第十九章 函数（知识清单）数学新教材冀教版八年级下册

该初中数学函数单元知识清单系统梳理了第十九章“函数”核心内容，涵盖常量与变量、函数概念、表示方法及初步应用四大知识范畴，搭建了从基础概念辨析到实际问题解决的递进式学习支架。 清单以“知识梳理+易错点剖析+分层练习”三维架构呈现知识体系，如函数概念部分明确三要素及判断依据，易错点分类标注“常量与变量相对性”“自变量取值范围实际意义”等关键问题，培养学生抽象能力与推理意识。特别设计“函数图像信息题解题提示”，指导学生从横纵坐标含义、图像趋势分析实际情境，如行程问题中通过图像上升下降判断速度变化，助力不同水平学生高效掌握，教师可据此设计针对性教学，提升课堂实效。

第十九章 函数 一、常量与变量 变量：在一个变化过程中，可以取 的量。 常量：在一个变化过程中，数值始终 的量。 说明： 常量与变量是相对的，由具体问题决定。 变量之间往往存在相互依赖、相互制约的关系。 二、函数 1. 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个 的值，y 都有 与之对应，那么就说：x 是 ，y 是 x 的 2. 关键词（判断函数的依据） (1) 变量， (2)自变量每一个值，函数都有 对应 3. 自变量的取值范围 (1)整式：全体实数 (2)分母含 x：分母 (3)二次根号含 x：被开方数 (4)实际问题：符合 （如长度、人数＞0） 4. 函数值 对于自变量在 的一个确定值 x=a，函数对应的 ，叫做函数值。 三、函数的表示 函数有三种表示方法，可以互相转化： 1. :用数学式子表示函数关系。优点：简单明了，便于计算。 2. :用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观，可直接查表。 3. :在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，对应函数值为纵坐标，描点得到的图形。优点：直观形象，能看出变化趋势。 4. 描点法画函数图像的步骤 列表：给出自变量 x 的一些值，算出对应的 y 描点：在坐标系中描出 (x,y) 连线：用 顺次连接各点 四、函数的初步应用 1.用函数表示实际问题中的数量关系 2.从表格、图像、解析式中提取信息 3.利用函数进行预测、判断、比较 4.解决简单的最省、最快、最多、最少等问题 5.基本步骤 找变量 → 确定自变量与函数 列关系 → 写出解析式 / 表格 / 画图像 定范围 → 写出自变量取值范围 求结果 → 计算、判断、作答 一、常量与变量易错点 1.判断常量、变量只看数字，不看变化过程 易错点：认为 “数字就是常量，字母就是变量”。 正确：看在这个变化过程中数值是否发生改变，不变是常量，变是变量。 2.认为常量一定是具体数字 易错点：只把 1、2、3 当常量。 正确：固定不变的字母系数也是常量。 3.同一个量在不同问题中身份不同 易错点：觉得一个量要么永远常量、要么永远变量。 正确：常量与变量是相对某个变化过程而言。 二、函数概念易错点 1. 函数定义三要素记不全，判断出错 函数必须同时满足：① 有两个变量 ② 对于自变量 x 每一个确定的值 ③ y 都有唯一确定的值与之对应 易错点：一个 x 对应两个或多个 y → 不是函数 多个 x 对应同一个 y→ 是函数 2. 分不清谁是自变量，谁是函数 易错点：看谁先写谁后写。 正确：主动变化的是自变量，跟着变的是它的函数。 3. 自变量取值范围只看式子，不看实际 易错点： 式子有意义： 分母≠0 二次根号下≥0 实际问题必须同时满足： 人数、次数、个数：正整数 长度、时间、面积：非负数 4. 求函数值时代入算错、符号看错 易错点：代入负数漏括号、分数运算错。 要点：函数值就是 “把 x 代入算出来的 y”，唯一确定。 三、函数的表示方法易错点 1. 三种表示方法理解片面 解析法：用式子表示，便于计算 列表法：用表格表示，直接查数 图像法：用图形表示，看趋势最直观 易错点：认为 “只有解析式才叫函数”，表格、图像不是函数。 2. 描点法画函数图像步骤出错 正确三步：列表 → 描点 → 连线 易错点：只描点不连线 连线不用平滑曲线 / 直线，画成折线、乱线 自变量取值不匀称，图像画歪 实际问题画成整条直线，正确应为线段 / 射线 3. 图像上的点与解析式关系搞反 核心：点在图像上 ⇔ 坐标满足解析式 易错点：把点代入算错，或判断 “在不在图像上” 时乱猜。 4. 表格信息题看错行列 易错点：把横、纵坐标看反，把 “自变量” 和 “函数” 列弄混 四、函数图像信息题易错 1.不看横、纵坐标代表什么就做题 2.上升、下降、水平段含义理解错误 上升：y 随 x 增大而增大 水平：y 不变 下降：y 随 x 增大而减小 易错点：把 “水平段” 当成没有变化、不存在。 3.起点、终点、转折点意义理解错误 起点：初始状态 转折点：变化规律改变 终点：过程结束易错：直接看陡峭程度乱下结论。 易错点：把 “图像形状” 当 “运动轨迹” 函数图像是变化关系，不是物体走的路线。 五、函数的初步应用易错点 1.不会从实际问题里找变量 2.不知道谁是 x，谁是 y，直接乱写关系式。 3.列函数关系时漏条件、少范围 4.把 “估计值” 当成 “精确值” 5.回答问题不完整 1．一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长与半径的关系式中，常量是（    ） A．和2 B． C． D．， 2．某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 3．下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．某汽车匀速行驶在高速公路上，有下列各量：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．其中变量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 6.在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度与时间的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 7．一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B． C． D． 8．乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，为直角，动点P从点A出发，沿匀速前进到点D，在这个过程中，的面积S随时间t的变化而变化的过程可以用图象近似地表示成（    ） A． B． C． D． 10．函数中，自变量的取值范围是 ． 11．已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为 ． 12.函数的自变量x的取值范围是 ． 13．如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 14．等腰三角形的周长为40． (1)写出底边长与腰长函数表达式，并求出的取值范围； (2)当腰长为15时，求底边长；当底边长为8时，求腰长． 15.2024年成都马拉松比赛将在10月17日举行，小天和爸爸都完成了比赛报名，并且计划每周进行一次全长6000米的训练．第一次训练时小天和爸爸同时从同起点出发，行程S（单位：米）随时间（单位：分钟）变化的图像如图所示．已知小天中途提速后用了16分钟到达终点．因为爸爸中途体力不支减速，所以当小天到达终点时，爸爸离终点还有1280米．请根据图中信息回答以下问题： (1)小天比爸爸早到终点多长时间？ (2)在小天跑步的过程中，小天出发几分钟后和爸爸相距150米？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 函数 一、常量与变量 变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量。 说明： 常量与变量是相对的，由具体问题决定。 变量之间往往存在相互依赖、相互制约的关系。 二、函数 1. 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说：x 是自变量，y 是 x 的函数 2. 关键词（判断函数的依据） (1)两个变量， (2)自变量每一个值，函数都有唯一的值对应 3. 自变量的取值范围 (1)整式：全体实数 (2)分母含 x：分母 ≠ 0 (3)二次根号含 x：被开方数 ≥ 0 (4)实际问题：符合实际意义（如长度、人数＞0） 4. 函数值 对于自变量在取值范围内的一个确定值 x=a，函数对应的唯一确定值，叫做函数值。 三、函数的表示 函数有三种表示方法，可以互相转化： 1.解析法:用数学式子表示函数关系。优点：简单明了，便于计算。 2.列表法:用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观，可直接查表。 3.图像法:在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，对应函数值为纵坐标，描点得到的图形。优点：直观形象，能看出变化趋势。 4. 描点法画函数图像的步骤 列表：给出自变量 x 的一些值，算出对应的 y 描点：在坐标系中描出 (x,y) 连线：用平滑的曲线顺次连接各点 四、函数的初步应用 1.用函数表示实际问题中的数量关系 2.从表格、图像、解析式中提取信息 3.利用函数进行预测、判断、比较 4.解决简单的最省、最快、最多、最少等问题 5.基本步骤 找变量 → 确定自变量与函数 列关系 → 写出解析式 / 表格 / 画图像 定范围 → 写出自变量取值范围 求结果 → 计算、判断、作答 一、常量与变量易错点 1.判断常量、变量只看数字，不看变化过程 易错点：认为 “数字就是常量，字母就是变量”。 正确：看在这个变化过程中数值是否发生改变，不变是常量，变是变量。 2.认为常量一定是具体数字 易错点：只把 1、2、3 当常量。 正确：固定不变的字母系数也是常量。 3.同一个量在不同问题中身份不同 易错点：觉得一个量要么永远常量、要么永远变量。 正确：常量与变量是相对某个变化过程而言。 二、函数概念易错点 1. 函数定义三要素记不全，判断出错 函数必须同时满足：① 有两个变量 ② 对于自变量 x 每一个确定的值 ③ y 都有唯一确定的值与之对应 易错点：一个 x 对应两个或多个 y → 不是函数 多个 x 对应同一个 y→ 是函数 2. 分不清谁是自变量，谁是函数 易错点：看谁先写谁后写。 正确：主动变化的是自变量，跟着变的是它的函数。 3. 自变量取值范围只看式子，不看实际 易错点： 式子有意义： 分母≠0 二次根号下≥0 实际问题必须同时满足： 人数、次数、个数：正整数 长度、时间、面积：非负数 4. 求函数值时代入算错、符号看错 易错点：代入负数漏括号、分数运算错。 要点：函数值就是 “把 x 代入算出来的 y”，唯一确定。 三、函数的表示方法易错点 1. 三种表示方法理解片面 解析法：用式子表示，便于计算 列表法：用表格表示，直接查数 图像法：用图形表示，看趋势最直观 易错点：认为 “只有解析式才叫函数”，表格、图像不是函数。 2. 描点法画函数图像步骤出错 正确三步：列表 → 描点 → 连线 易错点：只描点不连线 连线不用平滑曲线 / 直线，画成折线、乱线 自变量取值不匀称，图像画歪 实际问题画成整条直线，正确应为线段 / 射线 3. 图像上的点与解析式关系搞反 核心：点在图像上 ⇔ 坐标满足解析式 易错点：把点代入算错，或判断 “在不在图像上” 时乱猜。 4. 表格信息题看错行列 易错点：把横、纵坐标看反，把 “自变量” 和 “函数” 列弄混 四、函数图像信息题易错 1.不看横、纵坐标代表什么就做题 2.上升、下降、水平段含义理解错误 上升：y 随 x 增大而增大 水平：y 不变 下降：y 随 x 增大而减小 易错点：把 “水平段” 当成没有变化、不存在。 3.起点、终点、转折点意义理解错误 起点：初始状态 转折点：变化规律改变 终点：过程结束易错：直接看陡峭程度乱下结论。 易错点：把 “图像形状” 当 “运动轨迹” 函数图像是变化关系，不是物体走的路线。 五、函数的初步应用易错点 1.不会从实际问题里找变量 2.不知道谁是 x，谁是 y，直接乱写关系式。 3.列函数关系时漏条件、少范围 4.把 “估计值” 当成 “精确值” 5.回答问题不完整 1．一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长与半径的关系式中，常量是（    ） A．和2 B． C． D．， 【答案】A 【易错】误把π当做变量 【详解】解：∵在关系式中，2和的数值是固定不变的，随的变化而变化. ∴常量是2和． 故选：A． 2．某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【答案】A 【易错】误把t当做自变量，没有正确认识到反比例关系，错选B项 【详解】解：由表格数据：时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，． ∵ I 与 t 的乘积近似常数72， ∴ t 与 I 成反比例关系，即， 故选：A． 3．下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【易错】误认为函数图像应是连续的线，错选B项 【详解】解：由函数的定义可知，四个图象中，只有D选项中的图象中，变量不是的函数， 故选：D． 4．某汽车匀速行驶在高速公路上，有下列各量：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．其中变量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【易错】没有明确实际问题，错把行驶速度当做变量 【详解】解：∵汽车匀速行驶， ∴行驶速度①为常量；行驶时间②、行驶路程③和剩余油量④均随过程变化， ∴变量有②、③、④，共3个． 故选：C． 5．函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【易错】忽略分母不为0 【详解】解：∵， ∴分母，根号内， ∴且，， 综上，定义域为且． 故选：A． 6.在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度与时间的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错】认识不到水面上升速度先快后慢 【详解】根据图象可以得到：杯中水的高度随注水时间的增大而增大，而增加的速度越来越小． 则杯子应该是越向上开口越大． 故杯子的形状可能是． 故选：． 7．一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【易错】没认清函数图像中纵坐标表示的是速度还是路程 【详解】解：∵该货车匀速行驶时，行驶速度不变， ∴反映该货车匀速行驶的是 ， 故选：D． 8．乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．． B． C． D． 【答案】D 【易错】对实际问题中的情形在函数图像中把握不准确，特别是乌龟早到终点的图像表达易错 【详解】解：根据题意得：虚线一直增加且倾斜程度小于实线； 实线有三个阶段，1、跑了一段，增加；2、睡了一觉，不变，水平线；3、当它醒来时，跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点；只有D选项符合题意． 故选：D． 9．如图，在四边形中，，为直角，动点P从点A出发，沿匀速前进到点D，在这个过程中，的面积S随时间t的变化而变化的过程可以用图象近似地表示成（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错】分三个阶段：点P在上运动，S随t的增大而增大；点P在上运动，S保持不变；点P在上运动，S随t的增大而减小；根据，可得点P在上的运动时间小于点P在上的运动时间，据此可得答案． 【详解】解：∵为直角， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点P在上运动时，， ∴当点P在上运动时，S随t的增大而增大； 当点P在上运动时，， ∴当点P在上运动时，S保持不变； 当点P在上运动时，设点P到的距离为h， ∴， ∵h随t的增大而减小，S随h的减小而减小， ∴当点P在上运动时，S随t的增大而减小， ∵，且点P匀速运动， ∴点P在上的运动时间小于点P在上的运动时间， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 10．函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【易错】忽略分母不为0，应是 【详解】解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 11．已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为 ． 【答案】5或 【易错】仅考虑一种情况，忽略另一种情况 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 12.函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【易错】忽略零指数幂底数不为0 【详解】解：根据题意，得， 解得且， 故答案为：且． 13．如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 【答案】(1)列表见解析 (2)函数图像见解析 【易错】表格填写函数值错误，图像应用平滑曲线，不能用折线 【详解】（1）解：列表如下： … 1 2 3 … … 4 3 2 0 … … 1 2 … （2）解：画出函数图象如图． 14．等腰三角形的周长为40． (1)写出底边长与腰长函数表达式，并求出的取值范围； (2)当腰长为15时，求底边长；当底边长为8时，求腰长． 【答案】(1)， (2)当腰长为15时，底边长为10；当底边长为8时，腰长为16 【易错】只考虑两边之和大于第三边，忽略两个腰长小于周长 【详解】（1）解：∵      ∴      ∵ ∴ （2）当时 ； 当时      ∴ ∴当腰长为15时，底边长为10；当底边长为8时，腰长为16． 15.2024年成都马拉松比赛将在10月17日举行，小天和爸爸都完成了比赛报名，并且计划每周进行一次全长6000米的训练．第一次训练时小天和爸爸同时从同起点出发，行程S（单位：米）随时间（单位：分钟）变化的图像如图所示．已知小天中途提速后用了16分钟到达终点．因为爸爸中途体力不支减速，所以当小天到达终点时，爸爸离终点还有1280米．请根据图中信息回答以下问题： (1)小天比爸爸早到终点多长时间？ (2)在小天跑步的过程中，小天出发几分钟后和爸爸相距150米？ 【答案】(1)小天比爸爸早到终点8分钟 (2)在小天跑步的过程中，小天出发分钟或分钟或分钟后和爸爸相距150米 【易错】没有考虑相距150米要分相遇前和相遇后两种情况 【详解】（1）解：小天全程所用时间为：（分钟）， 爸爸全程所用时间为：（分钟）， （分钟）， 答：小天比爸爸早到终点8分钟； （2）解：设小天出发分钟后和爸爸相距150米， 爸爸减速前的速度为：（米/分钟） 爸爸减速后的速度为：（米/分钟） 小天提速前的速度为：（米/分钟） 小天提速后的速度为：（米/分钟） 爸爸与小天相遇时： 则， 解得：； 爸爸与小天相遇前： 在0到4分钟这个过程中，爸爸在小天前面， 则，解得：； 在4到10分钟这个过程中，爸爸在小天前面， 则，解得：（不符合题意）； 在10到分钟这个过程中，爸爸在小天前面， 则，解得：； 爸爸与小天相遇后： 在到26分钟这个过程中，爸爸在小天后面， 则，解得：； 综上，在小天跑步的过程中，小天出发分钟或分钟或分钟后和爸爸相距150米． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $