第二章 不等式和不等式组 单元测试卷 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式和不等式组 单元测试卷 一、单选题（共16分） 1．（本题2分）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题2分）不等式的正整数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（本题2分）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（本题2分）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）若关于的不等式组最多有3个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．9 B．6 C．2 D．－1 8．（本题2分）已知关于x的方程的解大于0，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 9．（本题2分）不等式组的解集为 ． 10．（本题2分）若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，请写出此解集为 ． 11．（本题2分）当 时，的值不大于6. 12．（本题2分）某次数学竞赛初试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）一题得（﹣1）分，得分不低于60分则可以参加复试．那么，若要参加复试，初试的答对题数至少为 ． 13．（本题2分）如图，直线l的解析式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），若0＜kx+b＜1.5，则自变量x的取值范围为 ． 14．（本题2分）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 15．（本题2分）如图，一次函数与的图象交于点．，且分别交x轴于点，点，则的解集 ．    16．（本题2分）若关于的不等式组的整数解只有4个，则的取值范围是 ． 三、解答题（共88分） 17．（本题8分）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 18．（本题8分）取哪些整数值时，不等式与都成立？ 19．（本题8分）若关于的不等式组解集为，求的取值范围． 20．（本题8分）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 21．（本题8分）如图，已知直线经过点，交y轴于点B，直线与直线交于点C，交y轴于点D． (1)求b的值； (2)求的面积； (3)当时，x的取值范围是 ．（直接写出结果） 22．（本题8分）某校计划租用汽车送名学生和名教师集体外出活动现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人每辆           租金单位：元每辆           (1)租用汽车总数最少______辆，最多______辆，若每辆汽车上至少要有名教师，那么租用汽车的总数是______辆； (2)在（1）的条件下，租车总金额在元的限额内，请求出最节省费用的租车方案． 23．（本题8分）阅读材料，解答问题．对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如． 已知：，． (1)求，的值； (2)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求实数的取值范围． 24．（本题10分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足且． (1)解方程组（用含的代数式表示）； (2)求a的取值范围． 25．（本题10分）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元，购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元． (1)购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？ (2)根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案费用最低？并求出最低费用． 26．（本题12分）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； (2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； (3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．D 【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：∵x＜3， ∴3处为空心圆，且折线向左； ∵x≥﹣1， ∴﹣1处为实心圆点，且折线向右， ∴四个选项中只有D符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 3．B 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解． 【详解】解：去括号得：6x-6﹤5x-4， 移项得：6x−5x﹤-4+6， 合并同类项得：x﹤2， 故不等式的正整数解为1，只有1个. 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 4．C 【分析】根据函数图象得出当x>2时，y<0，即kx+b<0，即可确定选项． 【详解】解：根据函数图象可得y=kx+b与x轴的交点为（2,0）， 由图象得：当x>2时，y<0，即kx+b<0， 故选：C． 【点睛】题目主要考查根据一次函数图象确定不等式解集，理解题意，学会利用函数图象求解不等式的解集是解题关键． 5．D 【分析】本题考查了根据图像求不等式的解集，直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知，当时， 在下方， 即不等式的解集为， 故选：D． 6．A 【分析】求出两个不等式的解集，根据已知得出m≤3，即可得出选项． 【详解】， ∵解不等式①得：x＞3， 不等式②的解集是x＜m， 又∵不等式组无解， ∴m≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，关键是能根据已知得出关于m的不等式． 7．C 【分析】本题主要考查了解含参数的不等式组、解含参数的方程组等知识点，根据题意确定a的取值范围成为解题的关键． 先解不等式组，再根据不等式组的解集情况求参数a的取值范围；然后解方程组，根据方程的解的情况确定参数a的可能取值，最后确定符合条件的所有整数的值并求和即可． 【详解】解：解不等式组，可得：， ∵不等式组至多个整数解， ． 解方程组可得：， ∵关于、的方程组的解为整数， ， ， 整数为， ∴符合条件的所有整数的和为． 故选C． 8．A 【分析】本题考查方程的解和解一元一次方程，一元一次不等式，理解方程解的含义是解题的关键． 先求出方程的解，再根据方程的解大于0，建立关于m的不等式，求解即可． 【详解】解： 由题意，得 解得： 故选：A． 9．-1≤x＜5. 【详解】试题解析：解第一个不等式得：x≥-1； 解第二个不等式得：x＜5， 则不等式组的解集是：-1≤x＜5． 考点：解一元一次不等式组． 10． 【分析】根据不等式的解集与数轴的关系即可解答. 【详解】由数轴知，此不等式的解集为, 故答案为：. 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解集与数轴的关系是解答的关键. 11．≤15 【分析】由的值不大于6，可以知道，解得x≤15 【详解】解：因为 的值不大于6， 所以 【点睛】本题主要考查一元一次不等式 12．17 【分析】设要参加复试，初试的答对题数至少为x道，根据某次数学竞赛初试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）一题得（﹣1）分，得分不低于60分则可以参加复试，可列出不等式求解． 【详解】解：设要参加复试，初试的答对题数至少为x道， 4x﹣（25﹣x）≥60 x≥17． 若要参加复试，初试的答对题数至少为17道． 故答案为：17． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，关键设出答对的题目，以分数作为不等量关系列不等式求解． 13．﹣2＜x＜1 【分析】把（1，1.5），（﹣2，0）代入y＝kx+b解不等式即可得到结论． 【详解】解：把（1，1.5），（﹣2，0）代入y＝kx+b 得 解得： ∴直线l的解析式为y＝x+1， ∵0＜kx+b＜1.5， ∴0＜x+1＜1.5， 解得：﹣2＜x＜1， ∴自变量x的取值范围为﹣2＜x＜1， 故答案为：﹣2＜x＜1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，解题的关键在于能够准确求出一次函数的解析式. 14． 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题的关键．得，根据得出关于n的不等式求解． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察函数图象，写出和的解集，取公共部分即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时， ∴的解集为． 故答案为：． 16． 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解只有4个，即可确定的取值范围． 本题主要考查了根据不等式的整数解求参数，正确求解不等式组以及确定参数的取值范围是解答本题的关键． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解只有4个，得到整数解为，，0，1， ∴． 故答案为：． 17．，表示在数轴上见解析 【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 18．，，， 【分析】列出关于的不等式组，解之可得的取值范围，从而得出的整数值即可． 【详解】解：根据题意解不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴， 故满足条件的整数有，，，． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 19． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解答本题的关键．首先解不等式，然后根据解集求解即可． 【详解】解：由， 得； 由， 得， ∵不等式组的解集为， ∴． 20．，画图见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 由①得， 由②得； ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示解集如图：     21．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标求不等式的解集，两直线围成的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）把A点坐标代入中求解即可； （2）先求出C点和D点坐标，然后求出BD的长，计算面积即可； （3）利用函数图像求解不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得． （2）解：由（1）知，直线， 当， ∴． 由题意知，． 解得，即． 同理：又由知，． ∴． 所以． （3）解：当时，即， 由（2）知，． 当时，，此时， ∴直线与轴交于点， ∴由图象知，当时， 则的取时， 则的取值范围是． 故答案为：． 22．(1)，， (2)需要租甲种车辆，租乙种车辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到不等关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据“座位总数不少于”列式计算； （2）先根据“总费用两车费用的和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，，； （2）解：设租甲种客车辆，总费用为元， 则， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 当时，最小， 此时需要租甲种车辆，租乙种车辆． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查了新运算法则、 解二元一次方程组、解不等式等知识点，理解新运算法则是解答本题的关键． （1）根据运算新运算法则可得二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据新运算法则可得，解得；再根据有3个正整数解，列出关于P的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 联立，解得． （2）解：依题意得：，解得：． 不等式恰好有3个正整数解， ∴，解得． 24．(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）根据且列不等式组求解即可． 【详解】（1）， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （2）∵且， ∴， 解③得，， 解④得，， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 25．(1)购买种型号打印机每台的价格是860元，购买种型号打印机每台的价格是900元； (2)共有两种购买方案； (3)购买种型号打印机6台，购买种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式组求解． （1）设购买种型号打印机每台的价格是元，购买种型号打印机每台的价格是元，根据购买3台型打印机和4台型打印机需6180元；购买4台型打印机和6台型打印机需8840元列方程组求解； （2）设购买种型号打印机台，则购买种型号打印机台，根据题意可列出不等式组求解． （3）根据求出的购买方案直接计算可得出答案． 【详解】（1）解：设购买种型号打印机每台的价格是元，购买种型号打印机每台的价格是元，依题意有： ， 解得． 故购买种型号打印机每台的价格是860元，购买种型号打印机每台的价格是900元； （2）解：设购买种型号打印机台，则购买种型号打印机台，依题意有： ， 解得：． 故共有两种购买方案： 购买种型号打印机5台，购买种型号打印机15台； 购买种型号打印机6台，购买种型号打印机14台； （3）解：若购买种型号打印机5台，购买种型号打印机15台，费用为（元； 若购买种型号打印机6台，购买种型号打印机14台，费用为（元； ， 购买种型号打印机6台，购买种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元． 26．(1)，2 (2)或或； (3)a的取值范围是． 【分析】（1）根据连动数的定义即可确定； （2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1， 又∵， ∴连动数Q的范围为：或， ∴连动数有，2； 故答案为：，2； （2）解：， 得：， 得：， 要使x，y均为连动数， 或，解得或， 或，解得或， ∴或或； （3）解：解得： ， ∵解集中恰好有3个解是连动整数， ∴四个连动整数解为，1，2， ∴， ∴ ∴a的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $