成比例式，一个外项是a，内项是b的比例，则和a相乘的数11就作为比例的另一个外项，和b相乘的数6就作为比例的另一个内项，据此写出比例。 【完整解答】由11a＝6b可得a∶b＝6∶11。 原题说法正确。 故答案为：√ 13．（24-25六年级下·河南商丘·期中）哥哥和弟弟今年的年龄比是5∶3，两年后他们的年龄比一定可以与今年的年龄比组成一个比例。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，今年哥哥和弟弟的年龄比是5∶3，设哥哥今年是5岁，则弟弟是3岁；两年后两人年龄分别增加2岁，此时年龄比为（5＋2）∶（3＋2）；要判断两年后的年龄比是否与今年的年龄比组成比例，需验证是否存在比例关系，即5∶3 是否会等于（5＋2） ∶（3＋2）；根据比例的基本性质，判断该比例中是否两个外项积等于两个内项积，如果成立，则能组成比例，如果不成立，则不能组成比例，据此判断。 【完整解答】设今年哥哥的年龄为5岁，则弟弟的年龄为3岁。 两年后，哥哥的年龄为：5＋2＝7（岁） 弟弟的年龄为：3＋2＝5（岁） 此时年龄比为7∶5，若该比与5∶3组成比例，则需满足5×5的积与3×7的积相等。显然，5×5＝25，3×7＝21，两者的积不相等，即两年后他们的年龄比与今年的年龄比不能组成一个比例，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 14．（24-25六年级下·陕西西安·期中）下面哪组中的四个数可以组成比例，把组成的比例写出来。 （1）2.4，3.2，6和8        （2），，12和15         （3），0.4，5和6 【答案】（1）可以；2.4∶3.2＝6∶8；（2）可以；∶12＝∶15；（3）不可以 【思路引导】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”来判断能否组成比例。 （1）计算最大数与最小数的积和另外两数的积：2.4×8＝19.2，3.2×6＝19.2。因为2.4×8＝3.2×6，所以这四个数可以组成比例。 （2）计算×15＝9，×12＝9。因为×15＝×12，所以这四个数可以组成比例。 （3）计算×6＝1.5，0.4×5＝2，1.5≠2；再计算其他组合，×5＝1.25，0.4×6＝2.4，1.25≠2.4；×0.4＝0.1，5×6＝30，0.1≠30。因为任意两数之积都不相等，所以这四个数不能组成比例。 【完整解答】（1）2.4，3.2，6和8： 2.4×8＝19.2 3.2×6＝19.2 2.4×8＝3.2×6 可以组成比例：2.4∶3.2＝6∶8（答案不唯一） （2），，12和15： ×15＝9 ×12＝9 ×15＝×12 这四个数可以组成比例。 可以组成比例：∶12＝∶15（答案不唯一） （3），0.4，5和6： ×6＝1.5 0.4×5＝2 1.5≠2 ×5＝1.25 0.4×6＝2.4 1.25≠2.4 ×0.4＝0.1 5×6＝30 0.1≠30 这四个数不能组成比例。 15．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）解方程。 75%＋＝                               【答案】；； 【思路引导】（1）根据等式的基本性质1，等式两边同时减75%，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以，计算即可。 （2）根据比例的基本性质，把等式转化为，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以9，计算即可。 （3）根据比例的基本性质，把等式转化为，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以，计算即可。 【完整解答】75%＋＝ 解： 解： 解： 16． （24-25六年级下·辽宁·随堂练习） （1）分别写出图中两个长方形长与长的比和宽与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 （2）分别写出图中每个长方形长与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 【答案】（1）3∶9；2∶6；能； （2）3∶2；9∶6；能 【思路引导】表示两个比相等的式子叫作比例，假设出方格的边长，写出题目中的比并求出比值，再根据比例的意义判断两个比能否组成比例，据此解答。 【完整解答】假设方格的边长为1厘米。 （1）小长方形的长为3厘米，大长方形的长为9厘米，小长方形的宽为2厘米，大长方形的宽为6厘米。 小长方形的长∶大长方形的长 ＝3∶9 ＝（3÷3）∶（9÷3） ＝1∶3 ＝ 小长方形的宽∶大长方形的宽 ＝2∶6 ＝（2÷2）∶（6÷2） ＝1∶3 ＝ 因为＝，所以这两个长方形长与长的比和宽与宽的比能组成比例，3∶9＝2∶6。 （2）小长方形的长∶小长方形的宽 ＝3∶2 ＝ 大长方形的长∶大长方形的宽 ＝9∶6 ＝（9÷3）∶（6÷3） ＝3∶2 ＝ 因为＝，所以图中每个长方形长与宽的比能组成比例，3∶2＝9∶6。 17．淘气和笑笑收集的卡片张数的比是3∶4，淘气有120张，笑笑有多少张？ 【答案】有160张 【思路引导】通过观察可知，淘气和笑笑收集卡片的张数的比是3∶4，淘气有120张，设笑笑收集了x张；根据比的意义可得：3∶4＝120∶x，解答即可。 【完整解答】解：设笑笑收集了x张，根据比的意义可得： 3∶4＝120∶x 3x＝120×4 3x＝480 3x÷3＝480÷3 x＝480÷3 x＝160 答：笑笑有160张。 【考点剖析】本题考查了比的应用，理解淘气和笑笑收集卡片的张数的比是3∶4是解答本题的关键。 18．应用比例内项与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）4∶9和3∶2            （2）和7∶24 【答案】（1）不能组成比例 （2）能组成比例；∶7∶24 【思路引导】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。据此假设两个比能组成比例，分别计算两个内项和外项的积，看它们是否相等即可解答。 【完整解答】（1）因为9×3≠4×2，所以4∶9和3∶2不能组成比例； （2）因为247，所以∶和7∶24能组成比例，组成的比例是∶7∶24。 【考点剖析】掌握并会运用比例的基本性质是解题的关键。 19．利用比例的内项之积与外项之积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 5∶8和20∶24        ∶和∶ 【答案】5∶8和20∶24不能组成比例 ∶和∶能组成比例；∶＝∶ 【思路引导】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【完整解答】5∶8和20∶24 5×24＝120 8×20＝160 120≠160，所以5∶8和20∶24不能组成比例。 ∶和∶ ×＝ ×＝ ＝，所以∶和∶能组成比例。 ∶＝∶ 【考点剖析】熟练掌握比例的基本性质是解答本题的关键。 20．说一说，一个量怎样随另一个量变化。 （1）一种故事书每本3元，买书的总价与书的本数。 （2）一个长方形的面积是24平方厘米，长方形的长与宽。 【答案】见详解 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【完整解答】（1）总价数量单价（一定），它们的比值一定。 如果一个量扩大（缩小），另一个也在扩大（缩小），比值才能不变；这两种量相关联的量成正比例关系。 （2）长宽面积（一定），它们的乘积一定。 如果一个量扩大（缩小），另一个在缩小（扩大），乘积才能不变；这两种量相关联的量成反比例关系。 【考点剖析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $