数学二模模拟卷02（广东专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．【答案】B 【解析】∵，∴，即，∴， ∵，∴，解得，∴， ∴. 故选：B 2．若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 2．【答案】D 【解析】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D    3．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．【答案】B 【解析】因为，， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 即， 则，解得：， 又因为， 且 ，，，则 . 故选：B. 4．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．【答案】A 【解析】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 5．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．【答案】B 【解析】如图，取AC的中点为，连接DE，BE. 因为，所以. 又，所以， 所以为Rt的外心. 由题意，得， 所以，即. 又，且平面ACD， 所以平面ACD，所以球心在BE上. 设球的半径为，连接OC. 在Rt中，，即，解得. 所以球的表面积为. 故选：B 6．已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．【答案】B 【解析】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可得点坐标为. 如图：    将代入椭圆方程，结合，得 化简为关于离心率的方程为 即，解得. 由于椭圆离心率，故，即. 故选：B 7．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．【答案】A 【解析】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 8．记表示不小于的最小整数，例如，.奇函数满足当时，.若关于的方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】因为奇函数且时，. 所以当，. 令. 当时，； 当时，； 当时，；图象如下： 又因为，， 要使方程在上恰有两个不同实数根，所以与有两个不同的交点. ①当时，，所以与在区间各一个交点，如图： 故方程有两个不同的实数. ②当时，，如图： 所以与在仅区间上有一个交点，故不符合题意. ③当时，，此时与在区间各一个交点，如图： 故方程有两个不同的实数. ④当时，，， 此时与在区间有一个交点，如图，故不符合题意. 综上可知，方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 9．【答案】ACD 【解析】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 10．设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A． B．直线l的斜率的取值范围为 C． D． 10．【答案】AC 【解析】由题设，则，故，A对， 由题意，直线的斜率存在且不为0，令且，联立抛物线得， 所以，则，可得或， 所以或，则直线l的斜率的取值范围为，B错， 由，而，， 所以， 所以，C对， 由，，则， 而，则，D错. 故选：AC 11．已知函数，数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 11．【答案】AC 【解析】对于A，， 对于，当时，单调递增，且， 所以， 于是，从而， ，即， 不断递推可得，，故正确； 对于B，，先比较右边大小， 设函数在上单调递减，而， 从而，从而，即，故错误； 对于，， 两边减去1，得，即 ，将上式相乘则可得， 从而，得，故正确； 对于，当时，则， 则与相矛盾，故不正确. 故选： 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 12．【答案】 【解析】令，则，且； 代入目标表达式：； 利用诱导公式，得：； 用二倍角公式，代入，则. 故答案为： 13．Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为 ；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为 ． 13．【答案】 0.9 （2分） 8.1（3分） 【解析】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被Deep Seek正确回答”， 由题意知， 则， ． 已知Deep Seek答对的题数为X，则X服从二项分布， 则． 故答案为：. 14．已知，对，有恒成立，则的最大值为 ． 14．【答案】 【解析】因为， 所以不等式可化为， 令， 则可化为， 由题意得，恒成立， 令， 因为，则函数开口向下，图象的对称轴为，， 当时，即时，函数在上单调递减， 则，即， 又，两式相加得，当且仅当，即时等号成立， 故此时的最大值为； 当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 则，解得，则， 则， 令，则， 因为，则， 则， 其中，， 所以当时，取得最大值为， 此时，则， 则，当且仅当，时，等号成立，满足， 故此时的最大值为， 又， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【解析】（1）由题， ，为锐角三角形，， . 由余弦定理，得， 即，解得或， 但时，，与已知条件不符， 而时，，符合条件，；（5分） （2）由正弦定理，得 （7分） ， ， .（13分） 16．（15分） 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【解析】（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ；（3分） （2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ；（6分） （3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，，（8分） 的可能取值为， 则， ， ， ，（13分） 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为.（15分） 17．（15分） 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是. (1)求证：平面； (2)已知，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求平面与平面的距离； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）连接， 则为的交点，为的交点，连接， 因为平行六面体的底面为正方形， 分别为面和面的中心，且在底面的射影是， 得且， 所以四边形为平行四边形，则． 又因为面面，所以面．（4分） （2）（i）因为平面，得，又因为， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 所以， 设平面法向量，则，取，（6分） 设与平面所成的角为， 则， 解得或． 又因为，所以，所以， 所以平面与平面的距离为．（9分） （ii）由（i）得，，所以，平面的法向量 设，则， , 设平面的法向量为，， 解得，（12分） 设平面与平面夹角为， 则，解得， 所以当为线段的中点，平面与平面夹角的余弦值为．（15分） 18．（17分） 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设，，过点的直线交双曲线于点，，直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）过作轴的垂线分别交直线，于点，，证明：，，三点纵坐标成等差数列． 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以可设双曲线的方程为． 由点在双曲线上，所以，即， 所以双曲线的标准方程为．（3分） （2）证明：（i）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个公共点，不满足条件， 故设：，，. 直线过点，所以． 联立，整理得， 因为直线与双曲线有两个交点，所以，且 ， 所以，，（8分） 所以 ．（13分）    （ii）设，， ，，三点共线，所以， ，，三点共线，所以． 由（i）可知， 即， 所以，即，，三点纵坐标成等差数列．（17分） 19．（17分） 已知函数， (1)求证：当时，； (2)记在的唯一零点为，求证：； (3)在（2）的条件下记，求证：． 【解析】（1）设， 则 所以在上单调递增，当时，，即（3分） （2）依题意， 当时，， 当时，， ，即，所以单调递增； 当时，，， 即，所以单调递增， 所以在单调递增. （8分） 又 所以存在唯一使得（11分） 同理存在唯一使得． 则 又，且在上单调递增，所以，即．（13分） （3）因为,所以 由（1）知 当时结论显然成立，当时 ． 所以.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 3．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．记表示不小于的最小整数，例如，.奇函数满足当时，.若关于的方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 10．设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A． B．直线l的斜率的取值范围为 C． D． 11．已知函数，数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 13．Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为 ；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为 ． 14．已知，对，有恒成立，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 16．（15分） 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 17．（15分） 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是. (1)求证：平面； (2)已知，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求平面与平面的距离； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设，，过点的直线交双曲线于点，，直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）过作轴的垂线分别交直线，于点，，证明：，，三点纵坐标成等差数列． 19．（17分） 已知函数， (1)求证：当时，； (2)记在的唯一零点为，求证：； (3)在（2）的条件下记，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 4 5 6 D B A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD AC AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 7 12.9 13.0.9(2分)8.1(3分) 14.3+1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解折】(1)由题cos2B=sinB-cosB=cos'B-sin'B=cosB+sinB)-(cosB-sinB) (sinB-cosB)-(sinB+cosB+l=0,aABC为锐角三角形，sinB+cosB+1>0, n6-c8-0mB-18e0}a 4 由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得20=32+c2-8c, 即c2-8c+12=0,解得c=2或c=6, 但。=2时，0s4=20+4-32 2x25<2<0,与已知条件不符， 而0=6时，cos>0cosC>0 符合条件，c=6, ；(5分) 1/8 国学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 (2)由正弦定理，得 sin+sinC-2(sin+sinC)-2-cos24-c052C b2 sin2B 9 32+同(1分 16.(15分) 【解析】(1)设A,B,C三款模型通过算法设计评审为事件M,N,T, A,B,C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件D, P(D)=P(MNT)+P(MNT)+P(MNT) -0--0-品9 (2)设A,B,C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件E, IP(E)=P(MNT+P(MNT+PMNT) -引1-+--引+)品 由条件概率公式可得 PME= PME) PE 3 3 (6分) 20 Q,W,R (3)设A,B,C三款模型能成功上线为事件 则PQ=号P川m=后川则-号.8分 2/8 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 X的可能取值为0,1,2,3， 则Px--)品 m=--》---》号品 =2号》-产3*器》0 11123 P(X=3=二×二× 222525,(13分) 所以X的分布列如下： 0 2 3 P 13 19 37 3 100 50 100 25 13 19 37 337 数学期望为E(X)=0× +1× +2× +3× 100 50 100 25 25·(15分) 17.(15分) AC,BD,AC,B,D 【解析】(1)连接 则0为4C,BD的交点，O为4G,BD的交点，连接40,0C 因为平行六面 ABCD-AB,CD的底面为正方形， 0,0 分别为面4BD和面ABCD的中心，且在底面BCD的射影是O, A 得4010c月40=0c 所以四边形40C0为平行四边形，则400C 又因为40产面OcD.0Cc面O,CD,所以40/面O,CD.4分) 3/8 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 0, A B ! D (2)(i)因为 平面1BCD,得401OA40L0B A0 又因为OA1OB 以为坐标原点，以O1OB,O 所在直线分别为轴，’轴，2轴建立如图所示的空间直角坐标系 设10=h,则4a.0n.B0.2,042,00 所以4B=(0,2-,0丽=0,20.B=(-2,00 2y=0 设平面BDD,B法向量a=(x,y,z),则-2x+hz=0，取a=(h,0,2),(6分) BDD B 与平面 所成的角为“， 剥sna-cs4aa引杂44， 2h-3 解得6=25或h=2 又因为4>3，所以4+F>3,所以h=25 所以平面4BCD与平面A8,CD 的距离为23 .(9分) (）由（①）得，40=25 所以12,00，B02,0,C-2,001,D0,-2,0,4(00,2W5,平面BDD,8 的法向量i=250,2 设4F=元4C0≤1≤D,则4F=-40,0=(4.0,0) 4/8 国学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 AB=(-2,2,0),BF=BA+AF=(0,-2,2W3)+(-42,0,0)=(-42,-2,2V3) -2x2+2y2=0 设平面4BF的法向量为n=x,y,2), -41x2-2y2+2W3z2=0, 解得1=5.N3,1+22,（12分 设平面 DD8与平面48F夹角为PB, 则cosB寸cos(a,) 2+ V10 V1+2°+64，解得2= V10 所以当F为线段A,C的中点，平面ABF与平面BDDB夹角的余弦值为4·(15分) D 2 01 41 B D 文A 18.(17分) 【解析】()因为双曲线C的渐近线方程为”=±5x 所以可设双曲线c的方程为- =(2≠0)」 3 由点72在双击线C上，所以49-4-入，即1=1 3 所以双陶线。的标准方程为一号1。(3分) (2)证明：()当直线的斜率不存在时，直线与双曲线C只有一个公共点A,不满足条件， 故设：y=+m,M().N(3,2 直线过点B,所以k+m=-2. 5/8 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 [y=kx+m 联立 1'整理得 x2_2 3-k2）x2-2kx-m2-3=0 因为直线与双曲线有两个交点，所以3-k2≠0，且 △=(-2km)2-43-k2）-m2-3)=12m2-12k2+36>0 所以5+6=袋，=是 2km 3-k2,(8分) 质+6=经骨+经+-副 （x-1(x2-1 -6(k+m) 2kxy+(m-k)(x+x)-2m=3-k 6 xx2-(x+x2)+1 -(k+m)2k+m 3.(13分) 3-k2 VA A N B (i设o),Ty) 1,N,0三点跳线，所以=名 x-1, 4'p'7三点共线，所以之=0-123 x-11+72 所+6=上+业=-3 由(i)可知 x1-1x2-1 +。=2y, 即x-1x-1x-1, 所以+=2，即M,了，0三点纵坐标成等差数列.17分) 6/8 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 19.(17分) 【解析】(1)设 =f树-2x=s+mx-20<引 则h'(刘=cosc+1-2=cosr-lcos2x-cosr- >0 cos2x cosx 所以M在0上单调递蜡，当x=0)时，M>M0=0,即时>2x(3分) 2依盒8到-n时+ara<经+k,东eN） +子k-2%8eN COSx+_ 1 当 -coSx+- c0影k=2n-lneN 当g1到=子k=2aneN时，2m≤经2n点eN, 0<os≤1,2L0,即gx>0,所以g单调通霜 cos2x 当i+引k--LweN.2-s子2-eY 121, >0 2 -1≤cosx<0,- sx 即8>0，所以8（单调递增， 所以gy在红≤<+mkeN)单调递增，(8分) 女2国恤ama0 a4 >0 718 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 所以存在唯-4∈（a子+加keN)使得gK小=0(1分) 同理存在唯一（k+刊子+k+太eN)使得gk小=0： 则长。网-a长。。5 1 11 =6m+ank-对场k-对<0 又红<子，且g因在（红子）上单调递婚，所以<5：即55<13 分) (3)因为 白知2线=2钱-网<sm长-网+m长--小b+m2 当n=1时结论显然成立，当n≥2时 拉是 .元.(17分) 所以后“ 8/8■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 翼 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 說 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[AJ[B][C[D] 11[AJ[B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 氧 12 射 13 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D .0 7C1 /B1 D 0 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 3．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．记表示不小于的最小整数，例如，.奇函数满足当时，.若关于的方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 10．设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A． B．直线l的斜率的取值范围为 C． D． 11．已知函数，数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 13．Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为 ；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为 ． 14．已知，对，有恒成立，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 16．（15分） 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 17．（15分） 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是. (1)求证：平面； (2)已知，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求平面与平面的距离； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设，，过点的直线交双曲线于点，，直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）过作轴的垂线分别交直线，于点，，证明：，，三点纵坐标成等差数列． 19．（17分） 已知函数， (1)求证：当时，； (2)记在的唯一零点为，求证：； (3)在（2）的条件下记，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $