中考一轮复习21特殊平行四边形知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版数学九年级下册（13考点）

中考一轮复习21特殊平行四边形知识归纳与考点专练 2025-2026学年人教版九年级下册（13考点） 知识归纳： 一、菱形 1. 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.  3. 判定方法: ①一组邻边相等的平行四边形是菱形;  ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;  ③四条边都相等的四边形是菱形.  4. 设菱形对角线长分别为l1,l2,则S菱形=l1l2. 二、矩形 1. 定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形. 2. 性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.  3. 判定方法: ①有三个角是直角的四边形是矩形;  ②对角线相等的平行四边形是矩形;  ③有一个角是直角的平行四边形是矩形.  4. 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab. 三、正方形 1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形. 2. 正方形的性质 （1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质. （2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.  （3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.  3. 正方形的判定方法 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形.  （2）对角线互相垂直的矩形是正方形.  （3）有一个角是直角的菱形是正方形.  （4）对角线相等的菱形是正方形.  4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系 考点专练： 考点1：利用菱形的性质与判定求值 1.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为(　　) A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1 2.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为(　　) A． B． C．4 D． 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为(　　) A. B. C. D. 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　． 5.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　 　 　． 考点2：添一个条件使四边形是菱形 1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 2．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加的下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是菱形的是(　　) A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2 4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 5．点E、F、G、H分别是平行四边形的边、、、的中点．若要使四边形是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①，②，③，④．（请填写正确的序号） 考点3： 利用矩形的性质与判定求值: 1．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 3．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝ 5．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 考点4：特殊四边形折叠问题 1．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则长为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．4.5 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则点D的纵坐标为（　　） A． B． C． D．4 考点5：添一条件使四边形是矩形 1．如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD 3.已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD 4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=CD，∠ABD=∠CDB，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是_________．(写出一种即可) 考点6：根据正方形的性质与判定求值 1.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1） 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 3 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 考点7：添一个条件使四边形是正方形 1.下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 3如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 考点8：菱形、矩形、正方形性质理解 1．在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．内角和为 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．下列说法错误的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 3．下列性质中正方形具有而矩形没有的（  ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都是直角 4．下列说法正确的是(　　) A．矩形的对角线垂直 B．菱形的对角线互相垂直 C．邻边相等的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 5菱形，矩形，正方形都具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．都是轴对称图形 C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分 考点9：菱形、矩形、正方形判定定理解 1．下列说法不正确的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 2．下列命题中，正确的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 考点10：四边形中的线段最值问题 1．如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（       ） A．6 B． C．5 D． 3．如图，在等腰中，，为的中点，点在上，是上一个动点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 4．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 5.如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 6.如图，在菱形中，，，，两点分别从，两点同时出发，以相同的速度分别向终点，移动，连接，在移动的过程中，的最小值为 ． 7.菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   考点11：特殊四边形中的平移变换 1.我们把连接菱形对边中点得到的所有菱形称作如图①所示基本图的特征图形显然这样的基本图共有5个特征图形．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一个顶点与对称中心重合，这样得到图1、图2、图3… (1)观察以上图形并完成下表： 图形名称 基本图的个数 特征图形的个数 图1 1 5 图2 2 9 图3 3 13 图4 4 ______ … … … 猜想：在图中，特征图形的个数为______；（用含的式子表示） (2)已知基本图的边长为4，一个内角恰好为，求图20中所有特征图形的面积之和． 2.如图，四边形ABCD是矩形，平移线段AB至EF，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，且点E恰好落在边BC上． (1)若AF＝DF，求证：点E为BC中点； (2)若BC＝k AB，＜k＜2，是否存在∠BFC＝90°？请说明理由． 3.如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC． (1)求证：四边形CBDE为矩形； (2)若S△BOC＝cm2，求∠ACD的度数． 4.已知，矩形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上． (1)如图1，当矩形ABCD为正方形时，且DE⊥GF，求证：BF=AE+AG； (2)在（1）的条件下，将GF沿AD向右平移至点G与点D重合，如图2，连接EF，取EF的中点P，连接PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点F在BC上，连接EH，EH交FG于O，∠GOH=45°，若AB=2，BC=4，FG=，求线段EH的长． 考点12：特殊四边形中的旋转变换 1.）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证； (2)当时，求的长； (3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值． 2.问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． (1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； (2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； (3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） 3.如图，正方形中，点，，分别为边，，上的点，且，连接，，． (1)可以看成是绕点逆时针旋转角所得，请在图中画出点，并直接写出角的度数； (2)当点位于何处时，的面积取得最小值？请说明你的理由； (3)试判断直线与外接圆的位置关系，并说明你的理由． 考点13：特殊四边形中的动点问题 1.在矩形中，，点是对角线上一动点（不与点重合），连接，过点作交线段于点，设． (1)如图①，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图②，连接，当平分时，求的值． 2.图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】 (1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形； (2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________； 【尝试应用】 (3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________． 3.综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题： 如图，在正方形中，是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形，使得，，且点恰好在射线上． (1)如图1，当点在对角线上，点在边上时，那么与之间的数量关系是_________； 探索发现： (2)当点在正方形外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由； 问题解决： (3)如图4，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 【答案】 中考一轮复习21特殊平行四边形知识归纳与考点专练 2025-2026学年人教版九年级下册（13考点） 知识归纳： 一、菱形 2. 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.  3. 判定方法: ①一组邻边相等的平行四边形是菱形;  ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;  ③四条边都相等的四边形是菱形.  4. 设菱形对角线长分别为l1,l2,则S菱形=l1l2. 二、矩形 4. 定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形. 5. 性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.  6. 判定方法: ①有三个角是直角的四边形是矩形;  ②对角线相等的平行四边形是矩形;  ③有一个角是直角的平行四边形是矩形.  4. 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab. 三、正方形 1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形. 2. 正方形的性质 （1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质. （2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.  （3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.  3. 正方形的判定方法 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形.  （2）对角线互相垂直的矩形是正方形.  （3）有一个角是直角的菱形是正方形.  （4）对角线相等的菱形是正方形.  4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系 考点专练： 考点1：利用菱形的性质与判定求值 1.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为(　　) A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1 【答案】B 2.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为(　　) A． B． C．4 D． 【答案】D 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　． 【答案】4 5.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　 　 　． 【答案】24 考点2：添一个条件使四边形是菱形 1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【答案】D． 2．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 【答案】B． 3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加的下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是菱形的是(　　) A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2 【答案】C 4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 【答案】AD=DC 5．点E、F、G、H分别是平行四边形的边、、、的中点．若要使四边形是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①，②，③，④．（请填写正确的序号） 【答案】①②③ 考点3： 利用矩形的性质与判定求值: 1．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 3．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝ 【答案】115° 5．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】5 考点4：特殊四边形折叠问题 1．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则长为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 2．如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．4.5 【答案】B 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则点D的纵坐标为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 考点5：添一条件使四边形是矩形 1．如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD 【答案】B 3.已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD 【答案】C 4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=CD，∠ABD=∠CDB，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是_________．(写出一种即可) 【答案】∠ABC=90° 考点6：根据正方形的性质与判定求值 1.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1） 【答案】A 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 3 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 4.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 考点7：添一个条件使四边形是正方形 1.下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 3如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 考点8：菱形、矩形、正方形性质理解 1．在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．内角和为 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 2．下列说法错误的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】C 3．下列性质中正方形具有而矩形没有的（  ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都是直角 【答案】C 4．下列说法正确的是(　　) A．矩形的对角线垂直 B．菱形的对角线互相垂直 C．邻边相等的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 5菱形，矩形，正方形都具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．都是轴对称图形 C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分 【答案】B 考点9：菱形、矩形、正方形判定定理解 1．下列说法不正确的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【答案】C 2．下列命题中，正确的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 考点10：四边形中的线段最值问题 1．如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（       ） A．6 B． C．5 D． 【答案】D 3．如图，在等腰中，，为的中点，点在上，是上一个动点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 4．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 【答案】A 5.如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 【答案】/ 6.如图，在菱形中，，，，两点分别从，两点同时出发，以相同的速度分别向终点，移动，连接，在移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 7.菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   【答案】 5 5 考点11：特殊四边形中的平移变换 1.我们把连接菱形对边中点得到的所有菱形称作如图①所示基本图的特征图形显然这样的基本图共有5个特征图形．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一个顶点与对称中心重合，这样得到图1、图2、图3… (1)观察以上图形并完成下表： 图形名称 基本图的个数 特征图形的个数 图1 1 5 图2 2 9 图3 3 13 图4 4 ______ … … … 猜想：在图中，特征图形的个数为______；（用含的式子表示） (2)已知基本图的边长为4，一个内角恰好为，求图20中所有特征图形的面积之和． 【答案】(1)， (2)图20中所有特征图形的面积之和为 (1) 解：观察图形和表可得： 图1中的特征图形的个数为：， 图2中的特征图形的个数为：， 图3中的特征图形的个数为：， ∴图4中的特征图形的个数为：， ∴图中的特征图形的个数为：． 故答案为：， (2) 如图，过点作于， 根据题意知基本图的边长为4，一个内角恰好为， 即菱形的边长为4，一个内角恰好为， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴大的特征图形面积为，小的特征图形面积为， 由（1）知，图20中共有特征图形：（个）， 其中有20个大的特征图形，61个小的特征图形， ∴图20中所有特征图形的面积之和为：． ∴图20中所有特征图形的面积之和为． 2.如图，四边形ABCD是矩形，平移线段AB至EF，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，且点E恰好落在边BC上． (1)若AF＝DF，求证：点E为BC中点； (2)若BC＝k AB，＜k＜2，是否存在∠BFC＝90°？请说明理由． 【答案】(1)见解析 （1） 证明∶ ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°， ∵AF=DF， ∴∠DAF=∠ADF， ∴∠BAF=∠CDF， 在△BAF和△CDF中， ∵AB=CD，∠BAF=∠CDF，AF=DF， ∴△BAF≌△CDF（SAS）， ∴BF=CF， 由平移可知：EF∥AB， ∴∠BEF=∠ABC=90°，即EF⊥BC， ∴点E为BC的中点； （2） 若BC＝k AB，＜k＜2，不存在∠BFC＝90°，理由如下： 假设∠BFC=90°，则∠FBC+∠FCB=90°， 由平移可知：EF∥AB，EF=AB， ∴∠BEF=∠ABC=90°，即EF⊥BC， ∴∠BEF=∠CEF=90°， ∴∠FBC+∠BFE=90°， ∴∠FCB=∠BFE， ∴△BEF∽△FEC， ∴，即， ∴， 设BE=x， ∵BC＝k AB， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵＜k＜2， ∴， ∴， ∴， ∴该方程没有实数根， 即不存在BE，使， ∴若BC＝k AB，＜k＜2，不存在∠BFC＝90°． 3.如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC． (1)求证：四边形CBDE为矩形； (2)若S△BOC＝cm2，求∠ACD的度数． 【答案】(1)见解析 (2)120° 【详解】（1）证明：由题意可知：△BDE由△ABC平移后得到， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，且， ∴，， 在和中 ， ∴ ∴，， 又∵， ∴， ∴ 平行四边形为矩形． （2）由（1）可知四边形为矩形， ∴，且cm， 在中过点作的垂线，垂足为，则， ∵， ∴cm， ∴在，， ∴， 又∴在△ACD中，BC是AD的垂直平分线， ∴， ∴， ∠ACD的度数为． 4.已知，矩形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上． (1)如图1，当矩形ABCD为正方形时，且DE⊥GF，求证：BF=AE+AG； (2)在（1）的条件下，将GF沿AD向右平移至点G与点D重合，如图2，连接EF，取EF的中点P，连接PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点F在BC上，连接EH，EH交FG于O，∠GOH=45°，若AB=2，BC=4，FG=，求线段EH的长． 【答案】(1)见解析 (2)BE=CP，理由见解析 (3)线段EH的长为． （1） 解：如图1，过点G作GM⊥BC于M， 则∠GMB=∠GMF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠A=∠B=90°， ∴四边形ABMG是矩形， ∴AG=BM， ∵DE⊥GF， ∴∠ADE+∠DGF=∠ADE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠DGF， 又∠DGF=∠MFG， ∴∠AED=∠MFG， ∴△DAE≌△GMF（AAS）， ∴AE=MF， 则BF=BM+MF=AG+AE； （2） 解：BE=CP，理由如下： 如图2，过点E作EQ∥PC，交BC于点Q， ∵P是EF的中点， ∴PC是△EQF的中位线， 则EQ=2PC，QC=CF， ∵∠ADC=∠EDF=90°， ∴∠ADE=∠CDF， 又∵∠A=∠DCF=90°，AD=CD， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF=QC， ∵AB=BC， ∴BE=BQ， 则∠BEQ=45°， ∴EQ=BE， 则2PC=BE， ∴BE=PC； （3） 解：如图所示，作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N， 则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形， ∴BM=GF=，BN=EH， ∵AB=2，∴AM=1， 取AD 的中点I，取BC的中点J，连接IJ，　 ∵AB=2，BC=4， ∴AI=BJ=2， ∴四边形ABJI是正方形， ∴MI=1，AB=BJ=2， 延长IJ到L，使JL=AM=1，IJ交BN于点K， ∵BA=BC，∠A=∠BJI=∠BJL=90°， ∴△BAM≌△BJL（SAS）， ∴∠ABM=∠JBL，BM=BL=， ∵∠GOH=45°，BN∥EH，BM∥GF， ∴∠MBN=∠MBK=45°， ∴∠ABM+∠JBK=45°， ∴∠JBL+∠JBK=45°，即∠LBK=45°， ∴△MBK≌△LBK（SAS）， ∴MK=KL， 设KJ=x，则MK=KL=KJ+JL=x+1，IK=2-x，　 在Rt△IMK中，由IM2+IK2=MK2可得12+（2-x）2=（x+1）2， 解得x=，即KJ=， 则BK==， ∵四边形ABCD是矩形，四边形ABJI是正方形，点J是BC的中点， ∴KJ∥CN， ∴， ∴BN=2BK=． ∴线段EH的长为． 考点12：特殊四边形中的旋转变换 1.）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证； (2)当时，求的长； (3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)或 (3) （1） 如图所示， 由题意可知，，， ， 由旋转性质知：AE=AF， 在和中， ， ， ． （2） 当点E在BC上时， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 由（1）可得，， 在中，，， 则， 当点E在CD上时，如图， 过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H， 同（1）可得， ， 由勾股定理得； 故CF的长为或． （3） 如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H， 由（1）知，， 故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小． 在与中， ， ， ， 即， ，， ， 在与中， ， ， ， 即， ， 故的最小值； 如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，， 由题意可知，， 在与中， ， ， ， 故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小； 由于，，， 故四边形DQRK是矩形； ， ， ， ， 故此时DF的最小值为； 由于，故DF的最小值为． 2.问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． (1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； (2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； (3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） 【答案】(1)1,1， (2)①是等边三角形，理由见解析；② (3) （1） 如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1； 当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S． 理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N． ∵O是正方形ABCD的中心， ∴OM=ON， ∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°， ∴四边形OMBN是矩形， ∵OM=ON， ∴四边形OMBN是正方形， ∴∠MON=∠EOF=90°， ∴∠MOJ=∠NOK， ∵∠OMJ=∠ONK=90°， ∴△OMJ≌△ONK（AAS）， ∴S△PMJ=S△ONK， ∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD， ∴S1=S． 故答案为：1，1，S1=S． （2） ①如图2中，结论：△OMN是等边三角形． 理由：过点O作OT⊥BC， ∵O是正方形ABCD的中心， ∴BT=CT， ∵BM=CN， ∴MT=TN， ∵OT⊥MN， ∴OM=ON， ∵∠MON=60°， ∴△MON是等边三角形； ②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J． ∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC， ∴△OCM≌△OCN（SAS）， ∴∠COM=∠CON=30°， ∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°， ∵OJ⊥CB， ∴∠JOM=90°-75°=15°， ∵BJ=JC=OJ=1， ∴JM=OJ•tan15°=2-， ∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1， ∴S四边形OMCN=2××CM×OJ=-1． （3） 如图4，将沿翻折得到，则，此时则当在上时，比四边形的面积小，      设，则当最大时，最小， ，即时，最大， 此时垂直平分，即，则 如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q， ， BM=CN 当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小． 在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan=tan， ∴MN=2MQ=2tan， ∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan． 如图6中，同理可得，当CM=CN时，S2最大． 则△COM≌△CON， ∴∠COM=， ∵∠COQ=45°， ∴∠MOQ=45°-， QM=OQ•tan（45°-）=tan（45°-）， ∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-）， ∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）． 3.如图，正方形中，点，，分别为边，，上的点，且，连接，，． (1)可以看成是绕点逆时针旋转角所得，请在图中画出点，并直接写出角的度数； (2)当点位于何处时，的面积取得最小值？请说明你的理由； (3)试判断直线与外接圆的位置关系，并说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点E位于的中点时，面积取得最小值，理由见解析 (3)：当点E位于的中点时，直线与外接圆相切；当点E位于的非中点时，直线与外接圆相交．理由见解析 【详解】（1）解：如图1，连接交于点M，则点M即为所求， ∴旋转角； （2）解：当点E位于的中点时，面积取得最小值． 理由：设正方形的边找为a， ，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，即点E位于的中点时，面积最小， （3）解：当点E位于的中点时，直线与的外接圆相切． 理由：设的中点为O，连接，如图2， ∴， 当点E位于的中点时，点G于的中点，点F于的中点， ∴， ∴， ∴当O到的距离为， ∴直线与外接圆相切； 当点E位于的非中点时，直线与外接圆相交， 理由：当点E位于的非中点时，， ∴O到的距离 ∴直线与外接圆相交． 综上当点E位于的中点时，直线与外接圆相切；当点E位于的非中点时，直线与外接圆相交． 考点13：特殊四边形中的动点问题 1.在矩形中，，点是对角线上一动点（不与点重合），连接，过点作交线段于点，设． (1)如图①，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图②，连接，当平分时，求的值． 【答案】(1) (2)的值是 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵四边形为矩形，， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴ ∴； （2）解：如图，取的中点，连接、， ∵， ∴ ∴点四点在上， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， 解得，经检验：是分式方程的解． 故的值是． 2.图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】 (1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形； (2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________； 【尝试应用】 (3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________． 【答案】(1)一定 (2)四边形是“等邻边四边形”，理由见解析，四边形的周长最小值为 (3)或或14 【详解】（1）∵四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （2）如图②，四边形是等邻四边形； 理由：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴    ，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是等邻四边形， ∴， ∵， ∴的值最小时，四边形的周长最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时，， ∴四边形的周长的最小值为． （3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ． ②当时，设， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． ③当时，点与重合，此时． ． 综上：四边形的面积为或或14． 3.综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题： 如图，在正方形中，是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形，使得，，且点恰好在射线上． (1)如图1，当点在对角线上，点在边上时，那么与之间的数量关系是_________； 探索发现： (2)当点在正方形外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由； 问题解决： (3)如图4，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 【答案】(1)； (2)成立，证明见解析； (3)． 【分析】（1）连接，根据正方形的性质和是等腰直角三角形，证得，可得，即可； （2）连接，根据正方形的性质和是等腰直角三角形，证得，可得，即可； （3）连接交于点，过点作交直线于点，根据正方形的性质，可得，再证得，可得，，在中，根据勾股定理可得，即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即； （3）解：如图4，连接交于点，过点作交直线于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 设， ∴， 解得，，（舍去）， 即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $