第四章因式分解单元测试卷（强化巩固）-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学.

第四章 因式分解单元测试卷（强化巩固） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 2．下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 4．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 5．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 7．如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 8．下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，则等于（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．因式分解： ． 12．分解因式： ． 13．多项式的公因式是 ． 14．在实数范围内分解因式： ． 15．若多项式因式分解的结果为，则 ． 16．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 18．因式分解下列各式或计算 (1) (2) (3) (4) 19．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 20．已知，，是的三边，且． (1)试判断的形状． (2)若，求第三边的取值范围． 21．如下图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（结果保留）． 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 23．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 24．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解单元测试卷（强化巩固） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法分解因式，需确定各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数． 【详解】解：∵ ， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 2．下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．根据因式分解的定义进行解答即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B．符合因式分解定义，是因式分解，故该选项符合题意； C．右边出现分式，不是整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； D．属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 4．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 5．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 6．下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式进行因式分解的能力，解题的关键是了解完全平方公式的结构特点，准确记忆公式，会根据公式的结构判定多项式是否是完全平方式． 可以用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，符合结构，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、中，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； B、中，，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； C、，符合完全平方式结构，故该选项符合题意； D、中，为负项，不满足完全平方式中两个平方项同号的要求，不符合结构，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 8．下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：C． 9．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 10．已知，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的应用 利用平方差公式将所求式子因式分解，再代入已知条件直接计算得出结果. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行因式分解，识别多项式为完全平方式并准确匹配公式形式是解题的关键． 利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键．确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；由此即可得． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为：． 14．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．若多项式因式分解的结果为，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是整式乘法的逆运算是关键． 通过比较因式分解后的形式与原始多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴ ∴ 得方程组： 解得： ． 故答案为：． 16．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查因式分解的基本方法，包括十字相乘法、提公因式法和公式法(平方差公式)． （1）对于二次三项式，采用十字相乘法，找到两个数乘积为常数项，和为一次项系数2，即可完成分解； （2）对于多项式，先提取各项的公因式，再整理剩余的多项式部分； （3）对于多项式，先通过变形将两项转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解：∵常数项可分解为，且， ∴； 故答案为：． （2）解：； （3）解：． 18．因式分解下列各式或计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解及其应用．解题关键是掌握因式分解方法． （1）利用十字相乘法分解因式即可，由 和 乘积为 ，和为即可分解； （2）将多项式分为两组，先利用完全平方公式，再利用平方差分解即可； （3）先提公因式，再用平方差公式分解即可； （4）利用完全平方公式分解因式即可简便计算． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 19．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 20．已知，，是的三边，且． (1)试判断的形状． (2)若，求第三边的取值范围． 【答案】(1)是等腰三角形 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）对题目中式子进行变形因式分解，得到三角形边之间的数量关系，进而判断三角形行形状； （2）根据三角形三边关系列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：, ， ， ， ，，是的三边， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）可得，， 当时，三角形的三边为， 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边得，， 解得． 21．如下图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（结果保留）． 【答案】浇制一节这样的管道需要的混凝土 【分析】用两个圆柱的体积之差来表示即可． 【详解】解：由题意，得． 故浇制一节这样的管道需要的混凝土. 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，利用因式分解可使运算简便． 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题考查了恒等式的性质，解方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握性质和运算是解题的关键． （1）将等式的右边展开，根据恒等式的性质，解答即可； （2）仿照示范的例子解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：设另一个因式为， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式是． 23．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握好配方法和换元法是关键． （1）先使用题干的配方法，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再将换成即可； （3）先将系数化整，分别对、、进行配方，由非负数的性质求出、、的值，然后判断的形状． 【详解】（1）解：； （2）解：设， ， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 24．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $