精品解析：2026年江苏省南通市海门区东洲中学一模数学试题

绝密★启用前 江苏省南通市海门区东洲中学2026年中考模拟试卷（一） 数学试题 ★ 注 意 事 项 ★ ★考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本试卷按0分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按0分处理． 一．选择题（每题3分，共10分，共30分） 1. 3的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：3的相反数是； 故选D． 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3. 已知a﹣b=3，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由a-b=3，得到a=b+3，代入原式计算即可得到结果． 【详解】由a﹣b=3，得到a=b+3， 则原式=（b+3）2﹣b2﹣6b =b2+6b+9﹣b2﹣6b =9． 故选C． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4. 我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：）.则这组数据的极差与众数分别是（ ） A. 2，28 B. 3，29 C. 2，27 D. 3，28 【答案】B 【解析】 【分析】根据极差和众数的概念找出答案即可． 【详解】这组数据中的最大数是30，最小数是27， 所以极差是30-27=3． 而数据中出现最多的是29， 所以众数是29． 故选：B 5. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7. 如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H， 直线，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 和都是定值， 点F在射线上运动， 当时，最短（如图2所示）， 延长，相交于点N， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，，，， ，， ， ， ， 解得， 当最短时，则的长度为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键． 8. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ） A. CD+DF=4 B. CD−DF=2−3 C. BC+AB=2+4 D. BC−AB=2 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N， 利用AAS易证△OMG≌△GCD， 所以OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2． 又因AB=CD， 所以BC−AB=2． 设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r， ⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b-c）， 所以c=a+b-2． 在Rt△ABC中， 由勾股定理可得， 整理得2ab-4a-4b+4=0， 又因BC−AB=2即b=2+a， 代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0， 解得， 所以，即可得BC+AB=2+4． 再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=， 由勾股定理可得， 解得， CD−DF=，CD+DF=． 综上只有选项A错误， 故选：A． 9. 如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 10. 矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长GH交AD于点P， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1， ∴AD∥GF， ∴∠GFH=∠PAH， 又∵H是AF的中点， ∴AH=FH， 在△APH和△FGH中， ∵， ∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP=GF=1，GH=PH=PG， ∴PD=AD﹣AP=1， ∵CG=2、CD=1， ∴DG=1， 则GH=PG=×=， 故选C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根与零次幂进行计算即可 【详解】解：原式＝ 故答案为： 【点睛】本题考查了算术平方根与零次幂，掌握算术平方根与零次幂是解题的关键． 12. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 13. 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，其中正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为，则正方体的体积为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱，正方体．先根据圆柱底面周长求出底面半径，再利用圆内接正方形的性质结合勾股定理求出正方体的棱长，最后计算正方体的体积． 【详解】解：∵圆柱底面周长为， ∴圆柱底面半径， ∴圆柱底面直径为 ∵正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上， ∴圆的直径等于正方形的对角线． 设正方体的棱长为， 根据勾股定理，正方形的对角线长为， ∴，解得． ∴正方体的体积为． 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 15. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为____________．（参考数据：） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 【答案】 【解析】 【分析】设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【详解】如图所示，设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点 ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等角对等边，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质、平移的性质、坐标与图形；根据平移性质和菱形性质得，设，根据两点坐标距离公式列方程求得，则，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解k值即可． 【详解】解：由平移性质得， 当时，，则； ∵四边形是菱形， ∴， 由题意，设，则， 解得(负值已舍去)， ∴，则， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：8． 18. 如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为__． 【答案】24 【解析】 【分析】根据图象②得出AB、BC的长度，再求出面积即可． 【详解】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10-4=6， 所以矩形ABCD的面积是4×6=24， 故答案为24． 【点睛】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键． 三．解答题（共8小题，共96分） 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组、求一个数的绝对值、整数指数幂、实数的混合运算法则，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）分别求解两个不等式，再找出两个解集的公共部分即可； （2）根据求一个数的绝对值、负整数指数幂、正整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 由得， ； 由得， ， 综上； 【小问2详解】 解：原式， ． 20. 已知． （1）化简的表达式； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的化简求值，特殊角三角函数值，解题关键是熟练掌握分式的化简求值． （1）先将括号里的分式通分，再将除法改成乘法进行约分化简； （2）先根据特殊角的三角函数值求出、的值，再代入分式求解即可． 【小问1详解】 解： ， 即化简后的表达式为； 【小问2详解】 解：，， ． 21. 如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． 【小问1详解】 证明：， ． ，， 在和中： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 【答案】（1）15； （2）120名 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和统计表以及熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而可求出a、b的值，再用360度乘以“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （2）用480乘以样本中八年级最喜欢两门课程的学生人数占比即可得到答案； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中两门课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解；（名）， ∴本次一共调查了60名学生， ∴； ∴， ∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是； 故答案为：15；； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名； 【小问3详解】 解：根据题意列表如下； 由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种， ∴恰好选中两门课程的概率为． 23. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为． （1）求的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可； （2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1； （2）根据题意画出树状图如下： 所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率． 【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键． 24. 我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似的，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交． 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为、、、． （1）判断直线与正方形是否相交，并说明理由； （2）设d是点O到直线的距离，若直线与正方形相交，求d的取值范围． 【答案】（1）相交，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正确确定直线与正方形相交的位置是解决本题的关键． （1）直线的解析式是，直线的解析式是，求出这两条直线与直线的交点，判断交点是否在正方形的边上，就可以判断； （2）当直线经过点和时，直线与正方形只有一个公共点，可以求出的值，当直线在的下方，在经过点的直线的上方时，直线与正方形相交，据此求解即可． 【小问1详解】 解：相交，理由如下： 直线与线段交于点，同时直线与线段交于点， 直线与正方形相交； 【小问2详解】 解：当直线经过点时，，此时； 当直线经过点时， ∴， ． 即， 设直线与、轴的交点分别为、， 令，，则， 令，，解得，则， ， 如图，过作，垂足为，则， ∵， ， ∵当直线在的下方，在经过点的直线的上方时，直线与正方形相交， 若直线与正方形相交，求d的取值范围为． 25. 如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）点E的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 26. 综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长． 【答案】（1），（2）见解析（3）或4 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，折痕为角平分线，结合平行线的性质，得到，猜想； （2）根据题干给定的2种方法进行证明即可； （3）设，则，，勾股定理求出，①当 ，根据平行线的判定和性质，以及三角形的外角的性质，推出，进而得到，证明，得到，列出比例式，进行求解即可．②当时，可得，利用三角函数列方程求解即可 【详解】解：（1）由折叠可知，． 由矩形的性质，可知， ． ． ． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为； （2）法一：∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，即：，， 由（1）知： 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 法二：作交于点G，则：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作交于点G，则：， 由（2）可知：，，， ∴， 设，则：，， ∴， 如图，当， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中，， ∴，即：， ∴， 解得：或（舍去）； 故． 当时， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，即，解得：， ∴ 【点睛】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 27. 综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 【答案】探究发现：，，；实践应用：；拓展延伸：24 【解析】 【分析】本题考查了图形面积的分割与组合，三角形面积公式的应用，等边三角形、圆的相关性质及勾股定理． 探究发现：通过三角形的面积关系得出线段关系； 实践应用：结合等边三角形和旋转的性质求出线段长度； 拓展延伸：利用圆的性质和勾股定理求出相关线段长度，进而求出三角形面积之和． 【详解】解：探究发现：∵在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； 实践应用：如图，过点C作于点M，过点F作于点N， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵将线段绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴； 拓展延伸：如图，延长、交于点T，过点P作于点S，连接， 设， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 江苏省南通市海门区东洲中学2026年中考模拟试卷（一） 数学试题 ★ 注 意 事 项 ★ ★考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本试卷按0分处理． 5．在本试卷答题者，不计入成绩． 6．请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按0分处理． 一．选择题（每题3分，共10分，共30分） 1. 3的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a﹣b=3，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：）.则这组数据的极差与众数分别是（ ） A. 2，28 B. 3，29 C. 2，27 D. 3，28 5. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　） A. B. 4 C. D. 8. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ） A. CD+DF=4 B. CD−DF=2−3 C. BC+AB=2+4 D. BC−AB=2 9. 如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　） A. 1 B. C. D. 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 计算：______． 12. 若，则的值为___________． 13. 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，其中正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为，则正方体的体积为_______ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 15. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为____________．（参考数据：） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 16. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 17. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为_______． 18. 如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为__． 三．解答题（共8小题，共96分） 19. 计算： （1） （2）． 20. 已知． （1）化简的表达式； （2）若，，求的值． 21. 如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 23. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为． （1）求的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 24. 我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似的，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交． 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为、、、． （1）判断直线与正方形是否相交，并说明理由； （2）设d是点O到直线的距离，若直线与正方形相交，求d的取值范围． 25. 如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 26. 综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长． 27. 综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $